小學(xué)奧數(shù)知識點梳理-全(大字)

1 學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識點梳理學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識點梳理 一 計算 4 1 四則混合運算繁分?jǐn)?shù) 4 2 簡便計算 4 3 估算 5 4 比較大小 5 5 定義新運算 6 6 特殊數(shù)列求和 6 7 大數(shù)計算 6 9 重復(fù)數(shù)字 4 324 6 10 頭同尾和十 6 11 452 2025 6 12 7 11 13 1001 6 37 3 111 6 13 7 的秘密 6 14 位值原理 7 二 數(shù)論 7 1 奇偶性問題 7 2 位值原則 7 3 數(shù)的整除特征 7 4 整除性質(zhì) 7 5 帶余除法 7 2 6 唯一分解定理 8 7 約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理 8 8 兩數(shù)的約數(shù)也是兩數(shù)差的約數(shù) 8 9 同余定理 8 10 棄九法 8 11 完全平方數(shù)性質(zhì) 8 12 孫子定理 中國剩余定理 見下 8 13 余數(shù)應(yīng)用 8 14 輾轉(zhuǎn)相除法 根本在于輾轉(zhuǎn)相減 9 15 質(zhì)數(shù) 9 16 求最大公因數(shù) 最小共倍數(shù) 9 17 數(shù)論解題的常用方法 9 三 幾何圖形 12 1 平面圖形 12 2 立體圖形 長方體 正方體 14 3 周長 15 4 圖形計數(shù) 15 5 圖形分割和拼接 15 6 一些特殊圖形 15 7 勾股定理 15 8 曲線形圖形 16 9 一些特殊的圖形 16 四 典型應(yīng)用題 17 3 1 植樹問題 17 2 方陣問題 17 3 列車過橋問題 18 4 年齡問題 18 5 雞兔同籠 18 6 牛吃草問題 18 7 平均數(shù)問題 18 8 盈虧問題 18 9 和差問題 18 10 和倍問題 18 11 差倍問題 18 12 逆推問題 18 13 代換問題 19 五 行程問題 19 1 相遇問題 19 2 追及問題 19 3 流水行船 19 4 多次相遇 19 5 環(huán)形跑道 19 6 行程問題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用 19 7 鐘面上的相遇與追及問題 20 8 結(jié)合分?jǐn)?shù) 工程 和差問題的一些類型 20 9 行程問題時常運用 時光倒流 和 假定看成 的思考方法 20 4 10 發(fā)車間隔問題 20 11 接送問題 20 12 火車過橋 20 13 電梯問題 20 14 獵狗追兔 20 六 計數(shù)問題 21 1 枚舉法 21 2 標(biāo)數(shù)法 21 3 加法原理 分類 21 4 乘法原理 分步 21 5 排列組合 21 6 容斥原理 21 7 對應(yīng)法 21 8 抽屜原理 22 9 握手問題 22 10 22 11 染地圖 22 七 分?jǐn)?shù)問題 22 1 純循環(huán)小數(shù) 混循壞小數(shù) 互換 22 2 量率對應(yīng) 22 3 以不變量為 1 22 4 利潤問題 23 5 濃度問題 23 5 6 工程問題 23 7 按比例分配 23 8 分百問題 23 9 在比的問題中 23 八 方程解題 23 1 等量關(guān)系 23 2 二元一次方程組的求解 就是消元的過程 23 3 不定方程的分析求解 24 4 不等方程的分析求解 24 5 未知數(shù) 24 九 找規(guī)律 操作與策略 24 周期性問題 也叫循壞問題 24 數(shù)列問題 24 3 最值問題 25 十 算式謎 25 十一 數(shù)陣問題 26 1 相等和值問題 26 2 數(shù)列分組 含數(shù)獨 26 3 幻方 26 十二 進制 27 十三 一筆畫 27 1 一筆畫定理 27 2 哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈 27 6 3 多筆畫定理 27 4 怎么把不能一筆畫的變成可以的 27 5 一筆畫的實際問題 27 6 最值問題 4 最值問題 27 十四 邏輯推理 27 1 等價條件的轉(zhuǎn)換 27 2 假設(shè)法 27 3 列表法 27 4 對陣圖 28 5 逆推法 28 十五 火柴棒問題 28 十六 游戲與對策問題 28 十七 智力問題 29 十八 構(gòu)造與論證 29 十九 解題方法 29 前言前言 小學(xué)奧數(shù)知識點梳理 對于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要 不過 小學(xué)奧數(shù)知識點梳理 對于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要 不過 對于知識點的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬的現(xiàn)象 為此 本人參考了單對于知識點的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬的現(xiàn)象 為此 本人參考了單 尊主編的尊主編的 小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克 中國少年報社主編的 中國少年報社主編的 華杯賽教材華杯賽教材 華杯華杯 賽集訓(xùn)指南賽集訓(xùn)指南 以及學(xué)而思的以及學(xué)而思的 寒假班系列教材寒假班系列教材 和華羅庚學(xué)校的教材共五套教和華羅庚學(xué)校的教材共五套教 材 力圖打破原有體系 重新整合劃分 構(gòu)建十七塊體系 其第十七為解題方材 力圖打破原有體系 重新整合劃分 構(gòu)建十七塊體系 其第十七為解題方 7 法匯集 可補充相應(yīng)雜題 法匯集 可補充相應(yīng)雜題 原則上簡明扼要 努力刻畫小學(xué)奧數(shù)知識的主樹 原則上簡明扼要 努力刻畫小學(xué)奧數(shù)知識的主樹 干 干 1 把條件翻成數(shù)學(xué)表達 圖 式子等 把條件翻成數(shù)學(xué)表達 圖 式子等 2 代數(shù)的思想 翻不出來用字母代 代數(shù)的思想 翻不出來用字母代 3 不會做的時候怎么吧 能做啥做啥 不會做的時候怎么吧 能做啥做啥 概述概述 遇到讓找出所有數(shù) 不要害怕 肯定不是很多 找規(guī)律 靜下心 代數(shù)思想 逆推思想 歸納思想 猜證思想 分類分步思想 數(shù)形結(jié)合思想 我們告訴快速提分策略 不知該怎么辦時 枚舉找規(guī)律 一 計算一 計算 必考題目必考題目 一般需要速算巧算一般需要速算巧算 要先觀察 看準(zhǔn)了再動手 和 差 積的個位都只和每個數(shù)的個位有關(guān) 能大巧算就大巧 不能大巧就小巧 實在不行來狠的 數(shù)少或小的時候 有時數(shù)少或小的時候 有時 也許可以硬算 也許可以硬算 8 數(shù)多或大時 硬算會出人命的 此時大都需要找規(guī)律數(shù)多或大時 硬算會出人命的 此時大都需要找規(guī)律 1 1 四則混合運算繁分?jǐn)?shù) 四則混合運算繁分?jǐn)?shù) 1運算順序 運算順序 2分?jǐn)?shù) 小數(shù)混合運算技巧分?jǐn)?shù) 小數(shù)混合運算技巧 一般而言 一般而言 加減運算中 能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式 加減運算中 能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式 帶分?jǐn)?shù)的加減法常常整數(shù)和分?jǐn)?shù)分開寫 帶分?jǐn)?shù)的加減法常常整數(shù)和分?jǐn)?shù)分開寫 乘除運算中 統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式 乘除運算中 統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式 乘法變成假分?jǐn)?shù) 乘法變成假分?jǐn)?shù) 帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化 如果有大量的假可以化帶 如果有大量的帶 可以化假 如果有大量的假可以化帶 如果有大量的帶 可以化假 繁分?jǐn)?shù)的化簡繁分?jǐn)?shù)的化簡 5 要考慮整體約分 連續(xù)約分的概念 要考慮整體約分 連續(xù)約分的概念 2 2 簡便計算 簡便計算 湊整思想湊整思想 互補就加 尾同就減 配對湊整 借來還去互補就加 尾同就減 配對湊整 借來還去 分組湊整 分組湊整 1 好多數(shù) 且中間有省略 好多數(shù) 且中間有省略 2 甚至可能打亂順序 重組 甚至可能打亂順序 重組 3 帶著前面的符號 帶著前面的符號 基準(zhǔn)數(shù)思想基準(zhǔn)數(shù)思想 裂項與拆分裂項與拆分 裂和 目的 兩兩相消 湊整裂和 目的 兩兩相消 湊整 9 a b a b b a a b b b a b b a2 b2 a b b a2 a b b b2 a b b a b b b a 裂差 目的 兩兩相消裂差 目的 兩兩相消 1 分子全部相同 最簡單形式為分子全部相同 最簡單形式為 1 不是 不是 1 提取公因數(shù)提取公因數(shù) 2 分母均為幾個自然數(shù)的乘積形式 并且滿足相鄰分母均為幾個自然數(shù)的乘積形式 并且滿足相鄰 2 個分母上的因個分母上的因 數(shù)首尾相接 數(shù)首尾相接 3 分母上的幾個因數(shù)間的差是一個定值 分母上的幾個因數(shù)間的差是一個定值 分?jǐn)?shù)拆分 分?jǐn)?shù)拆分 1 10 1 1 m n 是是 10 的約數(shù)就可以 選取的約數(shù)就可以 選取 m n 的比不的比不 1 10 m n 10 m n n 10 m n 同就可以分成不同的兩個分?jǐn)?shù)相加 這里有 同就可以分成不同的兩個分?jǐn)?shù)相加 這里有 1 2 2 5 1 10 1 5 1 1 階乘 考試考到階乘通常是除法和逆運算乘法 乘法往上階乘 考試考到階乘通常是除法和逆運算乘法 乘法往上 5 想 想 6 5 6 6 除法考慮自己 想除法考慮自己 想 5 5 5 4 提取公因數(shù)提取公因數(shù) 公因數(shù)不會明白地告訴 需要用找出來公因數(shù)不會明白地告訴 需要用找出來 如何找 用拆分 也就是乘不變的方法 目的是找公因數(shù)如何找 用拆分 也就是乘不變的方法 目的是找公因數(shù) 迎春杯特點 迎春杯特點 10 一定會考一題 一般是湊整求和 提取共因數(shù) 考提取公因數(shù)的可能比較大 一定會考一題 一般是湊整求和 提取共因數(shù) 考提取公因數(shù)的可能比較大 但不會那么明顯地給出公因數(shù) 需要拆分找出來 實在不會 低年級可以硬但不會那么明顯地給出公因數(shù) 需要拆分找出來 實在不會 低年級可以硬 算 算 商不變性質(zhì)商不變性質(zhì) 改變運算順序改變運算順序 運算定律的綜合運用 交換率 結(jié)合率運算定律的綜合運用 交換率 結(jié)合率 連減的性質(zhì)連減的性質(zhì) 連除的性質(zhì)連除的性質(zhì) 同級運算移項的性質(zhì) 同級運算移項的性質(zhì) 搬家?guī)Х?加減括號 前面是 搬家?guī)Х?加減括號 前面是 是一定要注意是一定要注意 增減括號的性質(zhì)增減括號的性質(zhì) 變式提取公因數(shù)變式提取公因數(shù) 形如 形如 1212 nn abababaaab 7 換元換元 8 通項歸納通項歸納 找規(guī)律 從簡單情況入手找規(guī)律 從簡單情況入手 目的 利用通項求解目的 利用通項求解 解題步驟 解題步驟 找最后一項 然后套公式 通常別算出來 當(dāng)找不出規(guī)律時 再考慮算出來 找最后一項 然后套公式 通常別算出來 當(dāng)找不出規(guī)律時 再考慮算出來 a 1 或或 2 步上步上 10 階樓梯 有多上種上法 階樓梯 有多上種上法 b 幾個圓或線或矩形吧平面分多少份幾個圓或線或矩形吧平面分多少份 11 方法 看多一個圖形 多幾個點 看多一個點把新的圖形分成幾個部分 方法 看多一個圖形 多幾個點 看多一個點把新的圖形分成幾個部分 就多幾個部分就多幾個部分 線和圓把平面分成多少份 第一條線有問題 其他恢復(fù)正常 線和圓把平面分成多少份 第一條線有問題 其他恢復(fù)正常 3 3 估算 估算 求某式的整數(shù)部分 擴縮法求某式的整數(shù)部分 擴縮法 4 4 比較大小 比較大小 基本方法 通分通分 a 通分母通分母 b 通分子通分子 跟跟 中介中介 比 比如和比 比如和 1 比比 利用倒數(shù)性質(zhì)利用倒數(shù)性質(zhì) 若若 則 則 c b a 形如 形如 則 則 111 abc 312 123 mmm nnn 312 123 nnn mmm 濃度法濃度法 是真分?jǐn)?shù) 必有 a b a m b m a b 是假分?jǐn)?shù) 且 a b 必有 向左劃括號向左劃括號 60 所以 274 60 4 34 就是所求的數(shù) 例 2 一個數(shù)被 3 除余 2 被 7 除余 4 23 被 8 除余 5 這個數(shù)最小是幾 題中 3 7 8 三個數(shù)兩兩互質(zhì) 則 7 8 56 3 8 24 3 7 21 3 7 8 168 為了使 56 被 3 除余 1 用 56 2 112 使 24 被 7 除余 1 用 24 5 120 使 21 被 8 除余 1 用 21 5 105 然后 112 2 120 4 105 5 1229 因為 1229 168 所以 1229 168 7 53 就是所求的數(shù) 例 3 一個數(shù)除以 5 余 4 除以 8 余 3 除以 11 余 2 求滿足條件的最小的自然數(shù) 題中 5 8 11 三個數(shù)兩兩互質(zhì) 則 8 11 88 5 11 55 5 8 40 5 8 11 440 為了使 88 被 5 除余 1 用 88 2 176 使 55 被 8 除余 1 用 55 7 385 使 40 被 11 除余 1 用 40 8 320 然后 176 4 385 3 320 2 2499 因為 2499 440 所以 2499 440 5 299 就是所求的數(shù) 例 4 有一個年級的同學(xué) 每 9 人一排多 5 人 每 7 人一排多 1 人 每 5 人一排多 2 人 問這個年級至少有多少人 幸福 123 老師問的題目 題中 9 7 5 三個數(shù)兩兩互質(zhì) 則 7 5 35 9 5 45 9 7 63 9 7 5 315 為了使 35 被 9 除余 1 用 35 8 280 使 45 被 7 除余 1 用 45 5 225 使 63 被 5 除余 1 用 63 2 126 然后 280 5 225 1 126 2 1877 因為 1877 315 所以 1877 315 5 302 就是所求的數(shù) 例 5 有一個年級的同學(xué) 每 9 人一排多 6 人 每 7 人一排多 2 人 每 5 人一排多 3 人 問這個年級至少有多少人 題中 9 7 5 三個數(shù)兩 兩互質(zhì) 則 7 5 35 9 5 45 9 7 63 9 7 5 315 為了使 35 被 9 除余 1 用 35 8 280 使 45 被 7 除余 1 用 45 5 225 使 63 被 5 除余 1 用 63 2 126 然后 24 280 6 225 2 126 3 2508 因為 2508 315 所以 2508 315 7 303 就是所求的數(shù) 例 5 與例 4 的除數(shù)相同 那么各個 余數(shù)要乘的 數(shù) 也分別相同 所不同的就是最后兩步 關(guān)于 中國剩余定理 類型題目的另外解法 中國剩余定理 解的題目 其實就是 余數(shù)問題 這種題目 也可以用倍數(shù)和余數(shù)的方法解決 不懂 論壇上有沒人發(fā)過 小學(xué)奧賽考試時學(xué)習(xí)過 也用過 現(xiàn)在把方法寫出來 如果懂的也別笑我 呵呵 例一 一個數(shù)被5 除余 2 被 6 除少 2 被 7 除 少 3 這個數(shù)最小是多少 解法 題目可以看成 被5 除余 2 被 6 除余 4 被 7 除余 4 看到那個 被 6 除余 4 被 7 除余 4 了么 有同余數(shù)的 話 只要求出 6 和 7 的最小公倍數(shù) 再加上 4 就是滿足后面條件的數(shù)了 6X7 4 46 下面一步試下 46 能不能滿足第一個條件 一個數(shù)被 5 除余 2 不行的話 只要再 46 加上 6 和 7 的最小公倍數(shù) 42 一直加到能滿足 一個數(shù)被 5 除余 2 這步的原因是 42 是 6 和 7 的最小公倍數(shù) 再怎 么加都會滿足 被 6 除余 4 被 7 除余 4 的條件 46 42 8846 42 42 13046 42 42 42 172 這是一種形式的 它的 前提是條件中出現(xiàn)同余數(shù)的情況 如果遇到?jīng)]有的 下面講例二 一個班學(xué) 生分組做游戲 如果每組三人就多兩人 每組五人就多三人 每組七人就多 四人 問這個班有多少學(xué)生 解法 題目可以看成 除3 余 2 除 5 余 3 除 7 余 4 沒有同余的情況 用的方法是 逐步約束法 就是從 除 7 余 4 的數(shù) 中找出符合 除 5 余 3 的數(shù) 就是再 7 上一直加 4 直到所得 的數(shù)除 5 余 3 得出數(shù)為 18 下面只要在 18 上一直加 7 和 5 得最小公倍數(shù) 35 直到滿足 除 3 余 2 4 7 1111 7 1818 35 53 這種方法也可以 解 中國剩余定理 解的題目 比 中國剩余定理 更好理解 我覺的速 25 度上會比那個繁瑣的公式化的解題更快 大家可以試下 所以 一共有 5 個 187 367 547 727 907 1818 最值問題 最值問題 考慮平均化和極端化 兩數(shù)和一定 差小積大 兩數(shù)積一定 差小和小 三 幾何圖形三 幾何圖形 幾何出題特點及趨勢 淡化幾何幾大模型的直接考察 勾股定理頻繁現(xiàn)身幾何題中 方程 組 作用非比尋常 歐拉公式歐拉公式 頂點頂點 區(qū)域區(qū)域 邊數(shù)邊數(shù) 維數(shù)維數(shù) 1 1 1 平面圖形 平面圖形 多邊形的內(nèi)角和多邊形的內(nèi)角和 N 邊形的內(nèi)角和邊形的內(nèi)角和 N 2 180 180 等積變形 位移 割補 等積變形 位移 割補 三角形內(nèi)等底等高的三角形三角形內(nèi)等底等高的三角形 26 平行線內(nèi)等底等高的三角形平行線內(nèi)等底等高的三角形 A C B D 公共部分的傳遞性公共部分的傳遞性 極值原理 變與不變 極值原理 變與不變 三角形面積與底的正比關(guān)系三角形面積與底的正比關(guān)系 S1 S2 a b S1 S2 S4 S3 或者或者 S1 S3 S2 S4 所謂蝴蝶模型 所謂蝴蝶模型 相似三角形性質(zhì) 份數(shù) 比例 相似三角形性質(zhì) 份數(shù) 比例 S1 S2 a2 2 A A2 2 abch ABCH 即所謂梯形蝴蝶模型 即所謂梯形蝴蝶模型 27 S1 S3 S2 S4 a2 2 b2 ab ab S a b 2 燕尾定理燕尾定理 S ABGS ABG S AGCS AGC S BGES BGE S GECS GEC BEBE ECEC S BGAS BGA S BGCS BGC S AGFS AGF S GFCS GFC AFAF FCFC S AGCS AGC S BCGS BCG S ADGS ADG S DGBS DGB ADAD DBDB 6 6 共角定理共角定理 7 7 差不變原理差不變原理 BC A F D G E 28 知知 5 2 3 則圓點比方點多 則圓點比方點多 3 8 隱含條件的等價代換隱含條件的等價代換 例如弦圖中長短邊長的關(guān)系 例如弦圖中長短邊長的關(guān)系 9 組合圖形的思考方法組合圖形的思考方法 化整為零化整為零 先補后去先補后去 正反結(jié)合正反結(jié)合 有時要求的無法求 可以用反面的方法 求外圍然后減去有時要求的無法求 可以用反面的方法 求外圍然后減去 求面積 直接求求面積 直接求 5 5 間接求 整體間接求 整體 部分 總部分 總 n n m m 不好求 放到一個大的圖形中去求 方法不好求 放到一個大的圖形中去求 方法 這個大的圖形的面積好這個大的圖形的面積好 6 6 求 或者這個大的圖形可以放到再一個大的圖形中求 而這個更大求 或者這個大的圖形可以放到再一個大的圖形中求 而這個更大 的圖形的面積好求的圖形的面積好求 容斥法求解容斥法求解 7 7 10 長方形長方形 a b d c a d b c a ca c b db d a a c c b b d d 11 正方形 正方形 29 說到正方形 就要想到等腰三角形 反之亦然說到正方形 就要想到等腰三角形 反之亦然 1 1 弦圖 看到斜著放的正方形 就應(yīng)該想到弦圖弦圖 看到斜著放的正方形 就應(yīng)該想到弦圖 2 2 變成 5 個小正方形 作一個面積為 5 的正方形 12 海倫公式 海倫公式 三角形的三邊長分別為 三角形的三邊長分別為 a b c p 為半周長為半周長 a b c 2 則三角形的面積則三角形的面積 S cpbpapp 13 如果六邊形對邊相等 相隔一個頂點相連成的三角形的面積是六邊如果六邊形對邊相等 相隔一個頂點相連成的三角形的面積是六邊 形面積的一半形面積的一半 14 當(dāng)求一部分比另一部分的面積大多少時 除了直接求出每部分相減當(dāng)求一部分比另一部分的面積大多少時 除了直接求出每部分相減 外 應(yīng)該可以考慮差不變得方法 外 應(yīng)該可以考慮差不變得方法 30 2 2 立體圖形 長方體 正方體 立體圖形 長方體 正方體 規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式 幾個面 幾個棱等要記清 幾個面 幾個棱等要記清 圓柱體的體積和表面積圓柱體的體積和表面積 圓錐體的體積和表面積圓錐體的體積和表面積 三棱柱的體積和表面積三棱柱的體積和表面積 不規(guī)則立體圖形的表面積不規(guī)則立體圖形的表面積 整體觀照法整體觀照法 體積的等積變形體積的等積變形 水中浸放物體 水中浸放物體 V升水 升水 V物物 要先判斷是否水上升超過了侵入的物體 然后再算升高了多少 要先判斷是否水上升超過了侵入的物體 然后再算升高了多少 測啤酒瓶容積 測啤酒瓶容積 V V空氣 空氣 V水水 三視圖與展開圖三視圖與展開圖 最短線路與展開圖形狀問題最短線路與展開圖形狀問題 求堆積體表面積的常見方法 三視圖法 有些看不見的圖要額外加上 求堆積體體積的常見方法 切片法 染色問題 含染色再切塊 染色問題 含染色再切塊 幾面染色的塊數(shù)與幾面染色的塊數(shù)與 芯芯 棱長 頂點 面數(shù)的關(guān)系 棱長 頂點 面數(shù)的關(guān)系 6 打洞題目打洞題目 3 3 周長 周長 1 規(guī)則圖形 規(guī)則圖形 31 2 不規(guī)則圖形 平移 注意別有漏的 必要的時候要分析線段之間的關(guān) 不規(guī)則圖形 平移 注意別有漏的 必要的時候要分析線段之間的關(guān) 系 要加加減減 系 要加加減減 4 4 圖形計數(shù) 圖形計數(shù) 容易數(shù)不全 方法 會分類 特別的 特別的 6 5 4 3 2 1 4 3 2 1 5 5 圖形分割和拼接 圖形分割和拼接 1 割 從數(shù)量和對稱點入手 特別是當(dāng)要求面積一樣時 割 從數(shù)量和對稱點入手 特別是當(dāng)要求面積一樣時 2 拼 看每條邊的長度 相同長度的往一起拼 當(dāng)然有時候可以是一條 拼 看每條邊的長度 相同長度的往一起拼 當(dāng)然有時候可以是一條 長邊等于多條短邊長邊等于多條短邊 3 剪 拼 前后面積相等 要計算規(guī)劃 剪 拼 前后面積相等 要計算規(guī)劃 6 6 一些特殊圖形 一些特殊圖形 完美長方形 弦圖完美長方形 弦圖 對角線把長方形分成相等的兩部分對角線把長方形分成相等的兩部分 記一些圖形規(guī)律記一些圖形規(guī)律 7 7 勾股定理 勾股定理 兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 32 記的數(shù)據(jù) 記的數(shù)據(jù) 3 4 5 5 12 13 1 1 根號 根號 2 A C B 1 在平面幾何中應(yīng)用 直線形 曲線形 兩園相切 園心相連過切點 兩園相交 折疊 1 利用對稱 用盡量少得未知數(shù)表述圖中的線段 2 勾股定理解方程 2 立體幾何中的應(yīng)用 對角線 AD2 AC2 BC2 BD2 A A B C A D A 8 8 曲線形圖形 曲線形圖形 圓 扇形的周長與面積 平移 割補 旋轉(zhuǎn) 公式總結(jié) 圓的面積 扇形面積 2 r 2 360 n r 圓的周長 扇形周長 2 r 22 360 n rr 9 9 一些特殊的圖形 一些特殊的圖形 1 弓形 弓形通常只求面積 半圓是特殊的弓形 33 弓形面積 扇形面積 三角形面積 除了半圓 2 彎角 彎角的面積 正方形 扇形 3 谷子 谷子 的面積 弓形面積 2 D C B A 5 圓環(huán)面積 環(huán) 6 7 谷子 34 四 典型應(yīng)用題四 典型應(yīng)用題 迎春杯特點 迎春杯特點 不會那么明顯 直接地出盈虧 雞兔同籠 倍比關(guān)系 會有變形和復(fù)雜的關(guān)不會那么明顯 直接地出盈虧 雞兔同籠 倍比關(guān)系 會有變形和復(fù)雜的關(guān) 系或陷阱系或陷阱 畫圖時 對于賣掉 去掉 運走 增加一樣多等從左邊畫 畫圖時 對于賣掉 去掉 運走 增加一樣多等從左邊畫 高年級了 實在不好考慮 用方程做 一般求啥設(shè)啥為未知數(shù) 直接設(shè) 高年級了 實在不好考慮 用方程做 一般求啥設(shè)啥為未知數(shù) 直接設(shè) 還可以間接設(shè)還可以間接設(shè) 1 1 植樹問題 植樹問題 開放型與封閉型開放型與封閉型 間隔與株數(shù)的關(guān)系間隔與株數(shù)的關(guān)系 2 2 方陣問題 方陣問題 外層邊長數(shù)外層邊長數(shù) 2 內(nèi)層邊長數(shù)內(nèi)層邊長數(shù) 即不論哪一層 每往里一層 每邊差 即不論哪一層 每往里一層 每邊差 2 每相鄰兩層的總數(shù)差 每相鄰兩層的總數(shù)差 8 外層邊長數(shù) 外層邊長數(shù) 1 4 4 外周長數(shù)外周長數(shù) 即可以用螺旋法求每一層的總數(shù) 其他形狀的隊列也一樣 即可以用螺旋法求每一層的總數(shù) 其他形狀的隊列也一樣 35 外層邊長數(shù)外層邊長數(shù) 2 中空邊長數(shù) 中空邊長數(shù) 2 實面積數(shù) 實面積數(shù) 即正方形 長方形的有時可以轉(zhuǎn)換成面積 即正方形 長方形的有時可以轉(zhuǎn)換成面積 3 3 列車過橋問題 列車過橋問題 車長車長 橋長橋長 速度速度 時間時間 車長車長甲 甲 車長 車長乙 乙 速度和 速度和 相遇時間相遇時間 車長車長甲 甲 車長 車長乙 乙 速度差 速度差 追及時間追及時間 列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題 車長車長 速度和速度和 相遇時間相遇時間 車長車長 速度差速度差 追及時間追及時間 4 4 年齡問題 年齡問題 1 牢記 年齡差不變 如果變了 一定有特殊的年齡情況 一定要找問題 牢記 年齡差不變 如果變了 一定有特殊的年齡情況 一定要找問題 的關(guān)鍵 比如的關(guān)鍵 比如 XX 年沒有某人沒有出生等等 年沒有某人沒有出生等等 2 年齡增加數(shù)一樣 年齡倍數(shù)是變的 年齡增加數(shù)一樣 年齡倍數(shù)是變的 5 5 雞兔同籠 雞兔同籠 假設(shè)法的解題思想 方程的方法常常會更簡單快 但解方程要準(zhǔn)確 但可假設(shè)法的解題思想 方程的方法常常會更簡單快 但解方程要準(zhǔn)確 但可 以兩種方法進行檢驗以兩種方法進行檢驗 假設(shè)法 全都是一種動物 如果有多種動物 可根據(jù)動物的特點先分成兩 種 砍足法 畫圖法 捆綁法 打包法 36 換算法 6 6 牛吃草問題 牛吃草問題 原有草量原有草量 牛吃速度 牛吃速度 草長速度 草長速度 時間時間 7 7 平均數(shù)問題 平均數(shù)問題 無論什么平均 一定記得總的數(shù)量無論什么平均 一定記得總的數(shù)量 總的單位 才是平均總的單位 才是平均 設(shè)數(shù)法設(shè)數(shù)法 8 8 盈虧問題 盈虧問題 假設(shè)法的解題思想 假設(shè)法的解題思想 方程的方法常常會更簡單快 方程的方法常常會更簡單快 但解方程要準(zhǔn)確 但可但解方程要準(zhǔn)確 但可 以兩種方法進行檢驗以兩種方法進行檢驗 公式法 分析差量關(guān)系分析差量關(guān)系 盈 虧 兩次分配差 盈 盈 兩次分配差 虧 虧 兩次分配差 特別注意 一定的數(shù)量平均分給固定的對象時才能直接套公式 即 1 涉及三個量 被分配的總數(shù) 接受分配的人或物 分配原則 平均 原則 要保證 被分配的總數(shù) 接受分配的人或物 不變 方法 想辦法把變的量變成不變的 2 基本的盈虧問題可以用殷老師的畫圖的方法 9 9 和差問題 和差問題 1010 和倍問題 和倍問題 1111 差倍問題 差倍問題 1212 逆推問題 逆推問題 37 還原法 從結(jié)果入手 倒推法 列圖表 線段圖 倒推法 列圖表 線段圖 吹氣球法吹氣球法 逆推逆推 歸納歸納 1313 代換問題 代換問題 列表消元法列表消元法 等價條件代換等價條件代換 五 行程問題五 行程問題 普通行程問題最基本的概念 普通行程問題最基本的概念 路程和路程和 速度和速度和 相遇時間 相遇時間 所有的問題都來所有的問題都來 自于 自于 1 S 變 往返問題 變 往返問題 ST 圖 圖 環(huán)形跑道 一圈的概念 環(huán)形跑道 一圈的概念 ST 圖 即柳卡圖 但遇到數(shù)字不好解的 考慮有沒有其他方法圖 即柳卡圖 但遇到數(shù)字不好解的 考慮有沒有其他方法 2 V 變 流水行程 水速 變 流水行程 水速 變速問題 差量 變速問題 差量 解題時要考慮速度比 或者假設(shè)速度不變會怎樣 比如解題時要考慮速度比 或者假設(shè)速度不變會怎樣 比如 S 變變 為多少 為多少 3 T 變 走走停停 分段 變 走走停停 分段 平均速度 總 平均速度 總 S 總總 T 線段圖 方程 比列法都是常用工具 有時候可以轉(zhuǎn)化成面積 線段圖 方程 比列法都是常用工具 有時候可以轉(zhuǎn)化成面積 三人以上相遇或追及 殺人 轉(zhuǎn)換成兩兩相遇三人以上相遇或追及 殺人 轉(zhuǎn)換成兩兩相遇 如果路程 時間和速度只告訴一個 或一個都沒有告訴用設(shè)數(shù)法如果路程 時間和速度只告訴一個 或一個都沒有告訴用設(shè)數(shù)法 中點問題 陷阱 中點問題 陷阱 38 如果題目中未提示什么相遇 相遇包括迎面相遇和追及相遇 端點的如果題目中未提示什么相遇 相遇包括迎面相遇和追及相遇 端點的 相遇 即是迎面相遇又是追及相遇相遇 即是迎面相遇又是追及相遇 4 變道 判斷相遇的大概位置 第一次的 和要求的那次的相遇的大概 變道 判斷相遇的大概位置 第一次的 和要求的那次的相遇的大概 位置位置 1 1 相遇問題 相遇問題 路程和路程和 速度和速度和 相遇時間相遇時間 2 2 追及問題 追及問題 路程差路程差 速度差速度差 追及時間追及時間 3 3 流水行船 流水行船 順?biāo)俣软標(biāo)俣?船速船速 水速水速 逆水速度逆水速度 船速船速 水速水速 船速船速 順?biāo)俣?順?biāo)俣?逆水速度 逆水速度 2 順?biāo)俣群湍嫠俣群褪莾杀兜拇?順?biāo)俣群湍嫠俣群褪莾杀兜拇?水速水速 順?biāo)俣?順?biāo)俣?逆水速度 逆水速度 2 順?biāo)俣群湍嫠俣炔钍莾杀兜乃?順?biāo)俣群湍嫠俣炔钍莾杀兜乃?相遇 速度和相遇 速度和 V 甲甲 V 乙船速 變速后分段考慮乙船速 變速后分段考慮 追及 速度差追及 速度差 V 甲 甲 V 乙船速 變速后分段考慮乙船速 變速后分段考慮 說明 兩船相遇 追及問題可以忽略水速 問一船的問題必須考慮水速 說明 兩船相遇 追及問題可以忽略水速 問一船的問題必須考慮水速 掉東西 掉多久 追多久 掉東西 掉多久 追多久 只有一個量 只有一個量 V S T 比例設(shè)數(shù) 比例設(shè)數(shù) 4 4 多次相遇 多次相遇 線型路程 線型路程 甲乙共行全程數(shù)甲乙共行全程數(shù) 相遇次數(shù)相遇次數(shù) 2 1 環(huán)型路程 環(huán)型路程 甲乙共行全程數(shù)甲乙共行全程數(shù) 相遇次數(shù)相遇次數(shù) 其中甲共行路程其中甲共行路程 甲在單個全程所行路程甲在單個全程所行路程 共行全程數(shù)共行全程數(shù) 39 5 5 環(huán)形跑道 環(huán)形跑道 6 6 行程問題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用 行程問題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用 路程一定 速度和時間成反比 路程一定 速度和時間成反比 速度一定 路程和時間成正比 速度一定 路程和時間成正比 時間一定 路程和速度成正比 時間一定 路程和速度成正比 7 7 鐘面上的相遇與追及問題 鐘面上的相遇與追及問題 鐘面介紹 鐘面鐘面介紹 鐘面 60 格 格 1 格格 6o 時針?biāo)俣?時針?biāo)俣?1 小時小時 5 格格 60 分分 格格 1 1 12 2 分 分 分針?biāo)俣?分針?biāo)俣?1 小時小時 1 格格 1 分分 1 格格 分 分 分清是追及還是相遇 一般畫個草圖 選擇整數(shù)點作為出發(fā)點 分清是追及還是相遇 一般畫個草圖 選擇整數(shù)點作為出發(fā)點 追及問題 追及問題 1 時針 分針一次重合 與下一次重合間隔時針 分針一次重合 與下一次重合間隔 65 5 5 1 11 1 0 00 到到 12 00 時針 分針重合了 時針 分針重合了 11 次 算頭不算尾 次 算頭不算尾 12 2 60 0 65 11 段段 5 5 1 11 1 2 解題思路 數(shù)格子數(shù) 路程差 解題思路 數(shù)格子數(shù) 路程差 找速度差找速度差 求時間求時間 數(shù)格子的方向 由快到慢數(shù)格子的方向 由快到慢 應(yīng)記得數(shù) 直線應(yīng)記得數(shù) 直線 直線直線 重合重合 重合重合 65 5 5 1 11 1 7 72 20 0 1 11 1 相遇 找格數(shù)和 即路程和 相遇 找格數(shù)和 即路程和 速度和 速度和 壞鐘問題 壞鐘壞鐘問題 壞鐘好鐘好鐘 40 65 格格 60 格格 格格 5 5 60 格格 注意唯一反比 時間和速度注意唯一反比 時間和速度 8 8 結(jié)合分?jǐn)?shù) 工程 和差問題的一些類型 結(jié)合分?jǐn)?shù) 工程 和差問題的一些類型 9 9 行程問題時常運用 行程問題時常運用 時光倒流時光倒流 和和 假定看成假定看成 的思考方法 的思考方法 1010 發(fā)車間隔問題 發(fā)車間隔問題 間隔 1 甲和車 2 乙和車 3 車自己 V 車 X t 解方程組就可以了 1111 接送問題 接送問題 1 柳卡圖 2 畫清楚圖 1212 火車過橋 火車過橋 S 變 看車尾或車頭 火車過橋的路程等于車長加橋長 火車過人和火車過橋問題的區(qū)別 1313 扶梯問題 扶梯問題 可以把它理解為牛吃草問題 速度時間總量 1 2 算出沒分鐘電梯上行或下行的速度 進而求總量 即走了多少級 1414 獵狗追兔 獵狗追兔 41 方法 1 題目中的兩句話告訴了獵狗和兔子的速度比 方法 2 假設(shè)獵狗 a 米 步 兔 b 米 步 c 步 秒 d 步 秒 相遇或追及距離 將步轉(zhuǎn)換成米 就可以求出相遇或追擊時間 然后求出要求的步數(shù) 六 計數(shù)問題六 計數(shù)問題 需要綜合考慮 經(jīng)常功虧一簣 迎春杯必考一道 近年來和圖形結(jié)合著考的需要綜合考慮 經(jīng)常功虧一簣 迎春杯必考一道 近年來和圖形結(jié)合著考的 比較多比較多 先看是不是直接排列組合 再看是否分步 再看是否分類 再考慮對立事件 先看是不是直接排列組合 再看是否分步 再看是否分類 再考慮對立事件 再考慮采用對應(yīng)法 再考慮采用對應(yīng)法 看到題目要求求有多少種 多少個等題 就是加乘原理或者說是排列組合這看到題目要求求有多少種 多少個等題 就是加乘原理或者說是排列組合這 種題型 先分類 如何分類 從條件比較特殊的入手 分類不能重復(fù) 一般種題型 先分類 如何分類 從條件比較特殊的入手 分類不能重復(fù) 一般 是找有多種選擇的條件來分類 是找有多種選擇的條件來分類 如何分步 按照完成題目要求的事情的順序 一步一步地 如何分步 按照完成題目要求的事情的順序 一步一步地 要注意是分類的 還是分步的 分類之后一定是分步 單純的分步可以理解要注意是分類的 還是分步的 分類之后一定是分步 單純的分步可以理解 是只有一類情況 是只有一類情況 可以和數(shù)論和最值問題結(jié)合 可以和數(shù)論和最值問題結(jié)合 有時候一種方向試試不好做 可以反過來想一想 有時候一種方向試試不好做 可以反過來想一想 1 1 枚舉法 枚舉法 42 分類 有序枚舉 做到不重不漏 分類 有序枚舉 做到不重不漏 往往數(shù)量不大 范圍比較明確 一定往往數(shù)量不大 范圍比較明確 一定 當(dāng)說的比較寬泛 沒有辦法的時候 找規(guī)律當(dāng)說的比較寬泛 沒有辦法的時候 找規(guī)律 幾何計數(shù) 特別數(shù)數(shù)三角形 常常用枚舉 幾何計數(shù) 特別數(shù)數(shù)三角形 常常用枚舉 2 2 標(biāo)數(shù)法 標(biāo)數(shù)法 最短路線 就是加法原理 染色 派工作最短路線 就是加法原理 染色 派工作 3 3 加法原理 分類 加法原理 分類 4 4 乘法原理 分步 乘法原理 分步 5 5 排列組合 排列組合 其實就是加乘原理 實際上是種工具 排列考慮順序 組合不考慮順序其實就是加乘原理 實際上是種工具 排列考慮順序 組合不考慮順序 插板法例插板法例 1 方程 方程 x y z 10 有多少組正整數(shù)解 有多少組正整數(shù)解 36 C29 2 方程 方程 x y z 10 有多少組非負(fù)整數(shù)解 有多少組非負(fù)整數(shù)解 66 C212 3 方程 方程 x y z 10 有多少組有多少組 x y z 都不小于都不小于 2 的整數(shù)解 的整數(shù)解 15 C26 插空法例 插空法例 打包法打包法 排除法排除法 除法定序除法定序 6 6 容斥原理 容斥原理 方法方法 工具 工具 1 文氏圖 文氏圖 2 列表法 適用于題目中沒有提到交叉 列表法 適用于題目中沒有提到交叉 3 方程法 方程法 總數(shù)量總數(shù)量 A B C AB AC BC ABC 常用 總數(shù)量常用 總數(shù)量 A B AB 43 A 交交 B A B A 并并 B A B 容斥里的最值 文字理解 何種情況下最 容斥里的最值 文字理解 何種情況下最 險段圖 檢查 險段圖 檢查 7 7 對應(yīng)法 對應(yīng)法 數(shù)數(shù)下圖有幾個三角形 三角形對應(yīng)到線數(shù)數(shù)下圖有幾個三角形 三角形對應(yīng)到線 例如 例如 8 8 抽屜原理 抽屜原理 至多至少問題 構(gòu)造抽屜 怎么構(gòu)造 抓住問題 9 9 握手問題 握手問題 在圖形計數(shù)中應(yīng)用廣泛在圖形計數(shù)中應(yīng)用廣泛 角 線段 三角形 角 線段 三角形 長方形 梯形 平行四邊形長方形 梯形 平行四邊形 正方形正方形 1010 1111 染地圖 染地圖 關(guān)心的是圖塊之間的關(guān)系 其實不用關(guān)心圖塊的形狀 可以在不改變相鄰關(guān)關(guān)心的是圖塊之間的關(guān)系 其實不用關(guān)心圖塊的形狀 可以在不改變相鄰關(guān) 44 系的情況下進行轉(zhuǎn)換 把不熟悉的圖形 不規(guī)則的圖形 轉(zhuǎn)換成熟悉的規(guī)則系的情況下進行轉(zhuǎn)換 把不熟悉的圖形 不規(guī)則的圖形 轉(zhuǎn)換成熟悉的規(guī)則 的圖形的圖形 1212 概率 概率 概率概率 特定事件 所有事件 七 分?jǐn)?shù)問題七 分?jǐn)?shù)問題 1 1 純循環(huán)小數(shù) 混循壞小數(shù) 互換 純循環(huán)小數(shù) 混循壞小數(shù) 互換 含 2 5 不含其它 是有限小數(shù) 含 2 5 含其它 無限混循環(huán)小數(shù) 不含 2 5 含其它 無限純循環(huán)小數(shù) 循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)換 A 純循環(huán) 例 0 Error 5Error 958 999 混循環(huán) 例 0 12Error 4Error 12345 12 99900 為什么可以這么化 設(shè) A 0 Error 5Error 1000A 958 Error 5Error 985 A 999A 958 A 958 999 2 2 量率對應(yīng) 量率對應(yīng) 3 3 以不變量為 以不變量為 1 1 4 4 利潤問題 利潤問題 5 5 濃度問題 濃度問題 45 基本概念 溶質(zhì) 溶液 溶劑基本概念 溶質(zhì) 溶液 溶劑 基本概念 溶液 溶質(zhì) 溶劑 濃度 溶質(zhì) 溶液 100 有些題表面不是濃度問題 但用濃度問題的方法來解 會非常簡單 辨認(rèn) 不出來也沒關(guān)系 用方程的方法 解題方法 解題方法 1 根據(jù)定義列方程根據(jù)定義列方程 2 倒三角原理 也叫十字交叉法 倒三角原理 也叫十字交叉法 兩種溶液混合前后的濃度關(guān)系 例 例 3 通比 解決因單方面變化而引起變化的問題 抓住不變 通比 解決因單方面變化而引起變化的問題 抓住不變 6 6 工程問題 工程問題 要深刻明白單位要深刻明白單位 1 的概念 把整個工程看成單位的概念 把整個工程看成單位 1 多個工程時通常最小的 多個工程時通常最小的 當(dāng)成單位當(dāng)成單位 1 工作效率 衡量工作快慢的量 工作總量 工作時間 工作效率的和 多人合作 工作效率相加 特別注意 工作量和工作效率都可直接相加 但工作時間不能 方程 組 可大大縮短分析時間 合作問題合作問題 46 水池進出水問題水池進出水問題 7 7 按比例分配 按比例分配 8 8 分百問題 分百問題 分?jǐn)?shù)的性質(zhì) 分子分母同時擴大或縮小相同的非 0 倍數(shù) 值不變 方程法 直接假設(shè) 間接假設(shè) 近年?？?份數(shù)法 設(shè)總份數(shù)為各分母的最小公倍數(shù) 分百問題?？挤輸?shù)法 單位 1 法 方程法 9 9 在比的問題中 在比的問題中 是 比 占后面的是一個意思 如何判斷份數(shù)和數(shù)值 比較 甲比乙多 代表份數(shù) 甲 乙 乙 1 2 1 2 甲比乙多 m 代表份數(shù) 甲 乙 1 2 1 2 八 方程解題八 方程解題 1 1 等量關(guān)系 等量關(guān)系 相關(guān)聯(lián)量的表示法相關(guān)聯(lián)量的表示法 例 例 甲甲 乙乙 100 甲甲 乙乙 3 x 100 x 3x x 解方程技巧解方程技巧 恒等變形恒等變形 2 2 二元一次方程組的求解 就是消元的過程 二元一次方程組的求解 就是消元的過程 1 代入消元法 加減消元法 乘除消元法 代入消元法 加減消元法 乘除消元法 2 當(dāng)方程數(shù)小數(shù)未知數(shù) 當(dāng)方程數(shù)小數(shù)未知數(shù) 轉(zhuǎn)化為解不等式 轉(zhuǎn)化為解不等式 轉(zhuǎn)化為解不定方程 轉(zhuǎn)化為解不定方程 47 看看是方程組列錯了 還是根本就不用解 把某個或幾個或幾個和看看是方程組列錯了 還是根本就不用解 把某個或幾個或幾個和 差 差 積 商積 商 當(dāng)作已知數(shù) 把要求得未知數(shù)表示出來 當(dāng)作已知數(shù) 把要求得未知數(shù)表示出來 3 3 不定方程的分析求解 不定方程的分析求解 以系數(shù)大者為試值角度 設(shè)未知數(shù)最好讓它一定是自然數(shù) 1 整除 余數(shù) 加減 一般來說模小的 同余 乘除 分解質(zhì)因數(shù) 2 范圍 3 遇到數(shù)字和要想棄九法 4 4 不等方程的分析求解 不等方程的分析求解 5 5 未知數(shù) 未知數(shù) 1 直接設(shè)未知數(shù) 問什么設(shè)什么 間接設(shè)未知數(shù) 問什么并不設(shè)這個為未 知數(shù) 而是設(shè)中間條件 2 有時候不需要把所有未知數(shù)都解出來 3 有時候可以把某些未知數(shù)當(dāng)已知數(shù) 去表示其他未知數(shù) 九 找規(guī)律 操作與策略九 找規(guī)律 操作與策略 兩個基本方法 兩個基本方法 1 是抓實質(zhì) 是抓實質(zhì) 操作 操作 通過操作找規(guī)律 可以算作找規(guī)律題 操作一定要仔細(xì) 遇到看上去無法下手的 可以先用簡單的數(shù)或情況 少量的數(shù)或情況 試試找找規(guī)律 如果題目中沒有限制條件 就可以先拿符合的特殊的數(shù)字或情況 48 找規(guī)律 找規(guī)律 可以按結(jié)果找 也可以按過程中找 但通常會考過程中的規(guī)律 迎春 杯也是這個特點 特別多數(shù)排列找規(guī)律 特別多數(shù)排列找規(guī)律 看行 列 中間數(shù) 周期性 等差數(shù)列 數(shù)的個數(shù)等等 周期性問題 也叫循壞問題周期性問題 也叫循壞問題 余數(shù)的應(yīng)用余數(shù)的應(yīng)用 首先找題目中有無周期首先找題目中有無周期 有周期 做有周期 做 無周期 仔細(xì)操作找周期 如植樹問題其實有周期 無周期 仔細(xì)操作找周期 如植樹問題其實有周期 周期的循環(huán)不是固定的周期的循環(huán)不是固定的 一般日期問題都是周期問題 年月日 星期幾問題一般日期問題都是周期問題 年月日 星期幾問題 周期 總數(shù)周期 總數(shù) 搗亂分子 搗亂分子 組的個數(shù)組的個數(shù) 下一組前幾個 下一組前幾個 眼睛要尖 要建立對應(yīng)關(guān)系眼睛要尖 要建立對應(yīng)關(guān)系 找規(guī)律的方法之一 列表 怎么知道要列表 找規(guī)律的方法之一 列表 怎么知道要列表 如果一道題里有好幾個規(guī)律如果一道題里有好幾個規(guī)律 數(shù)列問題數(shù)列問題 等差數(shù)列等差數(shù)列 通項公式通項公式 an a1 n 1 d 求項數(shù) 求項數(shù) n 1 1 n aa d 求和 求和 S 1 2 n aa n 求和公式 求項目的公式 即不住用植樹問題套 其實植樹問題就是等求和公式 求項目的公式 即不住用植樹問題套 其實植樹問題就是等 差數(shù)列問題差數(shù)列問題 當(dāng)?shù)炔顢?shù)列有奇數(shù)項時 和為中間數(shù)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列有奇數(shù)項時 和為中間數(shù) 項數(shù) 也就是首數(shù)和尾數(shù)的平均項數(shù) 也就是首數(shù)和尾數(shù)的平均 數(shù)是中間數(shù)數(shù)是中間數(shù) 49 3 1 3 5 9 11 項數(shù)項數(shù) 2 常常需要找數(shù)和項數(shù)的對應(yīng)關(guān)系常常需要找數(shù)和項數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 逆著算的問題逆著算的問題 余數(shù)相同的各個數(shù)實際上是等差數(shù)列余數(shù)相同的各個數(shù)實際上是等差數(shù)列 等比數(shù)列 相鄰兩項倍數(shù)關(guān)系恒定不變 等比數(shù)列 相鄰兩項倍數(shù)關(guān)系恒定不變 an a1 qn 1 an am qn m m n m n 中間項中間項 2 兩邊的乘積 兩邊的乘積 求和 求和 S 1 1 1 n a q q 借來還去 使借來還去 使 2 用于公比是用于公比是 2 或或 1 2 一定主要借最小的 別忘 一定主要借最小的 別忘 了還 了還 裴波那契數(shù)列 裴波那契數(shù)列 兔子序列 兔子序列 1 1 2 3 5 8 13 復(fù)合數(shù)列 一會變大 一會變小復(fù)合數(shù)列 一會變大 一會變小 二級等差數(shù)列 二級等差數(shù)列 平方數(shù)列 平方數(shù)列 1 4 9 3 3 最值問題 最值問題 最短線路最短線路 a 一個字符陣組的分線讀法一個字符陣組的分線讀法 b 在格子路線上的最短走法數(shù)在格子路線上的最短走法數(shù) 最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題 a 統(tǒng)籌方法統(tǒng)籌方法 50 b 烙餅問題烙餅問題 十 算式謎十 算式謎 找突破口 什么是突破口 就是那些一看到 就馬上知道填什么的地方 一般找突破口 什么是突破口 就是那些一看到 就馬上知道填什么的地方 一般 找的方法 末尾法 末位分析 找的方法 末尾法 末位分析 首位法 高位分析 首位法 高位分析 進位 借位 位數(shù) 估 進位 借位 位數(shù) 估 算 結(jié)合數(shù)論知識點 嘗試 考慮極端情況 如果不能 選擇次優(yōu) 一定要仔算 結(jié)合數(shù)論知識點 嘗試 考慮極端情況 如果不能 選擇次優(yōu) 一定要仔 細(xì) 不要嫌繁瑣 細(xì) 不要嫌繁瑣 已知數(shù) 已知數(shù) 一定要充分利用 通常也是突破口 進位 進位 有可能是 1 2 3 要看加數(shù)的個數(shù) 進位不會超過 加數(shù)的個數(shù) 1 遇到有好多等式的 遇到有好多等式的 要從乘除找突破口 位數(shù) 位數(shù) 實際就是估算的思想 遇到未知的數(shù)字多 只知道位數(shù)的情況 位數(shù)代 表一種取值的范圍 例 b a 6 6X 999 3 4 x 166 4 100 ba 25ba 3 99 ba 33ba 34 999 ba 29 b 2ba 質(zhì)因數(shù)分解 質(zhì)因數(shù)分解 多見于乘法的運算中 不知道的數(shù)太多了 a b ab c 208 3 c 208 24 13 2 0 8 51 26 8 52 4 3 為三位ab 數(shù)