動力學(xué)臨界問題解題技巧.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除動力學(xué)臨界問題的類型與處理方法、問題的緣起高中物理中的動力學(xué)臨界問題是一類較難的題目，本文嘗試從牛頓第二定律的等號的含義的挖掘出發(fā)，提出這類問題的產(chǎn)生原因、基本類型和基本解決方法。一、動力學(xué)臨界問題的本質(zhì)供需匹配問題牛頓第二定律，等式的左邊是其他物體提供給物體的力（供），右邊是物體以加速度a運動時所需要的力（需），因此實際上是供需匹配的方程。當(dāng)某些外界條件變化時，a可能變化，因此物體所需要的力可能發(fā)生變化，這就存在供需匹配問題。動力學(xué)臨界問題，本質(zhì)上講，就是供需匹配問題：供需相匹配（等號成立），則可維持兩物體間的某種關(guān)聯(lián)（如相對靜止、距離不變等）；若供需不匹配（等號不成立），則兩物體間的該種關(guān)聯(lián)被破壞（如兩物體相對滑動、距離增大或者減小等）。二、動力學(xué)臨界問題的類型依據(jù)其他物體提供給物體的力的特點，可將動力學(xué)臨界問題分為兩大類型：供可變型和供不可變型。1、供可變型其他物體提供的力可以在一定范圍內(nèi)變化；若所需要的力在該范圍內(nèi)，則能夠維持物體間的某種關(guān)聯(lián)，若所需要的力超出該范圍，則物體間的該種關(guān)聯(lián)被破壞。具有這種特點的力，主要是兩大類：靜摩擦力和彈力。具體分析如下：（1）靜摩擦力：-FfmFfFfm， 若：所需FfFfm，則兩物體相對靜止， 若：所需FfFfm，則兩物體相對滑動。（2）彈力：FN0， 0FTFTm 支持力/壓力FN：所需FN0，則兩物體相互接觸， 所需FN0，則兩物體相互分離。 繩中張力FT：所需FT滿足0FTFTm，則繩子繃直，兩物體維持某間距， 所需FT0，則繩子松弛，兩物體間距減小，靠近， 所需FTFTm，則繩子繃斷，兩物體間距增大，分開。2、供不可變型特定位置處，其他物體提供的力是一個確定的值；若需要的力等于該值，則能夠維持物體間的相對位置，若需要的力不等于該值，則兩物體接近或者遠(yuǎn)離。具有這種特點的力有萬有引力、庫侖力、彈簧彈力等。其中萬有引力作用下人造衛(wèi)星的變軌問題就屬于這類問題的典型，下文重點是供可變型，所以將此問題的處理方法單獨在此處說明，下文不再贅述。如右圖所示，人造衛(wèi)星在離地心r處的A點以某速度vA發(fā)射，若發(fā)射速度合適（為v），衛(wèi)星在該處所受萬有引力恰好等于其在該圓周軌道上做圓周運動所需要的向心力，則衛(wèi)星就能在該軌道上做圓周運動，有解得。即有：若：，所需要的向心力，供求平衡，衛(wèi)星將做圓周運動，若：，所需要的向心力，供不應(yīng)求，衛(wèi)星將做離心運動，若：，所需要的向心力，供過于求，衛(wèi)星將做近心運動。三、動力學(xué)臨界問題處理的基本方法動力學(xué)臨界問題的處理方法有兩種：1、物理分析法 第一步：極端分析法找到臨界點 第二步：分析臨界條件受力轉(zhuǎn)變條件 如：Ff=Ffm，F(xiàn)N=0， FT=0，F(xiàn)T=FTm2、數(shù)學(xué)解析法 第一步：假設(shè)法假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常 第二步：動力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件 如：-FfmFfFfm，F(xiàn)N0， 0FTFTm不過，在此處要做一個說明：物理分析法對學(xué)生的生活經(jīng)驗或者物理實驗的經(jīng)驗有較強的依賴性，而數(shù)學(xué)解析法則對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力解不等式組有較高的要求，因此，兩種方法各有優(yōu)劣，不同學(xué)生、不同問題，方法的選擇就會不同。【例1】（靜摩擦力類）如圖所示，質(zhì)量M=8kg小車放在光滑的水平面上，在小車上面靜止放置一質(zhì)量m=2kg的小物塊，物塊與小車間的動摩擦因數(shù)=0.2?，F(xiàn)在小車右端施加一水平拉力F，要使物塊保持與小車相對靜止. 則拉力F不能超過多少？g取10m/s2. 【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法找到臨界點根據(jù)經(jīng)驗，我們知道，拉力F很小時，m將隨M一起向右加速運動，拉力F很大時，m將相對M向后滑動。因此，拉力F從很小逐漸增大時，必定有一個時候（F取某個值F0），此時，m就要相對M向后滑動但還沒有相對滑動。這個狀態(tài)即為本問題的臨界點。第二步：分析臨界條件受力轉(zhuǎn)變條件在拉力F很小時，m之所以能夠隨M一起向右加速運動，是因為M對m的靜摩擦力足以維持兩物體相對靜止給m提供隨M一起向右加速運動的加速度這個加速度隨整體加速度增大而增大；當(dāng)達(dá)到臨界點時，整體加速度達(dá)到了一個臨界值，此時，是最大靜摩擦力給m提供加速度；若整體加速度再增大，靜摩擦力將不足以提供足夠大的加速度不能滿足需要，于是就會發(fā)生相對滑動。即：最大靜摩擦力給m提供加速度，是本問題的臨界受力轉(zhuǎn)變條件。小物塊：整體：聯(lián)立解得：即：拉力F不能超過20N。方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)m隨M一起向右加速運動，加速度為a.第二步：動力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件小物塊：整體：其中：聯(lián)立解得【總結(jié)】本問題中研究對象的選取是關(guān)鍵在本題中，對m才有供需匹配的問題對M來說，拉力F需要多大，就可以施加多大，因此，應(yīng)先選m為研究對象來分析臨界受力轉(zhuǎn)變條件。若本題拉力F施加在m上，則應(yīng)先選M為研究對象來分析臨界受力轉(zhuǎn)變條件?！纠?】（靜摩擦力類）如圖所示，質(zhì)量m1 kg的物塊放在傾角為的斜面上，斜面體質(zhì)量M2 kg，斜面與物塊間的動摩擦因數(shù)0.2，地面光滑，37.現(xiàn)對斜面體施加一水平推力F，要使物體m相對斜面靜止，力F應(yīng)為多大？(設(shè)物體與斜面的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10 m/s2)【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法找到臨界點推力F很小時，由于本題中，物體m就會相對斜面下滑，推力F很大時，物體m就會相對斜面上滑，因此，本題有兩個臨界點：推力F較小且大小合適時，物體就要相對斜面向下滑而沒有下滑；推力F較大且大小合適時，物體就要相對斜面向上滑而沒有上滑。第二步：分析臨界條件受力轉(zhuǎn)變條件推力F大小合適時，物體m之所以能夠相對斜面靜止，是因為能夠提供的靜摩擦力足以維持物體m相對斜面靜止；當(dāng)推力F較小且大小合適時，物體就要相對斜面向下滑而沒有下滑，此時是沿斜面向上的最大靜摩擦力維持物體m相對斜面靜止，設(shè)此時推力為F1，此時物塊受力如圖甲對m有：x方向：FN1sinFN1cosma1 y方向：FN1cosFN1sinmg0 解兩式得：a14.78 m/s2對整體有：F1(Mm)a1，所以F114.34 N.當(dāng)推力F較大且大小合適時，物體就要相對斜面向上滑而沒有上滑，此時是沿斜面向下的最大靜摩擦力維持物體m相對斜面靜止，設(shè)此時推力為F2，此時物塊受力如圖乙對m有：x方向：FN2sinFN2cosma2y方向：FN2cosFN2sinmg0解兩式得：a211.2 m/s2對整體有：F2(Mm)a2，所以F233.6 N. F的范圍為：14.34 NF33.6 N.方法二：數(shù)學(xué)解析法aFNFf丙第一步：假設(shè)法假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)m隨M一起向左加速運動，加速度為a. 此時物塊受力如圖丙第二步：動力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件對m有：x方向：FNsinFfcosma y方向：FNcosFfsinmg0 由于推力F較小時，物體m有相對斜面下滑的趨勢（摩擦力沿斜面向上），推力F較大時，物體m有相對斜面上滑的趨勢（摩擦力沿斜面向下），則有： -FNFfFN解三式，得F的范圍為：14.34 NF33.6 N.【總結(jié)】物理分析法對學(xué)生分析能力要求較高，但是其分析出來的結(jié)果很直觀；數(shù)學(xué)解析法盡管分析過程簡單些，但計算上講麻煩一點，而且算出來的結(jié)果直觀性較差?！纠?】（彈力類FN）試分析在豎直平面內(nèi)的圓周軌道內(nèi)側(cè)運動時，小球通過最高點的條件?！窘馕觥糠椒ㄒ唬何锢矸治龇ǖ谝徊剑簶O端分析法找到臨界點根據(jù)實驗，我們知道，小球在最低點初速度較大時，小球可以在圓周軌道內(nèi)側(cè)做完整圓周運動，小球在最低點初速度較小時，小球在到達(dá)最高點前就已脫離軌道做了斜拋運動。因此，必定有一種情況，小球在最低點初速度合適時，小球剛好能夠通過圓周最高點，由能量守恒可知，此時小球在最高點速度是確定的某個值。第二步：分析臨界條件受力轉(zhuǎn)變條件小球速度較大時，小球在最高點會緊壓軌道；小球速度較小，小球到最高點前就脫離軌道后與軌道分開；因此，小球剛好通過最高點時，就是剛好到達(dá)最高點且不壓軌道時即FN=0. 此時對小球：解得即小球通過最高點的條件是：小球在最高點的速度方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常FNmg設(shè)小球能夠通過最高點，并設(shè)此時小球通過最高點的速度為v，其受力如圖所示。第二步：動力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件對小球，有：其中FN只可能向下、不可能向上，即：聯(lián)立，解得【總結(jié)】如下圖甲、乙兩種情況中，F(xiàn)T、FN均只能豎直向下，因此小球能夠通過最高點的條件均是；如圖丙的情況，輕桿對小球的彈力既可向下也可向上，因此速度既可大于，也可小于，即小球能夠通過最高點的條件是?！纠?】（彈力類FN）如右圖所示，在傾角為的光滑斜面上端固定一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧下端連有一質(zhì)量為m的小球，小球被一垂直于斜面的擋板A擋住，此時彈簧沒有形變，若手持擋板A以加速度a(agsin)沿斜面勻加速下滑，求：從擋板開始運動到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時間。【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法找到臨界點FN1F彈擋板A下滑過程中，最開始一段時間，小球和擋板一直緊壓在一起，具有相同的加速度；當(dāng)擋板A下滑太遠(yuǎn)時，小球和擋板就分開了。因此，必定有一個臨界點小球就要離開擋板但還沒有離開。第二步：分析臨界條件受力轉(zhuǎn)變條件開始時小球和擋板一直緊壓在一起，兩者之間有壓力；當(dāng)小球和擋板就分開后，兩者之間沒有壓力因此，小球就要離開擋板時，小球和擋板間的壓力為FN=0.此時，對小球，有： mgsinkxma即小球做勻加速運動發(fā)生的位移為x時小球與擋板分離。由運動學(xué)公式xat2得從擋板開始運動到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時間為t 方法二：數(shù)學(xué)解析法FN1F彈FN第一步：假設(shè)法假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)小球尚未與擋板分離，則其受力如圖所示。第二步：動力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件此時，對小球，有： mgsinFNkxma其中：聯(lián)立解得：x即小球做勻加速運動發(fā)生的位移為x時小球與擋板分離。由運動學(xué)公式xat2得從擋板開始運動到小球與擋板分離所經(jīng)歷的時間為t 【總結(jié)】分離類問題，分離條件均是相互接觸的兩個物體間壓力FN=0時。不過要注意的是，分離之前直到分離瞬間，相互接觸的兩個物體在垂直接觸面方向始終具有速度和相同加速度。很多學(xué)生以為小球加速度為零時分離，從而出錯?！纠?】（彈力類FT）如圖所示，繩AC、BC一端拴在豎直桿上，另一端拴著一個質(zhì)量為m的小球，其中AC桿長度為l.當(dāng)豎直桿以某一角速度轉(zhuǎn)動時，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，此時AC繩與豎直方向夾角為30，BC繩與豎直方向夾角為45。試求的取值范圍。已知重力加速度為g.【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法找到臨界點根據(jù)經(jīng)驗，我們知道，當(dāng)只有AC繩時，轉(zhuǎn)動桿的角速度越大，AC繩偏離豎直方向的夾角就越大。因此，在本題中，若桿轉(zhuǎn)動的角速度太小，AC繩偏離豎直方向的夾角太小，BC繩就會松弛；若桿轉(zhuǎn)動的角速度太大，BC繩偏離豎直方向的夾角太大，AC繩就會松弛；桿轉(zhuǎn)動的角速度合適時，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)。即存在兩個臨界點桿轉(zhuǎn)動的角速度較小，BC繩剛好松弛；桿轉(zhuǎn)動的角速度較大，AC繩剛好松弛這兩種情況下，AC繩、BC繩與豎直方向夾角分別為30和45不變。第二步：分析臨界條件受力轉(zhuǎn)變條件桿轉(zhuǎn)動的角速度較小，BC繩剛好松弛，此時BC繩中的張力為零，只有AC繩中有張力FT1，設(shè)此時的角速度為1，則有豎直方向：FT1cos30mg=0水平方向：FT1sin30=m12r其中 r=lsin30聯(lián)立解得 桿轉(zhuǎn)動的角速度較大，AC繩剛好松弛，此時AC繩中的張力為零，只有AC繩中有張力FT2，設(shè)此時的角速度為2，則有豎直方向：FT2cos45mg=0水平方向：FT2sin45=m22r其中 r=lsin30聯(lián)立解得 則當(dāng)桿轉(zhuǎn)動角速度滿足時，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)。方法二：數(shù)學(xué)解析法第一步：假設(shè)法假設(shè)物體間的該關(guān)聯(lián)正常設(shè)豎直桿以某一角速度轉(zhuǎn)動時，繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，此時AC繩中張力為FT1，BC繩中張力為FT2。第二步：動力學(xué)方程（或平衡方程）+受力范圍條件由牛頓第二定律，有豎直方向：FT1cos30FT2cos45mg=0水平方向：FT1sin30FT2sin45=m12r由于繩AC、BC均處于繃直狀態(tài)，因此有FT10，F(xiàn)T20聯(lián)立解得：【總結(jié)】對大多數(shù)學(xué)生來說，物理分析法分析這個問題要簡單直接一些；數(shù)學(xué)解析法就相對麻煩一點?！纠?】（彈力類FT）輕繩的兩端A、B固定在天花板上，繩能承受的最大拉力為120N?，F(xiàn)用掛鉤將一重物掛在繩子的結(jié)點C處。如圖所示，兩端與豎直方向的夾角分別為37和53。要保證兩繩均不繃斷，求此重物的重力不應(yīng)超過多少？（sin37=0.6；cos37=0.8）【解析】方法一：物理分析法第一步：極端分析法找到臨界點重物較輕時，兩繩均繃緊而不斷；當(dāng)重物太重時，繩子就會繃斷。經(jīng)分析易知，兩繩均繃緊時，AC繩中張力大于BC繩中張