定積分的簡單應用1

3.5 定積分的概念、微積分基本定理及其簡單應用（1）嘉祥三中高二數(shù)學組知識要點梳理1.一般地，如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間I上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么我們就把它稱為區(qū)間I上的連續(xù)曲線。2 .以直代曲求曲邊梯形的面積的方法與步驟:分割,近似代替,求和,取極限.3. 定積分的定義：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上圖像是連續(xù)曲線，用分點將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間。在每個小區(qū)間上任取一點作和式，當n時，上述和式無限趨近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分。記作: 。即=.其中f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量， f(x)dx叫做被積式，b,a分別叫做積分上限和下限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間。4.定積分的幾何意義: 表示介于x軸,曲線y=f(x),與直線x=a,x=b之間部分的曲邊梯形面積的代數(shù)和,在x軸上方的面積取正號,在x軸下方的面積取負號.(如下圖（1）、（2）5.微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式):如果f(x)是區(qū)間a,b上圖像連續(xù)不斷的函數(shù),并且F(x)=f(x),那么=F(x)|=F(b)-F(a).其中F(x)叫做f(x)的一個原函數(shù)。6.定積分的性質:,(其中k為常數(shù)); (其中abc)。7.利用函數(shù)的奇偶性求定積分:若f(x)是-a,a上的奇函數(shù),則;若f(x)是-a,a上的偶函數(shù),則.8.定積分的求法:定義法(用微分思想求曲邊梯形的面積, 分割,近似代替,求和,取極限.);牛頓-萊布尼茲公式法;幾何意義法:若y=f(x) ,x軸,與直線x=a,x=b之間的各部分區(qū)域是可求面積的規(guī)則圖形,則可直接求其面積.比如求.利用奇、偶函數(shù)的性質求.9. 定積分的簡單應用（1）定積分在幾何中的應用:如圖曲線y=f1(x), y=f2(x)與直線x=a,x=b圍成的曲邊梯形面積S=.（如圖2-5-6（1）（2）定積分在物理中的應用：（i）變速直線運動的路程:運動速度為V(t),則在t=a到t=b時間內物體的位移為S=.（ii）變力作功:力F是位移s的函數(shù),則在s=a到s=b時間內力所做的功為W=.疑難點、易錯點剖析：1.定積分是一個常數(shù)。2.用定義求定積分的一般方法是：(1）分割：n等分區(qū)間a,b;(2)近似代替：取點；(3）求和：；(4）取極限： 3.利用微積分基本定理(即牛頓-萊布尼茲公式)求定積分，關鍵是找到滿足F(x)=f(x)的函數(shù)F(x),即找被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x),利用求導運算與求原函數(shù)運算互為逆運算的關系，運用基本初等函數(shù)求導公式和導數(shù)四則運算法則從反方向上求出F(x)。4.利用定積分求曲邊梯形的面積，要利用數(shù)形結合的方法確定出被積函數(shù)和積分上、下限。5.幾種典型的曲邊梯形的計算方法：（1）由三條直線x=a,x=b（ab）, x軸和曲線y=f(x)（f(x)）圍成的曲邊梯形面積S=（如下圖1）（2）由三條直線x=a,x=b（ab）, x軸和曲線y=f(x)（f(x)）圍成的曲邊梯形面積S=（如下圖2）（3）由條直線x=a,x=b（ab）, 和兩條曲線y=f(x)，y=g(x)（f(x)）圍成的曲邊梯形面積S=（如下圖3）6.與數(shù)學其他知識模塊的結合:借用定積分的求法與意義,可與數(shù)學中的其他知識結合,比如可與導數(shù),解析幾何,二次函數(shù)等知識內容構成綜合題.直擊考點考點1 利用微積分基本定理、定積分的性質求定積分考例1:求下列定積分的值: 思路分析:注意8x與x8的區(qū)別;被積式為絕對值時,應分段積分;利用奇函數(shù)在關于原點對稱的積分區(qū)間上的積分值為0; 利用簡單復合函數(shù)的求導規(guī)則尋找公式中的F(x).錦囊妙計: 求定積分最常用的方法當然是牛頓-萊布尼茲公式,但有時不易找到公式中的F(x),此時可用其它的方式間接來求定積分,比如可用定積分的幾何意義,或利用函數(shù)的奇偶性來求.變式與拓展: 考點2. 用定積分的幾何意義求定積分考例2.用定積分的幾何意義求值: ; 思路分析：根據(jù)定積分的幾何意義，利用平面幾何知識可得面積；可利用定積分的幾何意義及公式一起解決;錦囊妙計：根據(jù)定積分的幾何意義，可將一些特殊函數(shù)的定積分轉化為利用平面幾何知識求某些規(guī)則圖形的面積。舉一反三：求定積分：.考點3 定積分的上（下）限含有變量問題與函數(shù)的最值?？祭?:已知f(x)= ,求f(x)