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1 幾種重要的離散型分布 第四節(jié) 2 一 二項(xiàng)分布 BinomialDistribution 例1某射手命中率為0 8 獨(dú)立射擊3次 求恰好命中兩次的概率 解 則恰好命中兩次的概率為 背景 作n次伯努利試驗(yàn)的成功次數(shù)X所服從的分布 由可加性 由獨(dú)立性 3 若隨機(jī)變量X的分布律為 定義 則稱X服從參數(shù)為n p的二項(xiàng)分布 記為 驗(yàn)證規(guī)范性 4 例2某人打靶 命中率為p 0 8 獨(dú)立重復(fù)射擊5次 求 1 恰好命中兩次的概率 2 至少命中兩次的概率 3 至多命中4次的概率 解 設(shè)X為命中數(shù) 1 2 3 5 解 例3某經(jīng)理有7個(gè)顧問(wèn) 對(duì)某決策征求意見(jiàn) 經(jīng)理聽(tīng)取多數(shù)人的意見(jiàn) 若每位顧問(wèn)提出正確意見(jiàn)的概率均為0 7 且相互獨(dú)立 求經(jīng)理作出正確決策的概率 提出正確意見(jiàn)的顧問(wèn)人數(shù) 則經(jīng)理作出正確決策的概率為 6 解 例4對(duì)某藥物的療效進(jìn)行研究 假定這種藥物對(duì)某種疾病的治愈率為p 0 8 現(xiàn)在10個(gè)患者同時(shí)服此藥 求至少有6個(gè)患者治愈的概率 假定患者之間相互獨(dú)立 治愈人數(shù) 則至少有6個(gè)患者治愈的概率為 這個(gè)概率是很大的 也即 如果治愈率確為0 8 則在10人中治愈人數(shù)少于6人的情況是很少出現(xiàn)的 因此 如果在一次實(shí)際試驗(yàn)中 發(fā)現(xiàn)10個(gè)病人中治愈不到6人 那么假定治愈率為0 8就值得懷疑了 7 解 例5假設(shè)有10臺(tái)設(shè)備 每臺(tái)的可靠性 無(wú)故障工作的概率 為0 90 每臺(tái)出現(xiàn)故障時(shí)需要由一人進(jìn)行修理 問(wèn)為保證在95 的情況下當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)故障時(shí)都能及時(shí)得到修理 至少需要安排幾個(gè)人值班 出故障機(jī)器臺(tái)數(shù) 因此 至少需要安排3個(gè)人值班 8 問(wèn)題 若有200臺(tái)設(shè)備呢 需中心極限定理解決 解 出故障機(jī)器臺(tái)數(shù) 因此 至少需要安排3個(gè)人值班 9 解 例6 保險(xiǎn)事業(yè) 若一年中某類(lèi)保險(xiǎn)者的死亡率為0 005 現(xiàn)有1萬(wàn)人參加這類(lèi)保險(xiǎn) 試求在未來(lái)一年中在這些保險(xiǎn)者里面 1 有40人死亡的概率 2 死亡人數(shù)不超過(guò)70人的概率 死亡人數(shù) 1 2 計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜 下面介紹一個(gè)實(shí)用的近似公式 10 證略 11 解 例7假如生三胞胎的概率為10 4 求在10萬(wàn)次生育中 恰有兩次生三胞胎的概率 10萬(wàn)次生育中生三胞胎的次數(shù) 直接用伯努利公式計(jì)算得 用泊松近似公式 可見(jiàn) 當(dāng)n非常大時(shí) 近似程度令人滿意 12 二項(xiàng)分布的數(shù)字特征 13 所以 二項(xiàng)分布的數(shù)字特征 14 例8設(shè)某批產(chǎn)品共有N件 其中有M件次品 按如下兩種方式從中任選n件產(chǎn)品 1 每次取出觀察后放回 2 不放回 設(shè)取得的次品數(shù)為X 試分別就所述的兩種情形 求X的分布律 二 超幾何分布 1 由于是有放回的抽取 所以每次取到次品的概率均為M N 所以 解 即 15 2 若不還原 在N件產(chǎn)品中任選n件 其中恰好有k件次品的取法共有 所以 稱之為超幾何分布 16 17 在歷史上泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似 于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的 近幾十年來(lái) 作為描繪 稀有事件 計(jì)數(shù)資料統(tǒng)計(jì)規(guī)律的概率分布 泊松分布日益顯示其重要性 成了概率論中最重要的幾個(gè)分布之一 在質(zhì)量控制 排隊(duì)論 可靠性理論等許多領(lǐng)域內(nèi)都有重要應(yīng)用 實(shí)例 1 普魯士騎兵每年被馬踢死的人數(shù)服從參數(shù)為0 61的泊松分布 2 1500年到1932年之間每年發(fā)生戰(zhàn)爭(zhēng)的次數(shù) 規(guī)模超過(guò)50000人 服從參數(shù)為0 69的泊松分布 三 泊松分布 PoissonDistribution 18 定義若隨機(jī)變量X的概率分布為 驗(yàn)證規(guī)范性 則稱X服從參數(shù)為的泊松分布 記為 麥克勞林級(jí)數(shù) 19 泊松分布的實(shí)際背景 最簡(jiǎn)流 例如 到達(dá)商店的顧客 用戶對(duì)某種商品質(zhì)量的投訴 暴雨 交通事故 重大刑事案件 大震后的余震 到達(dá)某港口等待進(jìn)港的貨輪 紡紗機(jī)上的斷頭 所形成的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流 分布參數(shù)的概率意義 是單位時(shí)間出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)的平均個(gè)數(shù) 20 例9通過(guò)某十字路口的汽車(chē)數(shù)服從泊松分布 若平均5秒鐘有1輛汽車(chē)通過(guò) 求10秒鐘內(nèi)通過(guò)的汽車(chē)不少于兩輛的概率 解 設(shè)X為10秒內(nèi)通過(guò)的汽車(chē)數(shù) 21 例10某商店出售某種大件商品 據(jù)歷史記錄分析 每月銷(xiāo)售量服從泊松分布 7 問(wèn)在月初進(jìn)貨時(shí)要庫(kù)存多少件此種商品 才能以0 999的概