算法題計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析期末試題4套(含答案).docVIP

（1）用計(jì)算機(jī)求解問題的步驟：1、問題分析2、數(shù)學(xué)模型建立3、算法設(shè)計(jì)與選擇4、算法指標(biāo)5、算法分析6、算法實(shí)現(xiàn)7、程序調(diào)試8、結(jié)果整理文檔編制（2）算法定義：算法是指在解決問題時(shí)，按照某種機(jī)械步驟一定可以得到問題結(jié)果的處理過程（3）算法的三要素1、操作2、控制結(jié)構(gòu)3、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法具有以下5個(gè)屬性：有窮性：一個(gè)算法必須總是在執(zhí)行有窮步之后結(jié)束，且每一步都在有窮時(shí)間內(nèi)完成。確定性：算法中每一條指令必須有確切的含義。不存在二義性。只有一個(gè)入口和一個(gè)出口可行性：一個(gè)算法是可行的就是算法描述的操作是可以通過已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)算執(zhí)行有限次來實(shí)現(xiàn)的。輸入：一個(gè)算法有零個(gè)或多個(gè)輸入，這些輸入取自于某個(gè)特定對(duì)象的集合。輸出：一個(gè)算法有一個(gè)或多個(gè)輸出，這些輸出同輸入有著某些特定關(guān)系的量。算法設(shè)計(jì)的質(zhì)量指標(biāo)：正確性：算法應(yīng)滿足具體問題的需求；可讀性：算法應(yīng)該好讀，以有利于讀者對(duì)程序的理解；健壯性：算法應(yīng)具有容錯(cuò)處理，當(dāng)輸入為非法數(shù)據(jù)時(shí)，算法應(yīng)對(duì)其作出反應(yīng)，而不是產(chǎn)生莫名其妙的輸出結(jié)果。效率與存儲(chǔ)量需求：效率指的是算法執(zhí)行的時(shí)間；存儲(chǔ)量需求指算法執(zhí)行過程中所需要的最大存儲(chǔ)空間。一般這兩者與問題的規(guī)模有關(guān)。經(jīng)常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、貪婪法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、回溯法、分支限界法迭代法 也稱“輾轉(zhuǎn)法”，是一種不斷用變量的舊值遞推出新值的解決問題的方法。利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個(gè)方面的工作：一、確定迭代模型。在可以用迭代算法解決的問題中，至少存在一個(gè)直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個(gè)變量就是迭代變量。二、建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其下一個(gè)值的公式（或關(guān)系）。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問題的關(guān)鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。三、對(duì)迭代過程進(jìn)行控制。在什么時(shí)候結(jié)束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個(gè)確定的值，可以計(jì)算出來；另一種是所需的迭代次數(shù)無法確定。對(duì)于前一種情況，可以構(gòu)建一個(gè)固定次數(shù)的循環(huán)來實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過程的控制；對(duì)于后一種情況，需要進(jìn)一步分析出用來結(jié)束迭代過程的條件。編寫計(jì)算斐波那契（Fibonacci）數(shù)列的第n項(xiàng)函數(shù)fib（n）。斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、，即：fib(0)=0;fib(1)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （當(dāng)n1時(shí)）。寫成遞歸函數(shù)有：int fib(int n) if (n=0) return 0;if (n=1) return 1;if (n1) return fib(n-1)+fib(n-2);一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)引進(jìn)一只剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個(gè)月開始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個(gè)月時(shí)，該飼養(yǎng)場(chǎng)共有兔子多少只？分析： 這是一個(gè)典型的遞推問題。我們不妨假設(shè)第 1 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 1 ，第 2 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 2 ，第 3 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 3 ，根據(jù)題意，“這種兔子從出生的下一個(gè)月開始，每月新生一只兔子”，則有u 1 1 ， u 2 u 1 u 1 1 2 ， u 3 u 2 u 2 1 4 ，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以歸納出下面的遞推公式：u n u n 1 2 (n 2)對(duì)應(yīng) u n 和 u n 1 ，定義兩個(gè)迭代變量 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉(zhuǎn)換成如下迭代關(guān)系：y=x*2x=y讓計(jì)算機(jī)對(duì)這個(gè)迭代關(guān)系重復(fù)執(zhí)行 11 次，就可以算出第 12 個(gè)月時(shí)的兔子數(shù)。參考程序如下：clsx=1for i=2 to 12y=x*2x=ynext iprint yend分而治之法1、分治法的基本思想 任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模N有關(guān)。問題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如，對(duì)于n個(gè)元素的排序問題，當(dāng)n=1時(shí)，不需任何計(jì)算；n=2時(shí)，只要作一次比較即可排好序；n=3時(shí)只要作3次比較即可，。而當(dāng)n較大時(shí)，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問題，有時(shí)是相當(dāng)困難的。 分治法的設(shè)計(jì)思想是，將一個(gè)難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個(gè)擊破，分而治之。 分治法所能解決的問題一般具有以下幾個(gè)特征： （1）該問題的規(guī)模縮小到一定的程度就可以容易地解決； （2）該問題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)； （3）利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解； （4）該問題所分解出的各個(gè)子問題是相互獨(dú)立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。 3、分治法的基本步驟 分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟： （1）分解：將原問題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問題形式相同的子問題； （2）解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問題； （3）合并：將各個(gè)子問題的解合并為原問題的解?？焖倥判蛟谶@種方法中， n 個(gè)元素被分成三段（組）：左段l e f t，右段r i g h t和中段m i d d l e。中段僅包含一個(gè)元素。左段中各元素都小于等于中段元素，右段中各元素都大于等于中段元素。因此l e f t和r i g h t中的元素可以獨(dú)立排序，并且不必對(duì)l e f t和r i g h t的排序結(jié)果進(jìn)行合并。m i d d l e中的元素被稱為支點(diǎn)( p i v o t )。圖1 4 - 9中給出了快速排序的偽代碼。 / /使用快速排序方法對(duì)a 0 :n- 1 排序 從a 0 :n- 1 中選擇一個(gè)元素作為m i d d l e，該元素為支點(diǎn) 把余下的元素分割為兩段left 和r i g h t，使得l e f t中的元素都小于等于支點(diǎn)，而right 中的元素都大于等于支點(diǎn) 遞歸地使用快速排序方法對(duì)left 進(jìn)行排序 遞歸地使用快速排序方法對(duì)right 進(jìn)行排序 所得結(jié)果為l e f t + m i d d l e + r i g h t 考察元素序列 4 , 8 , 3 , 7 , 1 , 5 , 6 , 2 。假設(shè)選擇元素6作為支點(diǎn)，則6位于m i d d l e；4，3，1，5，2位于l e f t；8，7位于r i g h t。當(dāng)left 排好序后，所得結(jié)果為1，2，3，4，5；當(dāng)r i g h t排好序后，所得結(jié)果為7，8。把right 中的元素放在支點(diǎn)元素之后， l e f t中的元素放在支點(diǎn)元素之前，即可得到最終的結(jié)果 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 。 把元素序列劃分為l e f t、m i d d l e和r i g h t可以就地進(jìn)行（見程序1 4 - 6）。在程序1 4 - 6中，支點(diǎn)總是取位置1中的元素。也可以采用其他選擇方式來提高排序性能，本章稍后部分將給出這樣一種選擇。 程序14-6 快速排序 template void QuickSort(T*a, int n) / 對(duì)a0:n-1 進(jìn)行快速排序 / 要求an 必需有最大關(guān)鍵值 quickSort(a, 0, n-1); template void quickSort(T a, int l, int r) / 排序a l : r ， ar+1 有大值 if (l = r) return; int i = l, / 從左至右的游標(biāo) j = r + 1; / 從右到左的游標(biāo) T pivot = al; / 把左側(cè)= pivot的元素與右側(cè)= pivot 的元素 i = i + 1; while (a pivot); do / 在右側(cè)尋找 pivot); if (i = j) break; / 未發(fā)現(xiàn)交換對(duì)象 Swap(a, aj); / 設(shè)置p i v o t al = aj; aj = pivot; quickSort(a, l, j-1); / 對(duì)左段排序 quickSort(a, j+1, r); / 對(duì)右段排序 貪婪法它采用逐步構(gòu)造最優(yōu)解的思想，在問題求解的每一個(gè)階段，都作出一個(gè)在一 定標(biāo)準(zhǔn)下看上去最優(yōu)的決策；決策一旦作出，就不可再更改。制定決策的依據(jù)稱為貪婪準(zhǔn)則。貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解，因?yàn)樗∪チ藶檎易顑?yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費(fèi)的大量時(shí)間。貪婪法常以當(dāng)前情況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯。【問題】 背包問題 問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。 #includevoid main()int m,n,i,j,w50,p50,pl50,b50,s=0,max;printf(輸入背包容量m,物品種類n :);scanf(%d %d,&m,&n);for(i=1;i=n;i=i+1)printf(輸入物品的重量W和價(jià)值P :);scanf(%d %d,&wi,&pi);pli=pi;s=s+wi;if(s=m)printf(whole choosen);/return;for(i=1;i=n;i=i+1)max=1;for(j=2;jplmax/wmax)max=j;plmax=0;bi=max;for(i=1,s=0;sm & i=n;i=i+1)s=s+wbi;if(s!=m)wbi-1=m-wbi-1;for(j=1;j=i-1;j=j+1)printf(choose weight %dn,wbj);動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想前文主要介紹了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一些理論依據(jù)，我們將前文所說的具有明顯的階段劃分和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的動(dòng)態(tài)規(guī)劃稱為標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，這種標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃是在研究多階段決策問題時(shí)推導(dǎo)出來的，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式，適合用于理論上的分析。在實(shí)際應(yīng)用中，許多問題的階段劃分并不明顯，這時(shí)如果刻意地劃分階段法反而麻煩。一般來說，只要該問題可以劃分成規(guī)模更小的子問題，并且原問題的最優(yōu)解中包含了子問題的最優(yōu)解（即滿足最優(yōu)子化原理），則可以考慮用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是分治思想和解決冗余，因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種將問題實(shí)例分解為更小的、相似的子問題，并存儲(chǔ)子問題的解而避免計(jì)算重復(fù)的子問題，以解決最優(yōu)化問題的算法策略。由此可知，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法與分治法和貪心法類似，它們都是將問題實(shí)例歸納為更小的、相似的子問題，并通過求解子問題產(chǎn)生一個(gè)全局最優(yōu)解。貪心法的當(dāng)前選擇可能要依賴已經(jīng)作出的所有選擇，但不依賴于有待于做出的選擇和子問題。因此貪心法自頂向下，一步一步地作出貪心選擇；而分治法中的各個(gè)子問題是獨(dú)立的（即不包含公共的子問題），因此一旦遞歸地求出各子問題的解后，便可自下而上地將子問題的解合并成問題的解。不足之處：如果當(dāng)前選擇可能要依賴子問題的解時(shí)，則難以通過局部的貪心策略達(dá)到全局最優(yōu)解；如果各子問題是不獨(dú)立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題。解決上述問題的辦法是利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃。該方法主要應(yīng)用于最優(yōu)化問題，這類問題會(huì)有多種可能的解，每個(gè)解都有一個(gè)值，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃找出其中最優(yōu)（最大或最小）值的解。若存在若干個(gè)取最優(yōu)值的解的話，它只取其中的一個(gè)。在求解過程中，該方法也是通過求解局部子問題的解達(dá)到全局最優(yōu)解，但與分治法和貪心法不同的是，動(dòng)態(tài)規(guī)劃允許這些子問題不獨(dú)立，（亦即各子問題可包含公共的子問題）也允許其通過自身子問題的解作出選擇，該方法對(duì)每一個(gè)子問題只解一次，并將結(jié)果保存起來，避免每次碰到時(shí)都要重復(fù)計(jì)算。因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法所針對(duì)的問題有一個(gè)顯著的特征，即它所對(duì)應(yīng)的子問題樹中的子問題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于，對(duì)于重復(fù)出現(xiàn)的子問題，只在第一次遇到時(shí)加以求解，并把答案保存起來，讓以后再遇到時(shí)直接引用，不必重新求解。3、動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟設(shè)計(jì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，通?？砂匆韵聨讉€(gè)步驟進(jìn)行：（1）劃分階段：按照問題的時(shí)間或空間特征，把問題分為若干個(gè)階段。注意這若干個(gè)階段一定要是有序的或者是可排序的（即無后向性），否則問題就無法用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。 （2）選擇狀態(tài)：將問題發(fā)展到各個(gè)階段時(shí)所處于的各種客觀情況用不同的狀態(tài)表示出來。當(dāng)然，狀態(tài)的選擇要滿足無后效性。 （3）確定決策并寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：之所以把這兩步放在一起，是因?yàn)闆Q策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著天然的聯(lián)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)移就是根據(jù)上一階段的狀態(tài)和決策來導(dǎo)出本階段的狀態(tài)。所以，如果我們確定了決策，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就寫出來了。但事實(shí)上，我們常常是反過來做，根據(jù)相鄰兩段的各狀態(tài)之間的關(guān)系來確定決策。 （4）寫出規(guī)劃方程（包括邊界條件）：動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程是規(guī)劃方程的通用形式化表達(dá)式。一般說來，只要階段、狀態(tài)、決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移確定了，這一步還是比較簡(jiǎn)單的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的主要難點(diǎn)在于理論上的設(shè)計(jì)，一旦設(shè)計(jì)完成，實(shí)現(xiàn)部分就會(huì)非常簡(jiǎn)單。根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程可以直接遞歸計(jì)算最優(yōu)值，但是一般將其改為遞推計(jì)算，實(shí)現(xiàn)的大體上的框架如下：標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本框架1. 對(duì)fn+1(xn+1)初始化; 邊界條件for k:=n downto 1 dofor 每一個(gè)xkXk dofor 每一個(gè)ukUk(xk) dobeginfk(xk):=一個(gè)極值; 或xk+1:=Tk(xk,uk); 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程t:=(fk+1(xk+1),vk(xk,uk); 基本方程(9)式if t比fk(xk)更優(yōu) then fk(xk):=t; 計(jì)算fk(xk)的最優(yōu)值end;t:=一個(gè)極值; 或for 每一個(gè)x1X1 doif f1(x1)比t更優(yōu) then t:=f1(x1); 按照10式求出最優(yōu)指標(biāo)輸出t;但是，實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常不顯式地按照上面步驟設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，而是按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：（1）分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。 （2）遞歸地定義最優(yōu)值。 （3）以自底向上的方式或自頂向下的記憶化方法（備忘錄法）計(jì)算出最優(yōu)值。 （4）根據(jù)計(jì)算最優(yōu)值時(shí)得到的信息，構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)解。 步驟（1）（3）是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟。在只需要求出最優(yōu)值的情形，步驟（4）可以省略，若需要求出問題的一個(gè)最優(yōu)解，則必須執(zhí)行步驟（4）。此時(shí)，在步驟（3）中計(jì)算最優(yōu)值時(shí)，通常需記錄更多的信息，以便在步驟（4）中，根據(jù)所記錄的信息，快速地構(gòu)造出一個(gè)最優(yōu)解?？偨Y(jié)：動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)際上就是最優(yōu)化的問題，是指將原問題的大實(shí)例等價(jià)于同一最優(yōu)化問題的較小實(shí)例，自底向上的求解最小實(shí)例，并將所求解存放起來，存放的結(jié)果就是為了準(zhǔn)備數(shù)據(jù)。與遞歸相比，遞歸是不斷的調(diào)用子程序求解，是自頂向下的調(diào)用和求解?；厮莘?回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時(shí)，該候選解就是問題的一個(gè)解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個(gè)候選解的過程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的問題P，通常要能表達(dá)為：對(duì)于已知的由n元組（x1，x2，xn）組成的一個(gè)狀態(tài)空間E=（x1，x2，xn）xiSi ，i=1，2，n，給定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集D，要求E中滿足D的全部約束條件的所有n元組。其中Si是分量xi的定義域，且 |Si| 有限，i=1，2，n。我們稱E中滿足D的全部約束條件的任一n元組為問題P的一個(gè)解。解問題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì)E中的所有n元組逐一地檢測(cè)其是否滿足D的全部約束，若滿足，則為問題P的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大的。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（x1，x2，xi）滿足D中僅涉及到x1，x2，xi的所有約束意味著j（jj。因此，對(duì)于約束集D具有完備性的問題P，一旦檢測(cè)斷定某個(gè)j元組（x1，x2，xj）違反D中僅涉及x1，x2，xj的一個(gè)約束，就可以肯定，以（x1，x2，xj）為前綴的任何n元組（x1，x2，xj，xj+1，xn）都不會(huì)是問題P的解，因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它們?；厮莘ㄕ轻槍?duì)這類問題，利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法?；厮莘ㄊ紫葘栴}P的n元組的狀態(tài)空間E表示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹T，把在E中求問題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問題P的所有解。樹T類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造： 設(shè)Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，n。從根開始，讓T的第I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有mi個(gè)兒子。這mi個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1(1) ，xi+1(2) ，xi+1(mi) ，i=0，1，2，n-1。照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組（x1，x2，xn）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為x1，x2，xn，反之亦然。另外，對(duì)于任意的0in-1，E中n元組（x1，x2，xn）的一個(gè)前綴I元組（x1，x2，xi）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為x1，x2，xi，反之亦然。特別，E中的任意一個(gè)n元組的空前綴（），對(duì)應(yīng)于T的根。 因而，在E中尋找問題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)x1，x2，xn滿足約束集D的全部約束。在T中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1元組（x1i）、前綴2元