初中幾何輔助線技巧秘籍.doc

初中幾何輔助線技巧大全一 初中幾何常見(jiàn)輔助線口訣人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹汀Ｆ揭蒲?，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。圓形半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。注意點(diǎn)輔助線，是虛線，畫(huà)圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。二 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱(chēng)性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問(wèn)題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見(jiàn)的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有OEDOFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題，在證明線段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。例2 已知：如圖1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求證DCAC分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問(wèn)題自已證明。例3 已知：如圖1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來(lái)證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢？練習(xí)1 已知在ABC中，AD平分BAC，B=2C，求證：AB+BD=AC2 已知：在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3 已知：在ABC中，ABAC,AD為BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CMAB-AC4 已知：D是ABC的BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CDAB+AC。（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。例1 如圖2-1，已知ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180分析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。例2 如圖2-2，在ABC中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。求證：BC=AB+AD分析：過(guò)D作DEBC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3 已知如圖2-3，ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：BAC的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。分析：連接AP，證AP平分BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí)：1如圖2-4AOP=BOP=15，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12已知在ABC中，C=90，AD平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。3已知：如圖2-5, BAC=CAD,ABAD，CEAB，AE=（AB+AD）.求證：D+B=180。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD 的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC 上的點(diǎn)，F(xiàn)AE=DAE。求證：AF=AD+CF。5 已知：如圖2-7，在RtABC中，ACB=90,CDAB，垂足為D，AE平分CAB交CD于F，過(guò)F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=（AB-AC）分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。例2 已知：如圖3-2，AB=AC，BAC=90，AD為ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在ABC中，AD、AE分別BAC的內(nèi)、外角平分線，過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是BAC內(nèi)外角平分線，可得EAAF，從而有BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交AD延長(zhǎng)線于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱(chēng)變換，作ABD關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM關(guān)于CM的對(duì)稱(chēng)FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：1 已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點(diǎn)，AE是BAC的平分線，且CEAE于E，連接DE，求DE。2 已知BE、BF分別是ABC的ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AFBF于F，AEBE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。12ACDB例4 如圖，ABAC, 1=2，求證：ABACBDCD。例5 如圖，BCBA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。BDCAABECD例6 如圖，ABCD，AE、DE分別平分BAD各ADE，求證：AD=AB+CD。練習(xí)：1. 已知，如圖，C=2A，AC=2BC。求證：ABC是直角三角形。CAB2已知：如圖，AB=2AC，1=2，DA=DB，求證：DCACABDC12 3已知CE、AD是ABC的角平分線，B=60，求證：AC=AE+CDAEBDC4已知：如圖在ABC中，A=90，AB=AC，BD是ABC的平分線，求證：BC=AB+ADABCD三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1：D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+ACBD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N，在AMN中，AM+ANMD+DE+NE;（1）在BDM中，MB+MDBD；（2）在CEN中，CN+NECE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC（法二：圖1-2）延長(zhǎng)BD交AC于F，廷長(zhǎng)CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有：AB+AFBD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FCGE+CE（同上）（2）DG+GEDE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：BDCBAC。分析：因?yàn)锽DC與BAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)BDC是EDC的外角，BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC證法二：連接AD，并廷長(zhǎng)交BC于F，這時(shí)BDF是ABD的外角，BDFBAD，同理，CDFCAD，BDF+CDFBAD+CAD，即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線，且1=2,3=4,求證：BE+CFEF。分析：要證BE+CFEF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在DBE和NDE中：DN=DB（輔助線作法）1=2（已知）ED=ED（公共邊）DBENDE（SAS）BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在EFN中EN+FNEF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CFEF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、 截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在ABC中，ABAC，1=2，P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-ACPB-PC。分析：要證：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN=AC連接PN,在APN和APC中AN=AC（輔助線作法）1=2（已知）AP=AP（公共邊）APNAPC（SAS）,PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在BPN中，有PB-PNBN（三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PCPM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)AB-ACPB-PC。DAECB例1如圖，AC平分BAD，CEAB，且B+D=180，求證：AE=AD+BE。例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，求證：ADC+B=180例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DC。MBDCA例4如圖，已知RtABC中，ACB=90，AD是CAB的平分線，DMAB于M，且AM=MB。求證：CD=DB。1如圖，ABCD，AE、DE分別平分BAD各ADE，求證：AD=AB+CD。EDCBA2.如圖，ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BDAE于D，CEAE于E。求證：BD=DE+CE四 由中點(diǎn)想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC的中線，則SABD=SACD=SABC（因?yàn)锳BD與ACD是等底同高的）。例1如圖2，ABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中線。已知ABC的面積為2，求：CDF的面積。解：因?yàn)锳D是ABC的中線，所以SACD=SABC=2=1，又因CD是ACE的中線，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中線，所以SCDF=SCDE=1=。CDF的面積為。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：BGE=CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，ME是BCD的中位線，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，從而B(niǎo)GE=CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3圖4，已知ABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=22=4。在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，從而B(niǎo)E=AC=3。在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90，BD=，故BC=2BD=2。例4如圖5，已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD。仿例3可證：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtABD，RtABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6如圖7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中BE是等腰BCF的底邊CF的中線。（六）中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為ABC的中線，且1=2，3=4，求證：BE+CFEF。證明：廷長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在BDE和CDM中，BD=CD（中點(diǎn)定義）1=5（對(duì)頂角相等）ED=MD（輔助線作法）BDECDM（SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定義）3+2=90即：EDF=90FDM=EDF=90在EDF和MDF中ED=MD（輔助線作法）EDF=FDM（已證）DF=DF（公共邊）EDFMDF（SAS）EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在CMF中，CF+CMMF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CFEF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：AD為ABC的中線，求證：AB+AC2AD。分析：要證AB+AC2AD，由圖想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，CEAD為ABC的中線（已知）BD=CD（中線定義）在ACD和EBD中BD=CD（已證）1=2（對(duì)頂角相等）AD=ED（輔助線作法）ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在ABE中有：AB+BEAE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC2AD。練習(xí)：1 如圖，AB=6，AC=8，D為BC 的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。BADC862 如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，BAC=BCA，求證：AD=2AE。BECDA 3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點(diǎn)，BAC=DAE=90。求證：AMDC。DMCDEDADBD4，已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。 ABDCEF5已知：如圖AD為ABC的中線，AE=EF，求證：BF=AC 五 全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見(jiàn)輔助線的作法：延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答（一）、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.2：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小. 3：如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0AD+AE.（四）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD2：（06鄭州市中考題）如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).中考應(yīng)用（06北京中考）如圖，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。（五）、旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 2：D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。3.如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為 ；中考應(yīng)用（07佳木斯）已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明（圖1）（圖2）（圖3）（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)APB=45時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);(2)當(dāng)APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小.（09崇文一模）在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q= （用、L表示）六 梯形的輔助線 口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹汀Ｆ揭蒲?，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見(jiàn)的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。中位線與腰中點(diǎn)連線。（一）、平移1、平移一腰：例1. 如圖所示，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的長(zhǎng). 解：過(guò)點(diǎn)D作DEBC交AB于點(diǎn)E. 又ABCD，所以四邊形BCDE是平行四邊形. 所以DEBC17，CDBE. 在RtDAE中，由勾股定理，得AE2DE2AD2，即AE217215264. 所以AE8. 所以BEABAE1688. 即CD8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。解：過(guò)點(diǎn)B作BM/AD交CD于點(diǎn)M，在BCM中，BM=AD=4，CM=CDDM=CDAB=83=5，所以BC的取值范圍是：54BC54，即1BCCD，求證：BDAC。證：作AEBC于E，作DFBC于F，則易知AE=DF。在RtABE和RtDCF中，因?yàn)锳BCD，AE=DF。所以由勾股定理得BECF。即BFCE。在RtBDF和RtCAE中由勾股定理得BDAC（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中點(diǎn)，AOD=90，求證：ABCD=AD。證：取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=（ABCD）在AOD中，AOD=90，AE=DE所以由、得ABCD=AD。2、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例14如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：（1）EF/AD；（2）。證：連接DF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，易證AFDCFG則AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是BDG的中位線從而EF/BG，且因?yàn)锳D/BG，所以EF/AD，EF3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。例15、在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE，求AEB=2CBE。解：分別延長(zhǎng)AE與BC ，并交于F點(diǎn)BAD=900且ADBCFBA=1800BAD=900 又ADBCDAE=F(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等) AED=FEC （對(duì)頂角相等）DE=EC （E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)）ADEFCE （AAS） AE=FE在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 在FEB中 EBF=FEBAEB=EBF+ FEB=2CBEABDCEF例16、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，E是CD中點(diǎn)，試問(wèn)：線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？解：AE=BE，理由如下：延長(zhǎng)AE，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)FDE=CE，AED=CEF，DAE=FADEFCEAE=EFABBC， BE=AE例17、已知：梯形ABCD中，AD/BC，E為DC中點(diǎn)，EFAB于F點(diǎn)，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積解：如圖，過(guò)E點(diǎn)作MNAB，分別交AD的延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交BC于N點(diǎn)ABCDEFMNDE=EC，ADBCDEMCNE四邊形ABNM是平行四邊形EFAB，S梯形ABCD=SABNM=ABEF=15cm2【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）1. 若等腰梯形的銳角是60，它的兩底分別為11cm，35cm，則它的腰長(zhǎng)為_(kāi)cm. 2. 如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60，AD2，BC8，則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（ ）A. 19B. 20C. 21D. 223. 如圖所示，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，則梯形ABCD的面積為（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160*4. 如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，對(duì)角線AC與BD互相垂直，且AD30，BC70，求BD的長(zhǎng). 5. 如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長(zhǎng). 6. 如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的長(zhǎng). 7. 如圖所示，梯形ABCD中，ABCD，D2B，ADDC8，求AB的長(zhǎng).*8. 如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，（1）若E是AB的中點(diǎn)，且ADBCCD，則DE與CE有何位置關(guān)系？（2）E是ADC與BCD的角平分線的交點(diǎn)，則DE與CE有何位置關(guān)系？1圓中作輔助線的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理。（2）若題目中有“弦的中點(diǎn)”和“弧的中點(diǎn)”條件時(shí)，一般連接中點(diǎn)和圓心，利用垂徑定理的推論得出結(jié)果。（3）若題目中有“直徑”這一條件，可適當(dāng)選取圓周上的點(diǎn)，連結(jié)此點(diǎn)與直徑端點(diǎn)得到90度的角或直角三角形。（4）連結(jié)同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，如圖1，圓O中，BDOA于D，經(jīng)常是：如圖1（上）延長(zhǎng)BD交圓于C，利用垂徑定理。如圖1（下）延長(zhǎng)AO交圓于E，連結(jié)BE，BA，得RtABE。 圖1（上） 圖1（下）（6）若題目中有“切線”條件時(shí)，一般是：對(duì)切線引過(guò)切點(diǎn)的半徑，（7）若題目中有“兩圓相切”（內(nèi)切或外切），往往過(guò)切點(diǎn)作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過(guò)切點(diǎn)）以溝通兩圓中有關(guān)的角的相等關(guān)系。（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經(jīng)常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形解決，有時(shí)還引兩連心線以得到結(jié)果。（9）有些問(wèn)題可以先證明四點(diǎn)共圓，借助于輔助圓中角之間的等量關(guān)系去證明。（10）對(duì)于圓的內(nèi)接正多邊形的問(wèn)題，往往添作邊心距，抓住一個(gè)直角三角形去解決。例題1：如圖2，在圓O中，B為的中點(diǎn)，BD為AB的延長(zhǎng)線，OAB=500，求CBD的度數(shù)。 解：如圖，連結(jié)OB、OC的圓O的半徑，已知OAB=500B是弧AC的中點(diǎn)弧AB=弧BCAB=BC又OA=OB=OCAOBBOC（S.S.S） 圖2OBC=ABO=500ABO+OBC+CBD=1800CBD=1800 - 500- 500CBD=800答:CBD的度數(shù)是800.例題2:如圖3,在圓O中,弦AB、CD相交于點(diǎn)P，求證：APD的度數(shù)=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。 證明：連接AC，則DPA=C+A