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第二章完全信息靜態(tài)博弈 本章介紹完全信息靜態(tài)博弈 完全信息靜態(tài)博弈即各博弈方同時(shí)決策 且所有博弈方對(duì)各方得益都了解的博弈 囚徒的困境 齊威王田忌賽馬 猜硬幣 石頭剪子布 古諾產(chǎn)量決策都屬于這種博弈 完全信息靜態(tài)博弈屬于非合作博弈最基本的類(lèi)型 本章介紹完全信息靜態(tài)博弈的一般分析方法 納什均衡概念 各種經(jīng)典模型及其應(yīng)用等 本章分六節(jié) 2 1基本分析思路和方法2 2納什均衡2 3無(wú)限策略博弈分析和反應(yīng)函數(shù)2 4混合策略和混合策略納什均衡2 5納什均衡的存在性2 6納什均衡的選擇和分析方法擴(kuò)展 2 1基本分析思路和方法 2 1 1上策均衡2 1 2嚴(yán)格下策反復(fù)消去法2 1 3劃線法2 1 4箭頭法 2 1 1上策均衡 上策 不管其它博弈方選擇什么策略 一博弈方的某個(gè)策略給他帶來(lái)的得益始終高于其它的策略 至少不低于其他策略的策略囚徒的困境中的 坦白 雙寡頭削價(jià)中 低價(jià) 上策均衡 一個(gè)博弈的某個(gè)策略組合中的所有策略都是各個(gè)博弈方各自的上策 必然是該博弈比較穩(wěn)定的結(jié)果上策均衡不是普遍存在的 為什么上策均衡不是普遍存在的 因?yàn)椴┺姆降淖顑?yōu)策略隨其他博弈方的策略而變化正是博弈問(wèn)題的根本特征 是博弈關(guān)系相互依存性的主要表現(xiàn)形式 如齊王田忌賽馬 古諾產(chǎn)量博弈 猜硬幣等 任何策略都不是絕對(duì)最優(yōu)的 每個(gè)博弈方都沒(méi)有絕對(duì)偏好的上策 上策均衡不普遍存在正是博弈理論的價(jià)值所在 如果普遍存在 與一般的個(gè)人優(yōu)化問(wèn)題沒(méi)有實(shí)質(zhì)區(qū)別 博弈分析也就不會(huì)有什么新意 更不可能成為一門(mén)獨(dú)立的理論 更不可能成為一種重要的 革命的理論方法了 2 1 2嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 嚴(yán)格下策 不管其它博弈方的策略如何變化 給一個(gè)博弈方帶來(lái)的收益總是比另一種策略給他帶來(lái)的收益小的策略與上策均衡的區(qū)別與聯(lián)系 1 上策均衡是一種選擇法的思路 即從所有可選策略中選出最好一種的思路 而嚴(yán)格下策是一種排除的思路 即排除法 兩種在形式上正好相反 如囚徒困境中 不坦白 是 坦白 的嚴(yán)格下策 2 有些博弈不存在上策均衡但卻存在某些嚴(yán)格下策 因此只可以運(yùn)用嚴(yán)格下策反復(fù)消去法而不能運(yùn)用上策均衡 一般來(lái)說(shuō) 嚴(yán)格下策反復(fù)消去法比上策均衡分析的適用面要廣一些 如下列博弈 嚴(yán)格下策反復(fù)消去法能否解決所有的博弈問(wèn)題呢 不能 如猜硬幣 齊王田忌賽馬 石頭剪刀布等賭勝博弈 失效的原因是什么呢 仍然是在典型的博弈問(wèn)題中 博弈方之間普遍存在策略依存的特征 也就是說(shuō) 一個(gè)博弈方的不同策略之間 往往不存在絕對(duì)的優(yōu)劣關(guān)系 而只存在相對(duì)的 有條件的優(yōu)劣關(guān)系 因此利用策略之間的絕對(duì)優(yōu)劣關(guān)系分析篩選的嚴(yán)格下策反復(fù)消去法也無(wú)法應(yīng)用 因此也不能成為博弈分析的一般方法論 2 1 3劃線法 基于上策均衡和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法的局限性 我們必須進(jìn)一步尋找更普遍適用的博弈分析方法 那應(yīng)該向什么方向?qū)ふ疫@種方法呢 必然是以策略之間的相對(duì)優(yōu)劣關(guān)系 而不是絕對(duì)優(yōu)劣關(guān)系為基礎(chǔ)的適用性較強(qiáng)的博弈分析方法 劃線法科學(xué)的決策思路應(yīng)是 先找出自已針對(duì)其他博弈方每種策略或策略組合的最佳對(duì)策 即自己的可選策略中與其他博弈方的策略或策略組合配合 給自己帶來(lái)最大得益的策略 這種相對(duì)最佳對(duì)策總是存在的 但不一定唯一 然后在些基礎(chǔ)上 通過(guò)對(duì)其他博弈方策略選擇的判斷 包括對(duì)其他博弈方對(duì)自己策略判斷的判斷等 預(yù)測(cè)博弈的可能結(jié)果和確定自己的最優(yōu)策略 2 1 3劃線法 方法 對(duì)于其他博弈方每一種策略或者策略組合 找出自己的最佳策略 并在得益上劃線 應(yīng)用 由此可見(jiàn) 劃線法是一種非常簡(jiǎn)便的博弈分析方法 由于它以策略之間的相對(duì)優(yōu)劣關(guān)系為基礎(chǔ) 因此在分析用得益矩陣表示的博弈問(wèn)題時(shí)具有普遍適用性 但并不意味著每個(gè)用得益矩陣表示的博弈都可以用劃線法求出確定性的博弈結(jié)果 事實(shí)上 許多博弈根本不存在確定性的結(jié)果 當(dāng)然也就無(wú)法用劃線法找出這種結(jié)果 意味著猜硬幣博弈中沒(méi)有哪一個(gè)策略組合的雙方策略 相互都是對(duì)對(duì)方策略的最佳對(duì)策略 意味著博弈中有兩個(gè)策略組合都是對(duì)對(duì)方策略的最佳對(duì)策略 值得強(qiáng)調(diào)的是 雖然猜硬幣和夫妻之爭(zhēng)博弈中 劃線法也沒(méi)有完全解決博弈的最終結(jié)果的問(wèn)題 但它至少已經(jīng)使我們對(duì)它們的博弈方策略偏好之間的一致不一致 共同利益和矛盾沖突的情況有了更加清楚的認(rèn)識(shí) 這對(duì)進(jìn)一步解析這些博弈中博弈方的行為有很重要的意義 因此 與在這些博弈問(wèn)題中根本無(wú)法運(yùn)用的嚴(yán)格下策反復(fù)消去法相比 劃線法還是有優(yōu)勢(shì)的 這一點(diǎn)在分析更復(fù)雜的博弈模型時(shí)會(huì)表現(xiàn)的更加明顯 2 1 4箭頭法 箭頭法基本思路 對(duì)博弈中的每個(gè)策略組合進(jìn)行分析 考察在每個(gè)策略組合處各個(gè)博弈方能否通過(guò)單獨(dú)改變自己的策略而增加得益 如果能 用箭頭指示得益增加的方向 應(yīng)用 2 1 4箭頭法 2 1 4箭頭法 箭頭法與劃線法的聯(lián)系與區(qū)別 兩者都是基于相對(duì)優(yōu)劣關(guān)系進(jìn)行分析的 得到的結(jié)論也都是一致的 因此是可以相互替代的方法 但他們分析的思路和角度是不同的 2 2納什均衡 2 2 1納什均衡的定義2 2 2納什均衡的一致預(yù)測(cè)性質(zhì)2 2 3納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 劃線法或箭頭法找出的具有穩(wěn)定性的策略組合 不管是否惟一 都有一個(gè)共同的特性 就是其中每個(gè)博弈方的策略都是針對(duì)其他博弈方策略或策略組合的最佳對(duì)策 事實(shí)上 具有這種性質(zhì)的策略組合 正是非合作博弈理論中最重要的一個(gè)解概念 即博弈中的 納什均衡 2 2 1納什均衡的定義 策略空間 博弈方的第個(gè)策略 博弈方的得益 博弈 納什均衡 在博弈中 如果由各個(gè)博弈方的各一個(gè)策略組成的某個(gè)策略組合中 任一博弈方的策略 都是對(duì)其余博弈方策略的組合的最佳對(duì)策 也即對(duì)任意都成立 則稱(chēng)為的一個(gè)納什均衡 2 2 2納什均衡的一致預(yù)測(cè)性質(zhì) 一致預(yù)測(cè) 如果所有博弈方都預(yù)測(cè)一個(gè)特定博弈結(jié)果會(huì)出現(xiàn) 所有博弈方都不會(huì)利用該預(yù)測(cè)或者這種預(yù)測(cè)能力選擇與預(yù)測(cè)結(jié)果不一致的策略 即沒(méi)有哪個(gè)博弈方有偏離這個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果的愿望 因此預(yù)測(cè)結(jié)果會(huì)成為博弈的最終結(jié)果只有納什均衡才具有一致預(yù)測(cè)的性質(zhì)一致預(yù)測(cè)性是納什均衡的本質(zhì)屬性一致預(yù)測(cè)并不意味著一定能準(zhǔn)確預(yù)測(cè) 因?yàn)橛卸嘀鼐?預(yù)測(cè)不一致的可能 值得注意的是 雖然納什均衡是博弈結(jié)果的一致預(yù)測(cè) 但納什均衡分析卻并不一定能對(duì)所有博弈的結(jié)果都卻出準(zhǔn)確的預(yù)測(cè) 因?yàn)榧{什均衡的一致預(yù)測(cè)性質(zhì)本身并不保證各博弈方的預(yù)測(cè)是相同的 相同的預(yù)測(cè)是一致預(yù)測(cè)性質(zhì)的前提而不是結(jié)果 有許多博弈其實(shí)根本無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè) 因?yàn)橛行┎┺牟淮嬖诩{什均衡 而另有一些博弈又有多重納什均衡且相互無(wú)顯著的優(yōu)劣或效率差別 此外 還存在博弈方的理性 能力等與假設(shè)不符的情況 這些都會(huì)影響納什均衡在博弈分析中的預(yù)測(cè)作用 2 2 3納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 2 2 3納什均衡與嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 命題2 1 在n個(gè)博弈方的博弈中 如果嚴(yán)格下策反復(fù)消去法排除了除之外的所有策略組合 那么一定是該博弈的唯一的納什均衡命題2 2 在n個(gè)博弈方的博弈中 如果是的一個(gè)納什均衡 那么嚴(yán)格下策反復(fù)消去法一定不會(huì)將它消去上述兩個(gè)命題保證在進(jìn)行納什均衡分析之前先通過(guò)嚴(yán)格下策反復(fù)消去法簡(jiǎn)化博弈是可行的 嚴(yán)格下策 對(duì)于某一策略 若則稱(chēng)為的嚴(yán)格下策 2 3無(wú)限策略分析和反應(yīng)函數(shù) 2 3 1古諾的寡頭模型2 3 2反應(yīng)函數(shù)2 3 3伯特蘭德寡頭模型2 3 4公共資源問(wèn)題2 3 5反應(yīng)函數(shù)的問(wèn)題和局限性 2 3 1古諾的寡頭模型 寡頭產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng) 以?xún)蓮S商產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)為例 以自身最大利益為目標(biāo) 各生產(chǎn)2單位產(chǎn)量 各自得益為4以?xún)蓮S商總體利益最大 各生產(chǎn)1 5單位產(chǎn)量 各自得益為4 5 兩寡頭間的囚徒困境博弈 2 3 2反應(yīng)函數(shù) 古諾模型的反應(yīng)函數(shù) 理性局限和古諾調(diào)整 2 3 3伯特蘭德寡頭模型 價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)寡頭的博弈模型產(chǎn)品無(wú)差別 消費(fèi)者對(duì)價(jià)格不十分敏感 2 3 4公共資源問(wèn)題 公共草地養(yǎng)羊問(wèn)題 以三農(nóng)戶(hù)為例n 3 c 4 合作 總體利益最大化 競(jìng)爭(zhēng) 個(gè)體利益最大化 2 3 5反應(yīng)函數(shù)的問(wèn)題和局限性 在許多博弈中 博弈方的策略是有限且非連續(xù)時(shí) 其得益函數(shù)不是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) 無(wú)法求得反應(yīng)函數(shù) 從而不能通過(guò)解方程組的方法求得納什均衡 即使得益函數(shù)可以求導(dǎo) 也可能各博弈方的得益函數(shù)比較復(fù)雜 因此各自的反應(yīng)函數(shù)也比較復(fù)雜 并不總能保證各博弈方的反應(yīng)函數(shù)有交點(diǎn) 特別不能保證有唯一的交點(diǎn) 2 4混合策略和混合策略納什均衡 2 4 1嚴(yán)格競(jìng)爭(zhēng)博弈和混合策略的引進(jìn)2 4 2多重均衡博弈和混合策略2 4 3混合策略和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法2 4 4混合策略反應(yīng)函數(shù) 2 4 1嚴(yán)格競(jìng)爭(zhēng)博弈和混合策略的引進(jìn) 一 猜硬幣博弈 1 不存在前面定義的納什均衡策略組合 2 關(guān)鍵是不能讓對(duì)方猜到自己策略這類(lèi)博弈很多 引出混合策略納什均衡概念 二 混合策略 混合策略博弈和混合策略納什均衡 混合策略 在博弈中 博弈方的策略空間為 則博弈方以概率分布隨機(jī)在其個(gè)可選策略中選擇的 策略 稱(chēng)為一個(gè) 混合策略 其中對(duì)都成立 且混合策略擴(kuò)展博弈 博弈方在混合策略的策略空間 概率分布空間 的選擇看作一個(gè)博弈 就是原博弈的 混合策略擴(kuò)展博弈 混合策略納什均衡 包含混合策略的策略組合 構(gòu)成納什均衡 三 一個(gè)例子 該博弈無(wú)純策略納什均衡 可用混合策略納什均衡分析 策略得益博弈方1 0 8 0 2 2 6博弈方2 0 8 0 2 2 6 四 齊威王田忌賽馬 五 小偷和守衛(wèi)的博弈 加重對(duì)首位的處罰 短期中的效果是使守衛(wèi)真正盡職在長(zhǎng)期中并不能使守衛(wèi)更盡職 但會(huì)降低盜竊發(fā)生的概率 加重對(duì)小偷的處罰 短期內(nèi)能抑制盜竊發(fā)生率長(zhǎng)期并不能降低盜竊發(fā)生率 但會(huì)是的守衛(wèi)更多的偷懶 2 4 2多重均衡博弈和混合策略 一 夫妻之爭(zhēng)的混合策略納什均衡 夫妻之爭(zhēng)博弈的混合策略納什均衡策略得益博弈方1 0 75 0 25 0 67博弈方2 1 3 2 3 0 75 二 制式問(wèn)題 制式問(wèn)題混合策略納什均衡AB得益廠商1 0 40 60 664廠商2 0 670 331 296 三 市場(chǎng)機(jī)會(huì)博弈 進(jìn)不進(jìn)得益廠商1 2 31 30廠商2 2 31 30 2 4 3混合策略和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 2 4 4混合策略反應(yīng)函數(shù) 猜硬幣博弈 夫妻之爭(zhēng)博弈 2 5納什均衡的存在性 納什定理 在一個(gè)由n個(gè)博弈方的博弈中 如果n是有限的 且都是有限集 對(duì) 則該博弈至少存在一個(gè)納什均衡 但可能包含混合策略 教材證明 主要根據(jù)是布魯威爾和角谷的不動(dòng)點(diǎn)定理 納什均衡的普遍存在性正是納什均衡成為非合作博弈分析核心概念的根本原因之一 2 6納什均衡的選擇和分析方法擴(kuò)展 2 6 1多重納什均衡博弈的分析2 6 2共謀和防共謀均衡 2 6納什均衡的選擇和分析方法擴(kuò)展 既然納什均衡具有普遍性 那么能否可以徹底解決所有的博弈問(wèn)題 回答是否定的 納什均衡分析同樣并不一定能徹底解決一個(gè)博弈問(wèn)題 因?yàn)榧{什均衡的存在性并不等于惟一性 在許多博弈中納什均衡是不惟一的 而且不同的納什均衡相互之間也沒(méi)有明顯的優(yōu)劣關(guān)系 從而博弈方的選擇會(huì)遇到困難 2 6 1多重納什均衡博弈的分析 帕累托上策均衡風(fēng)險(xiǎn)上策均衡聚點(diǎn)均衡相關(guān)均衡 一 帕累托上策均衡事實(shí)上 并不是所有多重納什均衡都會(huì)導(dǎo)致分析的困難 因?yàn)殡m然有些博弈中存在多個(gè)納什均衡 但很可能這些納什均衡有明顯的優(yōu)劣差異 所有博弈方都偏好其中同一個(gè)納什均衡 換句話說(shuō) 可能有這些納什均衡中的某一個(gè) 給所有博弈方帶來(lái)的利益 都大于其他所有納什均衡會(huì)帶來(lái)的利益 實(shí)際上就是帕累托效率意義上的優(yōu)劣關(guān)系 因此用這種方法選擇出來(lái)的納什均衡 也稱(chēng)為 帕累托上策均衡 對(duì)大多數(shù)多重納什均衡博弈來(lái)說(shuō) 引進(jìn)混合策略并沒(méi)有解決問(wèn)題 因?yàn)榛旌喜呗员旧聿灰欢ū燃儾呗愿?而且對(duì)于確定哪個(gè)純策略更好也沒(méi)有作用 戰(zhàn)爭(zhēng)與和平博弈 這個(gè)博弈中有兩個(gè)純策略納什均衡 戰(zhàn)爭(zhēng) 戰(zhàn)爭(zhēng) 和 和平 和平 顯然后者帕累托優(yōu)于前者 所以 和平 和平 是本博弈的一個(gè)帕累托上策均衡 寡頭市場(chǎng)的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)博弈也類(lèi)似 戰(zhàn)爭(zhēng)與和平博弈 二 風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 存在帕累托效率意義上優(yōu)劣關(guān)系的情況下 帕累托上策均衡選擇的基本法則是容易理解的 不過(guò)帕累上策均衡并不是有強(qiáng)制力的法則 更重要的是有時(shí)候其他某種同樣是合理的選擇邏輯的作用超過(guò)帕累托效率的選擇邏輯 因此完全理性的決策者也不一定選帕累托上策均衡 因此 考慮 顧忌博弈方 其他博弈方可能發(fā)生錯(cuò)誤等時(shí) 帕累托上策均衡并不一定是最優(yōu)選擇 需要考慮 風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 下面就是兩個(gè)例子 二 風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 二 風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 二 風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 值得注意的是 博弈方對(duì)風(fēng)險(xiǎn)上策均衡的選擇傾向 有一種自我強(qiáng)化的機(jī)制 當(dāng)部分或所有博弈方選擇風(fēng)險(xiǎn)上策均衡的可能性增強(qiáng)的時(shí)候 任一博弈方選擇帕累托上策均衡的期望得益都會(huì)進(jìn)一步變小 這就使得各博弈方更傾向于選擇風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 而這又進(jìn)一步使選擇帕累托上策均衡策略的得益更小 從而形成一種選擇風(fēng)險(xiǎn)上策均衡的正反饋機(jī)制 使其出現(xiàn)的機(jī)會(huì)越來(lái)越大 三 聚點(diǎn)均衡 利用博弈設(shè)定以外的信息和依據(jù)選擇的均衡文化 習(xí)慣或者其他各種特征都可能是聚點(diǎn)均衡的依據(jù)城市博弈 城市分組相同 時(shí)間博弈 報(bào)出相同的時(shí)間 是聚點(diǎn)均衡的典型例子 四 相關(guān)均衡 三個(gè)納什均衡 U L D R 和混合策略均衡 1 2 1 2 1 2 1 2 結(jié)果都不理想 不如 D L 可利用聚點(diǎn)均衡 天氣 拋硬幣 但仍不理想 相關(guān)裝置 1 各1 3概率A B C2 博弈方1看到是否A 博弈方2看到是否C3 博弈方1見(jiàn)A采用U 否則D 博弈方2見(jiàn)C采用R 否則L 相關(guān)均衡要點(diǎn) 1 構(gòu)成納什均衡2 有人忽略不造成問(wèn)