2020高考數學一輪復習課時作業(yè)55直線與圓錐曲線理.doc

課時作業(yè)55直線與圓錐曲線 基礎達標1過橢圓1內一點P(3,1)，求被這點平分的弦所在直線方程解析：設直線與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，由于A、B兩點均在橢圓上，故1，1，兩式相減得0.又P是A、B的中點，x1x26，y1y22，kAB.直線AB的方程為y1(x3)即3x4y130.2.2019鄭州入學測試已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為8.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點，點P(2,1)在直線l的左上方若APB90，且直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，求線段MN的長度解析：(1)由題意知解得所以橢圓C的方程為1.(2)設直線l：yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立，得消去y，化簡整理，得x22mx2m240.則由(2m)24(2m24)0，得2mb0)，右焦點為F2(c,0)因為AB1B2是直角三角形，且|AB1|AB2|，所以B1AB290，因此|OA|OB2|，得b.由c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以離心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由題設條件SAB1B24得b24，所以a25b220.因此所求橢圓的標準方程為1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由題意知直線l的斜率存在且不為0，故可設直線l的方程為xmy2，代入橢圓方程并整理得(m25)y24my160.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為x2y20和x2y20.52019唐山五校聯考在直角坐標系xOy中，長為1的線段的兩端點C，D分別在x軸、y軸上滑動， .記點P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)經過點(0,1)作直線與曲線E相交于A，B兩點，當點M在曲線E上時，求四邊形AOBM的面積解析：(1)設C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲線E的方程為x21.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知點M坐標為(x1x2，y1y2)由題意知，直線AB的斜率存在設直線AB的方程為ykx1，代入曲線E的方程，得(k22)x22kx10，則x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由點M在曲線E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.這時|AB|x1x2|，原點到直線AB的距離d，所以平行四邊形OAMB的面積S|AB|d.62018天津卷設橢圓1(ab0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，點A的坐標為(b,0)，且|FB|AB|6.(1)求橢圓的方程；(2)設直線l：ykx(k0)與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q.若sinAOQ(O為原點)，求k的值解析：(1)設橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得|FB|a，|AB|b，由|FB|AB|6，可得ab6，從而a3，b2.所以，橢圓的方程為1.(2)設點P的坐標為(x1，y1)，點Q的坐標為(x2，y2)由已知有y1y20，故|PQ|sinAOQy1y2.又因為|AQ|，而OAB，所以|AQ|y2.由sinAOQ，可得5y19y2.由方程組消去x，可得y1.易知直線AB的方程為xy20，由方程組消去x，可得y2.由5y19y2，可得5(k1)3，兩邊平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以k的值為或.能力挑戰(zhàn)72018江蘇卷如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C過點，焦點為F1(，0)，F2(，0)，圓O的直徑為F1F2.(1)求橢圓C及圓O的方程；(2)設直線l與圓O相切于第一象限內的點P.若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；直線l與橢圓C交于A，B兩點若OAB的面積為，求直線l的方程解析：解法一(1)因為橢圓C的焦點為F1(，0)，F2(，0)，所以可設橢圓C的方程為1(ab0)又點，在橢圓C上，所以解得因此，橢圓C的方程為y21.因為圓O的直徑為F1F2，所以其方程為x2y23.(2)設直線l與圓O相切于P(x0，y0)(x00，y00)，則x0y03.所以直線l的方程為y(xx0)y0，即yx.由消去y，得(4x0y0)x224x0x364y00.(*)因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，所以(24x0)24(4x0y0)(364y0)48y0(x02)0.因為x00，y00，所以x0，y01.因此，點P的坐標為(，1)因為三角形OAB的面積為，所以ABOP，從而AB.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得x1,2，所以AB2(x1x2)2(y1y2)21.因為x0y03，所以AB2，即2x045x01000，解得x0(x020舍去)，則y0，因此P的坐標為，.則直線l的方程為yx3.解法二(1)由題意知c，所以圓O的方程為x2y23，因為點在橢圓上，所以2a4，所以a2.因為a2b2c2，所以b1，所以橢圓C的方程為y21.(2)由題意知直線l與圓O和橢圓C均相切，且切點在第一象限，所以直線l的斜率k存在且k0，設直線l的方程為ykxm(k0)，將直線l的方程代入圓O的方程，得x2(kxm)23，整理得(k21)x22kmxm230，因為直線l與圓O相切，所以(2km)24(k21)(m23)0，整理得m23k23，將直線l的方程代入橢圓C的方程，得(kxm)21，整理得(4k21)x28kmx4m240，因為直線l與橢圓C相切，所以(8km)24(4k21)(4m24)0，整理得m24k21，所以3k234k21，因為k0，所以k，則m3，將k，m3代入(k21)x22kmxm230，整理得x22x20，解得x1x2，將x代入x2y23，解得y1(y1舍去)，所以點P的坐標為(，1)設A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由知m23k23，且k0，因為