高三數(shù)學3月質量檢測試題 理.doc

廈門市2017屆高中畢業(yè)班第一次質量檢查數(shù)學（理科）試題 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分滿分150分,考試時間120分鐘第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 已知集合，則等于 A. B. C. D. 2.已知復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實數(shù)等于 A. B. C. D. 3. 的內角，的對邊分別為，若，則等于A. B. C. 或 D. 或 4. 若實數(shù)滿足條件，則的最小值為A. B. C. D. 5.已知平面平面，直線，直線，且，有以下四個結論： 若，則 若，則 和同時成立 和中至少有一個成立其中正確的是A B C D 6已知，點為斜邊的中點，則等于 A. B. C. D.7.拋物線的焦點為，點，為拋物線上一點，且不在直線上，則周長的最小值為A. B. C. D.8.某校高三年級有男生220人，學籍編號1，2，220；女生380人，學籍編號221，222，600.為了解學生學習的心理狀態(tài)，按學籍編號采用系統(tǒng)抽樣的方法從這600名學生中抽取10人進行問卷調查（第一組采用簡單隨機抽樣，抽到的號碼為10），然后再從這10位學生中隨機抽取3人座談，則3人中既有男生又有女生的概率是A B. C. D.9.二分法是求方程近似解的一種方法，其原理是“一分為二，無限逼近”.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為A.2 B.3 C.4 D. 510.已知定義在上連續(xù)可導的函數(shù)滿足，且，則A. 是增函數(shù) B.是減函數(shù) C. 有最大值1 D. 有最小值111.已知雙曲線，過軸上點的直線與雙曲線的右支交于兩點（在第一象限），直線交雙曲線左支于點（為坐標原點），連接.若，則該雙曲線的離心率為A. B. C. D. 12已知，為動直線與和在區(qū)間上的左，右兩個交點，在軸上的投影分別為，.當矩形面積取得最大值時，點的橫坐標為，則A B. C. D. 第卷(非選擇題 共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13的展開式中，的系數(shù)為_14化簡：_15某三棱錐的三視圖如圖所示，則其外接球的表面積為_16若實數(shù)a，b，c滿足，則的最小值是_三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（本小題滿分12分）已知數(shù)列，滿足，.（）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（）設，求.18（本小題滿分12分）為了響應廈門市政府“低碳生活，綠色出行”的號召，思明區(qū)委文明辦率先全市發(fā)起“少開一天車，呵護廈門藍”綠色出行活動，“從今天開始，從我做起，力爭每周至少一天不開車，上下班或公務活動帶頭選擇步行、騎車或乘坐公交車，鼓勵拼車”鏗鏘有力的話語，傳遞了低碳生活、綠色出行的理念。某機構隨機調查了本市500名成年市民某月的騎車次數(shù)，統(tǒng)計如下：人數(shù) 次數(shù)年齡 0,10)10,20)20,30)30,40)40,50)50,6018歲至30歲6142032404831歲至44歲462028404245歲至59歲22183337191160歲及以上1513101255聯(lián)合國世界衛(wèi)生組織于2013年確定新的年齡分段：44歲及以下為青年人，45歲至59歲為中年人，60歲及以上為老年人記本市一個年滿18歲的青年人月騎車的平均次數(shù)為.以樣本估計總體.（）估計的值；（）在本市老年人或中年人中隨機訪問3位，其中月騎車次數(shù)超過的人數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學期望.19（本小題滿分12分）在如圖所示的六面體中，面是邊長為的正方形，面是直角梯形，.（）求證：/平面；（）若二面角為，求直線和平面所成角的正弦值.20.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（）討論函數(shù)的零點個數(shù)；（）當時，求證：恒成立.21（本小題滿分12分）已知橢圓，動圓：（圓心為橢圓上異于左右頂點的任意一點），過原點作兩條射線與圓相切，分別交橢圓于，兩點，且切線長的最小值為.（）求橢圓的方程；（）求證：的面積為定值.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，曲線： （為參數(shù)）以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為（）求曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程；（）若直線與，在第一象限分別交于，兩點，為上的動點，求面積的最大值23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，若的解集是.（）求的值；（）若關于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.廈門市2017屆高中畢業(yè)班第一次質量檢查數(shù)學（理科）試題答案一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1-6 BCDBBD 7-12 CDCDAA12.解析：由題意知，與關于直線對稱，設，則，在區(qū)間上單調遞減，且，在區(qū)間存在唯一零點，即為.令得：，即.由不等式得：，解得：，故選A.命題意圖：考查三角函數(shù)的圖象與性質、導數(shù)、零點、不等式等，考查數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13. 14. 15. 16. 15.解析：由三視圖可得三棱錐的直觀圖如圖所示，取的中點，連接，設為的外心，為三棱錐的外接球的半徑，則在線段上，因為，即，解得：，所以，16.解析：（法一）由得：在坐標系中考察函數(shù)與的圖象，所以，的最小值等價于直線與函數(shù)，交點橫坐標之間距離的最小值.設直線與相切于點，則，解得：，所以，故.（法二）由得：，則，令，則，當時，；當時，；當時，；所以，在單調遞增，在單調遞減，故，所以，三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17本題以遞推數(shù)列為背景考查等差數(shù)列的判定以及利用基本量的求和運算，（）重點考查利用數(shù)列遞推形式構造等差或等比數(shù)列以及等差數(shù)列的判定方法；（）主要考查數(shù)列求和應首先探尋通項公式，通過分析通項公式的特征發(fā)現(xiàn)求和的方法. 滿分12分（）證明：法一：由，得3分數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列5分法二：由得3分4分數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列5分（）解：設7分由（）得，數(shù)列為公差為的等差數(shù)列即8分，且是首項，公差為的等差數(shù)列10分12分18.本小題主要考查對頻數(shù)分布表的理解與應用，古典概型、隨機變量的數(shù)學期望等基礎知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應用意識，考查必然與或然思想、化歸與轉化思想滿分12分解：（）由已知可得下表人數(shù) 次數(shù)年齡0,10)10,20)20,30)30,40)40,50)50,60合計青年人102040608090300中年人221833371911140老年人151310125560本市一個青年人月騎車的平均次數(shù)：.5分（）本市老年人或中年人中月騎車時間超過40次的概率為.7分，故.9分 所以的分布列如下：012311分.12分19本題考查立體幾何中的線面關系，空間角，空間向量在立體幾何中的應用等基礎知識，考查運算求解能力、空間想象能力、等價轉化能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化、或然與必然等數(shù)學思想滿分12分證明：（1）法一：連接相交于點，取的中點為,連接.是正方形，是的中點，,又因為,所以且，所以四邊形是平行四邊形，3分，又因為平面,平面平面5分法二：延長相交于點,連接.因為，是的中點，所以且，所以四邊形是平行四邊形， 3分，又因為平面,平面平面5分（2）是正方形，是直角梯形，,平面,同理可得平面.又平面，所以平面平面, 又因為二面角為，所以,由余弦定理得,所以,又因為平面，,所以平面，7分法一：以為坐標原點，為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標系.則,8分所以,設平面的一個法向量為，則即令，則，所以11分設直線和平面所成角為，則12分法二：取的中點為,的中點為，連接.以為坐標原點，為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標系.則8分以,設平面的一個法向量為，則即令，則，所以11分設直線和平面所成角為，則12分20.本題考查函數(shù)單調性、極值、零點的基礎知識，考查學生運算求解與推理論證的能力，運用導數(shù)工具解決函數(shù)與方程、不等式綜合問題的能力?？疾閿?shù)形結合，分類與整合，轉化與化歸的數(shù)學思想。解：（1）法1：由已知1分令，2分單調遞增，單調遞減3分綜上：或時，有1個零點時，有2個零點時，有0個零點5分法2：， ， 1分時，單調遞增，所以，有1個零點2分時，單調遞增，單調遞減，時，0個零點時，1個零點4分時，所以，此時有2個零點綜上：或時，有1個零點時，有2個零點時，有0個零點5分（2）證明：法1：要證即證令，7分9分單調遞減11分單調遞增，單調遞減，綜上：12分法2要證即證令，7分令，令令9分單調遞增，單調遞減單調遞減，單調遞減11分單調遞增，單調遞減，綜上：12分21本題考查橢圓的標準方程的求法，直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關系，考查推理運算和方程求解能力.運用化歸轉化手段. 將切線長最短問題轉化為橢圓上的動點到定點距離最短問題；考查圓錐曲線中的有關定值問題，從變化中尋找不變量，并通過必要的推理和運算化簡求值.考查轉化化歸思想、分類整合思想.（）解：如圖1，因為，所以，POMNyx圖1由得：故點在圓外， 不妨設與圓相切于T，則有：切線長 1分代入得3分由已知得：，解得：，所以橢圓的方程為： 4分POMNyx圖2（）解：1當切線OM或ON斜率不存在即圓P與y軸相切時，易得，代入橢圓方程得：，說明圓P同時也與x軸相切（圖2），此時M、N分別為長、短軸一個端點，則的面積為.5分2當切線OM、ON斜率都存在時，設切線方程為：，由得：，整理得：（*），6分由1知：，即，此時，方程（*）必有兩個非零根，記為,則分別對應直線的斜率，由韋達定理得：，將代入得： 7分解法一：（求交點坐標）由上知：，設點N位于第一、三象限，點M位于第二、四象限，若點N位于第一象限，點M位于第二象限，ABOMNyxM1N1圖3設OM：與橢圓方程聯(lián)立可得： 設ON：與橢圓方程聯(lián)立可得： 9分10分代入坐標有： 同理，當點M、N位于其它象限時，結論也成立綜上，的面積為定值.12分解法二：（探尋直線MN方程特征）（接上）設OMNyx圖4由于點P不與點A、B重合時，直線的斜率存在，不妨設直線的方程為：，將與橢圓方程聯(lián)立可得：，由得， 8分代入有：整理得：； 9分又而原點O到直線的距離為11分.所以的面積為定值.12分22本題考查學生對直角坐標方程、參數(shù)方程、極坐標方程之間的相互轉化，利用極坐標方程求解弦長問題，三角形最值問題，通過直角坐標方程、參數(shù)方程、極坐標方程之間的互化考查化歸與轉化、數(shù)形結合的思想. 解：（）依題意得，曲線的普通方程為，曲線的極坐標方程為，3分 直線的直角坐標方程為5分（）曲線的直角坐標方程為，由題意設， 則，即，得或（舍）， ，則，7分 到的距離為 以為底邊的的高的最大值為 則的面積的最大值為10分23.本題考查學生對絕對值不等式的理解與運用，考查學生對絕對值函數(shù)的