初等數(shù)論測試(帶答案)

初等數(shù)論考試試卷1一、單項選擇題(每題3分，共18分)1、如果，則( ).A B C D 2、如果，則15（ ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定3、在整數(shù)中正素數(shù)的個數(shù)（ ）.A 有1個 B 有限多 C 無限多 D 不一定4、如果,是任意整數(shù),則A B C T D 5、如果( ),則不定方程有解.A B C D 6、整數(shù)5874192能被( )整除.A 3 B 3與9 C 9 D 3或9二、填空題(每題3分，共18分)7、素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是（ ）.8、同余式有解的充分必要條件是( ).9、如果是兩個正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為( ).10、如果是素數(shù),是任意一個整數(shù),則被整除或者( ).11、的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( ).12、如果是兩個正整數(shù),則存在( )整數(shù),使,.三、計算題(每題8分，共32分)13、求136,221,391=?14、求解不定方程.15、解同余式.16、求,其中563是素數(shù). （8分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)17、證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù).18、證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除.19、證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和.試卷1答案一、單項選擇題(每題3分，共18分)1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空題(每題3分，共18分)7、素數(shù)寫成兩個平方數(shù)和的方法是（唯一的）.8、同余式有解的充分必要條件是().9、如果是兩個正整數(shù),則不大于而為的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為( ).10、如果是素數(shù),是任意一個整數(shù),則被整除或者( 與互素 ).11、的公倍數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( 倍數(shù) ).12、如果是兩個正整數(shù),則存在( 唯一 )整數(shù),使,.三、計算題(每題8分，共32分)1、 求136,221,391=?（8分）解 136,221,391=136,221,391 =1768,391 -(4分) = =104391=40664. -（4分） 14、求解不定方程.（8分） 解：因為（9，21）=3，所以有解； -（2分） 化簡得； -（1分）考慮，有， -（2分）所以原方程的特解為， -（1分）因此，所求的解是。 -（2分）15、解同余式. （8分）解 因為(12,45)=35,所以同余式有解,而且解的個數(shù)為3. -（1分）又同余式等價于,即. -（1分）我們利用解不定方程的方法得到它的一個解是(10,3),-（2分）即定理4.1中的. -（1分）因此同余式的3個解為, -（1分）, -（1分）.-（1分）16、求,其中563是素數(shù). （8分）解 把看成Jacobi符號,我們有-（3分）-（2分）,-（2分）即429是563的平方剩余. -（1分）四、證明題(第1小題10分，第2小題11分，第3小題11分，共32分)17、證明對于任意整數(shù),數(shù)是整數(shù). (10分) 證明 因為=, -（3分）而且兩個連續(xù)整數(shù)的乘積是2的倍數(shù),3個連續(xù)整數(shù)的乘積是3的倍數(shù), -（2分）并且(2,3)=1, -（1分）所以從和有,-（3分）即是整數(shù). -（1分）18、證明相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除. （11分） 證明 因為, -（3分）所以只需證明T.而我們知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2構(gòu)成,所以這只需將n=0,1,2代入分別得值1，7，1，19，7.對于模5, 的值1，7，1，19，7只與1，2，4等同余, 所以T -（7分）所以相鄰兩個整數(shù)的立方之差不能被5整除。 -（1分）19、證明形如的整數(shù)不能寫成兩個平方數(shù)的和. （11分） 證明 設(shè)是正數(shù),并且, -（3分）如果, -（1分）則因為對于模4,只與0,1,2,-1等同余, 所以只能與0,1同余, 所以, -（4分）而這與的假設(shè)不符, -（2分）即定理的結(jié)論成立. -（1分）初等數(shù)論考試試卷二一、單項選擇題 1、（ ）.A B C D 02、如果，則=（ ）.A B C D 3、小于30的素數(shù)的個數(shù)（ ）.A 10 B 9 C 8 D 74、如果,是任意整數(shù),則A B C T D 5、不定方程（ ）.A 有解 B 無解 C 有正數(shù)解 D 有負(fù)數(shù)解 6、整數(shù)5874192能被( )整除.A 3 B 3與9 C 9 D 3或97、如果，則( ).A B C D 8、公因數(shù)是最大公因數(shù)的（ ）.A 因數(shù) B 倍數(shù) C 相等 D不確定9、大于20且小于40的素數(shù)有（ ）.A 4個 B 5個 C 2個 D 3個10、模7的最小非負(fù)完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，611、因為( ),所以不定方程沒有解.A 12，15不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除12，1512、同余式（ ）.A 有解 B 無解 C 無法確定 D 有無限個解二、填空題 1、有理數(shù)，能寫成循環(huán)小數(shù)的條件是（ ）.2、同余式有解，而且解的個數(shù)為( ).3、不大于545而為13的倍數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為( ).4、設(shè)是一正整數(shù)，Euler函數(shù)表示所有( )，而且與（ ）的正整數(shù)的個數(shù).5、設(shè)整數(shù)，則（ ）=.6、一個整數(shù)能被3整除的充分必要條件是它的（ ）數(shù)碼的和能被3整除.7、（ ）.8、同余式有解,而且解的個數(shù)( ).9、在176與545之間有( )是17的倍數(shù).10、如果,則=( ).11、的最小公倍數(shù)是它們公倍數(shù)的( ).12、如果,那么=( ).三、證明題 13（滿分11分）任意一個位數(shù)與其按逆字碼排列得到的數(shù)的差必是9的倍數(shù). 14（滿分10分）證明當(dāng)是奇數(shù)時，有.15（滿分11分）一個能表成兩個平方數(shù)和的數(shù)與一個平方數(shù)的乘積,仍然是兩個平方數(shù)的和;兩個能表成兩個平方數(shù)和的數(shù)的乘積,也是一個兩個平方數(shù)和的數(shù). 16 如果整數(shù)的個位數(shù)是5,則該數(shù)是5的倍數(shù).17 如果是兩個整數(shù),則存在唯一的整數(shù)對,使得,其中.18 (滿分8分)證明：任一大于2的整數(shù)都可寫