第一數(shù)形結(jié)合思想.docVIP

第一講 數(shù)形結(jié)合思想專題剖析 數(shù)形結(jié)合法是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，即分析其代數(shù)含義、對揭示其幾何意義、使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”尋找解題途徑，使問題得到解決，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法和技巧。在近幾年高考大小題中占有非常重要的地位，特別是在解決選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特的功效。數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題，幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考察數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來尋找解題思路，使問題得到解決，運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想，要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：（1） 集合的運(yùn)算及韋恩圖（2） 函數(shù)及其圖像（3） 數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象（4） 方程（多指二元方程）及方程的曲線以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖像；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法。以數(shù)助形常用的有：借助幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。經(jīng)典例題透析類型一：利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題1(2010全國理)已知函數(shù)，若，且，則a+2b的取值范圍是A B C D解析：畫出的示意圖.由題設(shè)有 ， ，令 ，則 ， ， . 在上是增函數(shù). .選C.舉一反三：【變式1】已知函數(shù)在0x1時(shí)有最大值2，求a的值。解析：，拋物線的開口向下，對稱軸是，如圖所示： （1） （2） （3）（1）當(dāng)a0時(shí)，如圖（1）所示， 當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值，即。 1a=2。即a=1，適合a0。（2）當(dāng)0a1時(shí)，如圖（2）所示， 當(dāng)x=a時(shí)，y有最大值，即。 a2a+1=2，解得。 0a1，不合題意。（3）當(dāng)a1時(shí)，如圖（3）所示。 當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，即。a=2。綜合（1）（2）（3）可知，a的值是1或2【變式2】已知函數(shù)。（）寫出的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，求在0，a上的最大值。解析：如圖：（1）的單調(diào)增區(qū)間：，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）（2）當(dāng)a1時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)，?！咀兪?】已知()（1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：；（2）當(dāng)，時(shí)，對于給定的負(fù)數(shù)，有一個(gè)最大的正數(shù)，使得x0, 時(shí)，都 有|f(x)|5，問a為何值時(shí)，M(a)最大？并求出這個(gè)最大值。解析：（1）若a=0，則c=0，f(x)=2bx 當(dāng)-2x2時(shí)，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，a0； 若a0，假設(shè)， 區(qū)間-2,2在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)， f(x)在-2，2上是單調(diào)函數(shù)， （這是不可能的） （2）當(dāng)，時(shí)， ，所以， （圖1） （圖2） (1)當(dāng)即，時(shí)（如圖1），則所以是方程的較小根，即 (2)當(dāng)即，時(shí)（如圖2），則所以是方程的較大根，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），由于，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問題2若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。思路點(diǎn)撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個(gè)函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡化運(yùn)算。解析：畫出和的圖象，當(dāng)直線過點(diǎn)，即時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)。又由當(dāng)曲線與曲線相切時(shí)，二者只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)，則，即，解得切點(diǎn)，又直線過切點(diǎn)，得，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根。誤區(qū)警示：作圖時(shí)，圖形的相對位置關(guān)系不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯(cuò)誤。總結(jié)升華：1解決這類問題時(shí)要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。2用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩 個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解。3在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)： 要準(zhǔn)確理解一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征； 要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化； 要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏； 精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于問題求解.舉一反三：【變式1】若關(guān)于x的方程在（1，1）內(nèi)有1個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是 。解析：把方程左、右兩側(cè)看作兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定方程根的個(gè)數(shù)。設(shè)（x1，1）如圖：當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程在（1，1）內(nèi)有1個(gè)實(shí)根。【變式2】若02，且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及這兩個(gè)實(shí)根的和。解析：將原方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，求a的范圍及+的值。設(shè)，在同一坐標(biāo)中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象由圖可知，當(dāng)或時(shí)，y1與y2的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即對應(yīng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為.若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為，.所以這兩個(gè)實(shí)根的和為或.且由對稱性可知，這兩個(gè)實(shí)根的和為或。類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答3(北京2010理)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則函數(shù)的最小正周期為_；在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍成的區(qū)域的面積為_.解析：為便于觀察，不妨先將正方形PABC向負(fù)方向滾動(dòng)，使P點(diǎn)落在x軸上的點(diǎn)，此點(diǎn)即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)（圖1）.（一）以A為中心，將正方形沿x軸正方向滾動(dòng)90，此時(shí)頂點(diǎn)B位于x軸上，頂點(diǎn)P畫出了A為圓心，1為半徑的個(gè)圓周（圖2）；（二）繼續(xù)以B為中心，將正方形沿x軸正方向滾動(dòng)90，此時(shí)頂點(diǎn)C位于x軸上，頂點(diǎn)P畫出B為圓心，為半徑的個(gè)圓周（圖3）；（三）繼續(xù)以C為中心，將正方形沿x軸正方向滾動(dòng)90，此時(shí)，頂點(diǎn)P位于x軸上，為點(diǎn)，它畫出了C為圓心，1為半徑的個(gè)圓周（圖4）.為又一個(gè)零點(diǎn). 函數(shù)的周期為4.相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的圖形與x軸圍成的圖形由兩個(gè)半徑為1的圓、半徑為的圓和兩個(gè)直角邊長為1的直角三角形，其面積是.舉一反三：【變式1】已知圓C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點(diǎn)。（1）求的最大、最小值；（2）求的最大、最小值；（3）求x2y的最大、最小值。解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解。（1）表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)的距離， 由題意知P（x，y）在圓C上，又C（2，0），半徑r=1。 |OC|=2。 的最大值為2+r=2+1=3， 的最小值為2r=21=1。（2）表示點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（1，2）兩點(diǎn)連線的斜率， 設(shè)Q（1，2），過Q點(diǎn)作圓C的兩條切線，如圖： 將整理得kxy+2k=0。 ，解得， 所以的最大值為，最小值為。（3）令x2y=u，則可視為一組平行線系， 當(dāng)直線與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，可求得u的范圍， 最值必在直線與圓C相切時(shí)取得。這時(shí)， 。 x2y的最大值為，最小值為?！咀兪?】求函數(shù)的最小值。解析：則y看作點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（1，1）與B（3，2）距離之和如圖，點(diǎn)A（1，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A（1，1），則即為P到A，B距離之和的最小值，【變式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則的取值范圍是（ ）A B或 C D或解析：如圖由題知方程的根，一個(gè)在（0，1）之間，一個(gè)在（1，2）之間，則 ，即下面利用線性規(guī)劃的知識(shí)，則可看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)O（0，0）連線的斜率則 ，選C。高考再現(xiàn)（2009年江西卷）若不等式的解集為區(qū)間，且，則= . 分析:本題主要考查解不等式、直線過定點(diǎn)問題，我們可以在同一坐標(biāo)系下作出，的圖像，根據(jù)圖像確定的值。x-330（-2，）y解：令，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出其圖像，因的解集為區(qū)間，且，結(jié)合圖像知=3、=1即直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為。 =（2009年重慶卷）已知以T=4為周期的函數(shù)其中m0，若方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍為（ ） 分析:本題主要考查函數(shù)圖像的交點(diǎn)及直線與曲線的位值關(guān)系，我們先在一個(gè)周期內(nèi)可利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極點(diǎn)進(jìn)而畫出第一段函數(shù)圖像、通過平移和翻轉(zhuǎn)畫第二段函數(shù)圖像，再根據(jù)周期性擴(kuò)展圖象，根據(jù)圖象解題。YX-112345678901234解：根據(jù)的解析式可作出的圖象，如圖所示，恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，由圖象知：當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根。0當(dāng)時(shí)，與無交點(diǎn), 即方程無根. 0 由、得 選B（2009年海南卷）用min，表示、三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)（0），則的最大值為（ ）A4 B5 C6 D7分析:本題主要考查運(yùn)用新知識(shí)解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合思想，我們可以通過在同一坐標(biāo)系中畫出， （0）的圖象，觀察圖象可求解。Y0Xy2=x+2y3=10-xy1=2xA解：由題意知函數(shù)是三個(gè)函數(shù)，中的較小者，作出三個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象（如圖實(shí)線部分為的圖象）可知A（4，6）為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)。故選C。（2006年湖南卷）若圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ） 分析:本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，我們可先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是：，而直線是過原點(diǎn)的動(dòng)直線，再通過畫圖判斷他們的位置關(guān)系。解：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為.它表示圓心是（2，2），半徑是xyA0的圓，直線過圓點(diǎn)。如圖：要想圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離不大于，設(shè)圓心為A，則OA=，直線與直線OA的夾角不大于，直線的傾斜角的取值范圍是，故選B。達(dá)標(biāo)訓(xùn)練選擇題： 1. 方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（ ） A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè) 2. 函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 3. 設(shè)命題p：，命題q：，則甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件 C. 充要條件D. 不充分也不必要條件 4. 適合且的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為（ ） A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 4個(gè) 5. 若不等式的解集為則a的值為（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知復(fù)數(shù)