高考數(shù)學(xué)（文科）壓軸大題突破練（直線與圓錐曲線【2】）（含答案）

壓軸大題突破練直線與圓錐曲線(二)1如圖，已知點(diǎn)A(1，)是離心率為的橢圓C：1(ab0)上的一點(diǎn)，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)互不重合(1)求橢圓C的方程；(2)ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(3)求證：直線AB、AD的斜率之和為定值(1)解由題意，可得e，1，a2b2c2，解得a2，b，c，所以橢圓C的方程1.(2)解設(shè)直線BD的方程為yxm，D(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x22mxm240，所以8m26402m|F1F2|2，根據(jù)橢圓的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以F1(0，)，F(xiàn)2(0，)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，設(shè)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，則a2，c，a24，c23，b2a2c21，曲線C的方程為x21.設(shè)l的方程為ykx，由，消去y得，(k24)x22kx10，(2k)24(k24)0，且x1x2，x1x2.mn，mn0，4x1x2y1y24x1x2(kx1)(kx2)(4k2)x1x2k(x1x2)3(k24)k30，解得k.即直線l的斜率k的值為.(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，有x1x2，y1y2.由mn0，得4xy0，即y4x.又A(x1，y1)在橢圓上，x1，|x1|，|y1|.SOAB|x1|y1y2|x1|y1|1(定值)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為ykxt.由消去y得，(k24)x22ktxt240，4k2t24(k24)(t24)0，且x1x2，x1x2.mn0，4x1x2y1y20，4x1x2(kx1t)(kx2t)0，(k24)x1x2kt(x1x2)t20，(k24)ktt20，整理得2t2k24.SOAB|AB|t|1(定值)綜上，AOB的面積為定值3.如圖，已知拋物線C：y22px和M：(x4)2y21，圓心M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.過(guò)拋物線C上一點(diǎn)H(x0，y0)(y01)作兩條直線分別與M相切于A、B兩點(diǎn)，與拋物線C交于E、F兩點(diǎn)(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)AHB的角平分線垂直x軸時(shí)，求直線EF的斜率；(3)若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值解(1)由題意知M的圓心M的坐標(biāo)為(4,0)，半徑為1，拋物線C的準(zhǔn)線方程為x，圓心M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，4，解得p，從而拋物線C的方程為y2x.(2)AHB的角平分線垂直x軸，點(diǎn)H(4,2)，AHB60，可得kHA，kHB，直線HA的方程為yx42，聯(lián)立方程得y2y420，設(shè)E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)，則yE2，yE，xE，同理可得yF，xF，kEF.(3)方法一由題意可設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則kMA，kMB，HA、HB是M的切線，HAMA、HBMB，因此kHA，kHB，所以直線HA、HB的方程分別為(4x1)xy1y4x1150，(4x2)xy2y4x2150，又點(diǎn)H在拋物線上，有yx0，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(y，y0)(y01)，分別代入直線HA、HB的方程得(4x1)yy1y04x1150，(4x2)yy2y04x2150，可整理為(4y)x1y0y14y150，(4y)x2y0y24y150，從而可求得直線AB的方程為(4y)xy0y4y150，令x0，得直線AB在y軸上的截距為t4y0(y01)，考慮到函數(shù)f(x)4x(x1)為單調(diào)遞增函數(shù)，tmin4111.方法二由(1)知，設(shè)點(diǎn)H(y，y0)(y01)，則HM2y7y16，HA2y7y15.以H為圓心，HA為半徑的圓的方程為(xy)2(yy0)2y7y15，又M的方程為(x4)2y21.得：直線AB的方程為(2xy4)(4y)(2yy0)y0y7y14.當(dāng)x0時(shí)，直線AB在y軸上的截距t4y0(y01)，t關(guān)于y的函數(shù)在1，)上單調(diào)遞增，tmin11.4如圖，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線xy0相切A、B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線l過(guò)B點(diǎn)且與x軸垂直(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)G是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，作GHx軸于點(diǎn)H，延長(zhǎng)HG到點(diǎn)Q使得HGGQ，連接AQ并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M，N為線段MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解(1)由題意可得e.以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線xy0相切，b，解得b1.由a2b2c2，可得a2.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由(1)可知A(2,0)，B(2,0)，直線l的方程為x2.設(shè)G(x0，y0)(y00)，于是H(x0,0)，Q(x0,2y0)，且有y1，即4y4x.連接BQ，設(shè)直線AQ與直線BQ的斜率分別為kAQ，kBQ，kAQkBQ1，即AQBQ，點(diǎn)Q在以AB為直徑的圓上直線AQ的方程為y(x2)由解得即M(2，)，N(2，)直線QN的斜率為kQN，kOQkQN1，于是直線OQ與直線QN垂直，直線QN與以AB為直徑的圓O相切中檔大題規(guī)范練數(shù)列1已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，且滿足：a2a464，a1a518.(1)若1i21，a1，ai，a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，求i的值(2)設(shè)bn，是否存在一個(gè)最小的常數(shù)m使得b1b2bn0，所以a2a4，所以a25，a413.所以所以a11，d4.所以an4n3.由1i21，a1，ai，a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，所以a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(2)由(1)知，Snn142n2n，所以bn()，所以b1b2bn(1)，因?yàn)?，所以存在m使b1b2bnm對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立2設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和解(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因?yàn)閍10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.當(dāng)n2時(shí)，由2an1Sn,2an11Sn1，兩式相減得2an2an1an，即an2an1.于是數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列因此，an2n1.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.記數(shù)列n2n1的前n項(xiàng)和為Bn，于是Bn122322n2n1.2Bn12222323n2n.，得Bn12222n1n2n2n1n2n.從而B(niǎo)n1(n1)2n.即數(shù)列nan的前n項(xiàng)和為1(n1)2n.3設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a11，設(shè)數(shù)列bn滿足bnan2n.(1)求證數(shù)列bn為等比數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列cn，Tn是數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，證明：Tn3.(1)解當(dāng)n2時(shí)，由2anan1an2nan13an2n，從而bn1an12n13(an2n)3bn，故bn是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，bnan2n33n13n，an3n2n(n2)，因?yàn)閍11也滿足，于是an3n2n.(2)證明cn，則Tn，Tn，得Tn122，故Tn33.4已知單調(diào)遞增數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn(an)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)n1時(shí)，a1(a1)，得a11，由Sn(an)，則當(dāng)n2時(shí)，Sn1(an1)，得anSnSn1(aa1)，化簡(jiǎn)得(an1)2a0，anan11或anan11(n2)，又an是單調(diào)遞增數(shù)列，故anan11，所以an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故ann.(2)cn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn(c1c3cn1)(c2c4cn)()3(21232n1)3()2(41)2n1.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn(c1c3cn)(c2c4cn1)3(21232n2)()2(41)2n.所以Tn5已知函數(shù)f(x)，數(shù)列an滿足a11，an1f()，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn