2016年“大夢(mèng)杯”福建省初中數(shù)學(xué)競賽試題以及參考答案.doc

.2016年“大夢(mèng)杯”福建省初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案考試時(shí)間 2016年3月13日 9001100 滿分150分一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）。每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上且。將沿直線折疊得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A B C D2若實(shí)數(shù)，滿足，且，則（ ）A18 B12 C9 D63若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則符合條件的所有實(shí)數(shù)的值的總和為（ ）A B C D4如圖，在中，為的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)。記的面積為， 的面積為，則（ ）A B C D5已知，為實(shí)數(shù)，且滿足，記的最大值為，最小值為，則（ ） A B C D二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)，若一次函數(shù)的圖像與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍為 。7如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，延長交于點(diǎn)。若，則 。8設(shè)，是個(gè)互不相同的正整數(shù)，且，則的最大值是 。9如圖，是的直徑，是的切線，交于點(diǎn)，若，則 。10若正整數(shù)，滿足方程組，則的最大值為 。三、解答題（共4題，每小題20分，共80分）11若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，求的值。12如圖，為的垂心，圓為的外接圓。點(diǎn)、為以為圓心、長為半徑的圓與圓的交點(diǎn)，為線段的垂直平分線與圓的交點(diǎn)。求證：（1）垂直平分線段；（2）。13對(duì)于整數(shù)，用表示所有小于的素?cái)?shù)的乘積。求滿足條件的所有正整數(shù)。14在一個(gè)（行，列，）的表格的每個(gè)方格內(nèi)填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使得：（1）每一列所填的數(shù)都是1，2，3，的一個(gè)排列；（即在每一列中，1，2，3，這個(gè)數(shù)出現(xiàn)且僅出現(xiàn)1次）（2）每一行個(gè)的數(shù)和都是34。當(dāng)上述的填數(shù)方式存在時(shí)，求的所有可能取值。2016年“大夢(mèng)杯”福建省初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案考試時(shí)間 2016年3月13日 9001100 滿分150分一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）。每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上且。將沿直線折疊得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A B C D【答案】 B 【解答】如圖，設(shè)軸于點(diǎn)。依題意，。所以，。因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為。2若實(shí)數(shù)，滿足，且，則（ ）A18 B12 C9 D6【答案】 A 【解答】依題意，為方程的兩個(gè)不同實(shí)根。因此，由韋達(dá)定理得，?；蚪猓骸?若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則符合條件的所有實(shí)數(shù)的值的總和為（ ）A B C D【答案】 D 【解答】方程化為 若方程有兩個(gè)相等實(shí)根，則，。時(shí)，方程的根，符合要求。若是方程的根，則，此時(shí)，方程的另一個(gè)根為，符合要求。若是方程的根，則，此時(shí)，方程的另一個(gè)根為，符合要求。所以，符合條件的有，其總和為。4如圖，在中，為的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)。記的面積為， 的面積為，則（ ）A B C D【答案】 C （第4題）【解答】依題意，。由為的內(nèi)心知，。所以，由等比定理知，。5已知，為實(shí)數(shù)，且滿足，記的最大值為，最小值為，則（ ） A B C D【答案】 C 【解答】由，得，。 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即，或，時(shí)等號(hào)成立。 的最小值為，的最小值為，即。 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即，或，時(shí)等號(hào)成立。 的最大值為，的最大值為，即。 。 或解：由，得，。設(shè)，若，則；時(shí)，將代入，得，即， 由，解得。將代入方程，解得，；代入方程，解得，。 的最大值為，最小值為。因此，。二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)，若一次函數(shù)的圖像與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍為 ?！敬鸢浮?(個(gè)人覺得還要補(bǔ)充，因?yàn)槭且淮魏瘮?shù))【解答】易得直線對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析式為。由，得 依題意，方程有的解。 ，且，解得。故的取值范圍為。或通過作圖求解。7如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，延長交于點(diǎn)。若，則 ?！敬鸢浮?（第7題）【解答】如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，則。又由，知。 。 。 。8設(shè)，是個(gè)互不相同的正整數(shù)，且，則的最大值是 ?！敬鸢浮?63【解答】依題意，。 。于是，。又當(dāng)，時(shí)，。 所求的最大值為63。9如圖，是的直徑，是的切線，交于點(diǎn)，若，則 。【答案】 【解答】由為的直徑知，。設(shè)，則，。（第9題）由條件易得， ，即。結(jié)合，得。（或由射影定理得，即） ，解得或（舍去）。 ，。10若正整數(shù)，滿足方程組，則的最大值為 。【答案】 84【解答】由，得。結(jié)合，為正整數(shù)得，于是。 ，。 當(dāng)，或，時(shí)，有最大值84。三、解答題（共4題，每小題20分，共80分）11若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，求的值?！窘獯稹吭O(shè)，是方程兩個(gè)不相等的整數(shù)根，則，。 ，均為整數(shù)。因此，為整數(shù)。 5分 為完全平方數(shù)。設(shè)（為整數(shù)，且）。則。于是，。 10分由于，奇偶性相同，且。 或。 解得或。 15分經(jīng)檢驗(yàn)，符合要求。 或。 20分另解：設(shè)，（）是方程兩個(gè)不相等的整數(shù)根。則。兩式相減，得。由，得，。 5分將代入，得。 。 10分由于，為整數(shù)，且，因此，或。 或。 15分當(dāng)時(shí)，；時(shí)，。 或。 20分12如圖，為的垂心，圓為的外接圓。點(diǎn)、為以為圓心、長為半徑的圓與圓的交點(diǎn)，為線段的垂直平分線與圓的交點(diǎn)。求證：（1）垂直平分線段；（2）?！窘獯稹浚?）解法一：如圖，連結(jié)，。由為的垂心知，。（第12題）由、四點(diǎn)共圓，得。 。 5分又， ，。 垂直平分線段。 10分解法二：作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。連結(jié)，。則，點(diǎn)在以為圓心、長為半徑的圓上。 5分又，為的垂心， ，、四點(diǎn)共圓。因此，點(diǎn)也在圓上。 、兩點(diǎn)重合。因此，、關(guān)于直線對(duì)稱，即垂直平分線段。 10分（2） 連結(jié)，。依題意有。結(jié)合為線段的垂直平分線與圓的交點(diǎn)，知為圓的直徑。 。又由（1），以及為的垂心知，。因此，、三點(diǎn)共線。 。 15分 。 。 。 20分或：通過，證明。或通過證明四邊形等腰梯形，證明。13對(duì)于整數(shù)，用表示所有小于的素?cái)?shù)的乘積。求滿足條件的所有正整數(shù)。【解答】解法一：若，則整除，但不能整除。因此，不符合要求。故，。 10分若，則，由，得。 15分若，則，由，得正整數(shù)不存在。若，則，由，得正整數(shù)不存在。若，則，由，得正整數(shù)不存在。 滿足條件的正整數(shù)只有1個(gè)，。 20分解法二：由，得。由于是偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)，因此，是奇數(shù)。 5分若，則含有奇數(shù)的素?cái)?shù)因子，即為奇素?cái)?shù)，且整除。由知，整除。由此整除1024，矛盾。故，即，且為奇數(shù)。 10分 時(shí)， 。又，。 。即，5，7，9，11。 15分將，5，7，9，11分別代入驗(yàn)證，時(shí)，不符合要求。時(shí)，不符合要求。時(shí)，不符合要求。時(shí)，不符合要求。時(shí)，符合要求。 滿足條件的正整數(shù)只有1個(gè)，。 20分14在一個(gè)（行，列，）的表格的每個(gè)方格內(nèi)填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使得：（1）每一列所填的數(shù)都是1，2，3，的一個(gè)排列；（即在每一列中，1，2，3，這個(gè)數(shù)出現(xiàn)且僅出現(xiàn)1次）（2）每一行個(gè)的數(shù)和都是34。當(dāng)上述的填數(shù)方式存在時(shí)，求的所有可能取值?！窘獯稹恳李}意，每列個(gè)數(shù)的和為，共列。又每行個(gè)數(shù)的和為34。所以，。 5分又。所以，。 當(dāng)時(shí)，每一行1個(gè)數(shù)的和互不相同，與（2）矛盾，即符合條件的填數(shù)方式不存在。舍去。記為第行，第列所填寫的數(shù)。當(dāng)時(shí)，令，。即當(dāng)?shù)?列自上而下各行所填的數(shù)依次為1，2，3，33；第2列自上而下各行所填的數(shù)依次為33，32，31，1時(shí)，符合要求。 10分當(dāng)時(shí)，令，。即當(dāng)?shù)?列自上而下各行所填的數(shù)依次為1，2，