概率論與數(shù)理統(tǒng)計經(jīng)管類期末試卷A

07081概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類） 期末考試試卷A 參考答案07081概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類） 期末考試試卷A 參考答案一、填空題（本大題共6小題，每小題2分，滿分12分）1.設是三個隨機事件，用文字表示事件；2.若，且，則；【分析】3.設隨機變量的概率分布為則 【分析】當時當時4.若隨機變量,則 ， ；5.若二維隨機變量有，則的協(xié)方差；【分析】6.設為來自正態(tài)總體的一個樣本，且，則服從分布；二、單選題（本大題共6小題，每小題2分，滿分12分）7. 隨機事件之交為不可能事件，則稱與為 【 】 對立事件； 互不相容事件； 相互獨立事件； 等價事件.8. 對于任意二事件， 【 】 ； ； ； .9. 下列函數(shù)中，可以作為隨機變量的分布函數(shù)的是 【 】 ； ； ； .10.隨機變量服從分布，在計算時，不可采用的方法有【 】 二項分布； 泊松分布逼近； 正態(tài)分布逼近； 全概公式.11.設隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為則概率 【 】 0.5； 0.3； ； 0.4.【分析】12.設是來自總體的一個簡單隨機樣本，總體的均值,則不是的無偏估計量的是 【 】 ； ； ； 【分析】用列舉法 不是的無偏估計，因為 是的無偏估計，因為 是的無偏估計，因為 是的無偏估計，因為綜上，由P153定義1知，、都是的無偏估計，而不是的無偏估計所以，選三、判斷題（本大題共5小題，每小題2分，滿分10分）13.設兩個事件滿足，則互不相容；【 】14.若服從“”分布（），且相互獨立，則服從分布； 【 】15.若服從參數(shù)的泊松分布，則; 【 】【分析】16.兩個隨機變量與相互獨立，則與一定不相關; 【 】17.假設檢驗中的“納偽錯誤”是指：原假設不成立，而檢驗結果卻接受. 【 】四、計算題（本大題共5小題，滿分38分）18.某科研項目由三個小組獨立研究，3個小組成功完成該項目的概率分別為0.25、0.3、0.4，求該項目被研究成功的概率. （6分）【解】 19.一箱產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中是第一家工廠生產(chǎn)的，其余二廠各生產(chǎn).已知第一、二、三家工廠的不合格品率分別是，現(xiàn)從該箱中任取一只產(chǎn)品，求：（1）取到不合格產(chǎn)品的概率是多少？（2）若任取一只產(chǎn)品是不合格品，求它是第一家工廠生產(chǎn)的概率. （8分）【解】設事件= 取到不合格品 “結果”顯然，由3個“原因”引發(fā)： 取到的產(chǎn)品是第家工廠生產(chǎn)的 注意到構成一個完備事件組.（1）取到不合格產(chǎn)品的概率為 （2）經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品，則該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率為20.某元件壽命（小時）的密度函數(shù)為（1）確定常數(shù)；（2）問一個元件開始使用的150小時中損壞的概率是多少？（3）若某臺設備中有3個這樣的元件，問開始使用的150小時中至少有一個損壞的概率是多少？【解】（1）確定常數(shù)（2）一個元件開始使用的150小時中損壞的概率為（3）若某臺設備中有3個這樣的元件，開始使用的150小時中至少有一個損壞的概率設事件l 另解21.把一枚硬幣連擲三次，以表示三次中正面出現(xiàn)的次數(shù)，表示在三次中正面出現(xiàn)的次數(shù)與反面出現(xiàn)的次數(shù)之差的絕對值，試求的聯(lián)合分布及邊緣分布. （8分）【解】（1）求出二維離散型隨機向量的所有可能取值分別為，（2）依次求出二維離散型隨機向量在各組取值點取值的概率： 由第一章P26定理3（定理，），得 （3）列表寫出二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布及邊緣分布其中二維離散型隨機向量關于的邊緣分布為（分別為表中各行概率值之和）即二維離散型隨機向量關于的邊緣分布為（分別為表中各列概率值之和）即22. 設二維隨機向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為（1）求的邊緣密度函數(shù)；（2）與是否獨立？ （8分）【解】（1）二維隨機向量關于的邊緣密度函數(shù)為二維隨機向量關于的邊緣密度函數(shù)為（2）因為所以，與獨立五、應用題（本大題共4小題，每小題6分，滿分24分）23.某廠產(chǎn)品中，一等品比率為，先從該廠的產(chǎn)品中隨機抽出100個，用中心極限定理計算一等品的個數(shù)在18個到25個的概率.備查數(shù)據(jù)：【解】利用棣莫佛拉普拉斯定理的直觀模式設 = “從該廠的產(chǎn)品中隨機抽出個，一等品的個數(shù)” 在重試驗中，事件（抽到一等品）恰好發(fā)生的次數(shù) ，則 24. 設總體的密度函數(shù)為取為總體的一組樣本觀察值，求參數(shù)的最大似然估計值.【解】利用最大似然估計法（連續(xù)型）在樣本觀察值附近取值的概率 （ 設 ）作似然函數(shù)取對數(shù)并化簡為常數(shù) 似然方程： 解出 25.在某地區(qū)小學五年級男生中隨意抽選25名，測得其樣本的平均身高為150厘米，標準差為12厘米，假設該地區(qū)小學五年級的男生身高服從正態(tài)分布,試根據(jù)所得數(shù)據(jù)求的置信區(qū)間.備查數(shù)據(jù)：【解】設該地區(qū)小學五年級的男生身高為厘米，由題設知：總體（總體均值，總體方差均未知）問題類型：正態(tài)總體，總體方差未知利用單正態(tài)總體參數(shù)的（雙側）置信區(qū)間表（教材P178表6-4-1）知，總體均值的置信度為的置信區(qū)間（）為 由題設，?。簶颖救萘?置信度樣本均值的觀察值厘米樣本標準差的觀察值厘米分位數(shù) 將上述數(shù)據(jù)代入式得，該地區(qū)小學五年級的男生身高的置信度為的置信區(qū)間為26.某廠生產(chǎn)的纜繩的抗拉強度，現(xiàn)在從改進工藝后生產(chǎn)的纜繩中隨機抽取10根，檢測其抗拉強度，得樣本方差，當顯著性水平時，能否據(jù)此樣本認為，新工藝生產(chǎn)的纜繩的抗拉強度的方差較以前有顯著變化？備查數(shù)據(jù)：【解】問題類型：正態(tài)總體，總體均值未知，對總體方差進行假設檢驗（雙側檢驗）由單個正態(tài)總體的均值與方差的假設檢驗的拒絕域表知，可利用檢驗l 檢驗假設 雙側檢驗l 樞軸量 l 檢驗統(tǒng)計量 其觀察值為 l 拒絕域可簡化表示為不等式表示 l 檢驗由題設，取：樣本容量顯著性水平待檢總體方差為樣本方差的觀察值分位數(shù) 代入上述數(shù)據(jù)，得檢驗統(tǒng)計量的觀察值滿足檢驗（ 即，值未落入拒絕域中 ）l 推斷接受原假設 （即，拒絕備擇假設）即，可以認為：新工藝生產(chǎn)的纜繩的抗拉強度的方差未變.從而認為新工藝生產(chǎn)的纜繩的抗拉強度的方差較以前沒有顯著變化六、證明題（本大題共1小題，滿分4分）27.設隨機變量服從指數(shù)分布，概率密度函數(shù)為求證：的概率密度函數(shù)為【證明】解法1：利用定義的分布函數(shù)為于是，的密度函數(shù)為