函數定義域值域求法(全十一種).doc

高中函數定義域和值域的求法總結一、常規(guī)型即給出函數的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關于自變量的不等式或不等式組，解此不等式（或組）即得原函數的定義域。例1 求函數的定義域。解：要使函數有意義，則必須滿足由解得 或。由解得 或和求交集得且或x5。故所求函數的定義域為。例2 求函數的定義域。解：要使函數有意義，則必須滿足由解得由解得由和求公共部分，得故函數的定義域為評注：和怎樣求公共部分？你會嗎？二、抽象函數型抽象函數是指沒有給出解析式的函數，不能常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個抽象函數的定義域求另一個抽象函數的解析式，一般有兩種情況。（1） 已知的定義域，求的定義域。（2） 其解法是：已知的定義域是a，b求的定義域是解，即為所求的定義域。例3 已知的定義域為2，2，求的定義域。解：令，得，即，因此，從而，故函數的定義域是。（2）已知的定義域，求f(x)的定義域。其解法是：已知的定義域是a，b，求f(x)定義域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定義域。例4 已知的定義域為1，2，求f(x)的定義域。解：因為。即函數f(x)的定義域是。三、逆向型即已知所給函數的定義域求解析式中參數的取值范圍。特別是對于已知定義域為R，求參數的范圍問題通常是轉化為恒成立問題來解決。例5 已知函數的定義域為R求實數m的取值范圍。分析：函數的定義域為R，表明，使一切xR都成立，由項的系數是m，所以應分m=0或進行討論。解：當m=0時，函數的定義域為R；當時，是二次不等式，其對一切實數x都成立的充要條件是綜上可知。評注：不少學生容易忽略m=0的情況，希望通過此例解決問題。例6 已知函數的定義域是R，求實數k的取值范圍。解：要使函數有意義，則必須0恒成立，因為的定義域為R，即無實數當k0時，恒成立，解得；當k=0時，方程左邊=30恒成立。綜上k的取值范圍是。四、實際問題型這里函數的定義域除滿足解析式外，還要注意問題的實際意義對自變量的限制，這點要加倍注意，并形成意識。例7 將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關于一邊長x的函數的解析式，并求函數的定義域。解：設矩形一邊為x，則另一邊長為于是可得矩形面積。由問題的實際意義，知函數的定義域應滿足。故所求函數的解析式為，定義域為（0，）。例8 用長為L的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊長為2x，求此框架圍成的面積y與x的函數關系式，并求定義域。解：由題意知，此框架圍成的面積是由一個矩形和一個半圓組成的圖形的面積，如圖。因為CD=AB=2x，所以，所以，故根據實際問題的意義知故函數的解析式為，定義域（0，）。五、參數型對于含參數的函數，求定義域時，必須對分母分類討論。例9 已知的定義域為0，1，求函數的定義域。解：因為的定義域為0，1，即。故函數的定義域為下列不等式組的解集：，即即兩個區(qū)間a，1a與a，1+a的交集，比較兩個區(qū)間左、右端點，知（1）當時，F（x）的定義域為；（2）當時，F（x）的定義域為；（3）當或時，上述兩區(qū)間的交集為空集，此時F（x）不能構成函數。六、隱含型有些問題從表面上看并不求定義域，但是不注意定義域，往往導致錯解，事實上定義域隱含在問題中，例如函數的單調區(qū)間是其定義域的子集。因此，求函數的單調區(qū)間，必須先求定義域。例10 求函數的單調區(qū)間。解：由，即，解得。即函數y的定義域為（1，3）。函數是由函數復合而成的。，對稱軸x=1，由二次函數的單調性，可知t在區(qū)間上是增函數；在區(qū)間上是減函數，而在其定義域上單調增；，所以函數在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上是減函數。函數值域求法十一種 1. 直接觀察法對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。 例1. 求函數的值域。解：顯然函數的值域是： 例2. 求函數的值域。解：故函數的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。 例3. 求函數的值域。解：將函數配方得：由二次函數的性質可知：當x=1時，當時，故函數的值域是：4，8 3. 判別式法 例4. 求函數的值域。解：原函數化為關于x的一元二次方程（1）當時，解得：（2）當y=1時，而故函數的值域為 例5. 求函數的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時的函數的定義域由，得由，僅保證關于x的方程：在實數集R有實根，而不能確保其實根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實根，由 求出的范圍可能比y的實際范圍大，故不能確定此函數的值域為?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM一步確定原函數的值域。代入方程（1）解得：即當時，原函數的值域為：注：由判別式法來判斷函數的值域時，若原函數的定義域不是實數集時，應綜合函數的定義域，將擴大的部分剔除。 4. 反函數法直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。 例6. 求函數值域。解：由原函數式可得：則其反函數為：，其定義域為：故所求函數的值域為： 5. 函數有界性法直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，反客為主來確定函數的值域。 例7. 求函數的值域。解：由原函數式可得：解得：故所求函數的值域為 例8. 求函數的值域。解：由原函數式可得：，可化為：即即解得：故函數的值域為 6. 函數單調性法 例9. 求函數的值域。解：令則在2，10上都是增函數所以在2，10上是增函數當x=2時，當x=10時，故所求函數的值域為： 例10. 求函數的值域。解：原函數可化為：令，顯然在上為無上界的增函數所以，在上也為無上界的增函數所以當x=1時，有最小值，原函數有最大值顯然，故原函數的值域為 7. 換元法通過簡單的換元把一個函數變?yōu)楹唵魏瘮?，其題型特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發(fā)揮作用。 例11. 求函數的值域。解：令，則又，由二次函數的性質可知當時，當時，故函數的值域為 例12. 求函數的值域。解：因即故可令故所求函數的值域為 例13. 求函數的值域。解：原函數可變形為：可令，則有當時，當時，而此時有意義。故所求函數的值域為 例14. 求函數，的值域。解：令，則由且可得：當時，當時，故所求函數的值域為。 例15. 求函數的值域。解：由，可得故可令當時，當時，故所求函數的值域為： 8. 數形結合法其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。 例16. 求函數的值域。解：原函數可化簡得：上式可以看成數軸上點P（x）到定點A（2），間的距離之和。由上圖可知，當點P在線段AB上時，當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，故所求函數的值域為： 例17. 求函數的值域。解：原函數可變形為：上式可看成x軸上的點到兩定點的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，故所求函數的值域為 例18. 求函數的值域。解：將函數變形為：上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點到點的距離之差。即：由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點，則構成，根據三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有綜上所述，可知函數的值域為：注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數式變形，使A、B兩點在x軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使A，B兩點在x軸的同側。如：例17的A，B兩點坐標分別為：（3，2），在x軸的同側；例18的A，B兩點坐標分別為（3，2），在x軸的同側。 9. 不等式法利用基本不等式，求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。 例19. 求函數的值域。解：原函數變形為：當且僅當即當時，等號成立故原函數的值域為： 例20. 求函數的值域。解：當且僅當，即當時，等號成立。由可得：故原函數的值域為： 10. 一一映射法原理：因為在定義域上x與y是一一對應的。故兩個變量中，若知道一個變量范圍，就可以求另一個變量范圍。 例21. 求函數的值域。解：定義域為由得故或解得故函數的值域為 11. 多種方法綜合運用 例22. 求函數的值域。解：令，則（1）當時，當且僅當t=1，即時取等號，所以（2）