量子力學復習提綱.doc

量子力學復習提綱第一章 緒論1.德布羅意關系,(1)(2)2.微觀粒子的波粒二象性.3. 電子被伏電壓加速,則電子的德布羅意波長為 (3)第二章 波函數(shù)和薛定諤方程1.波函數(shù)的統(tǒng)計解釋:波函數(shù)在空間某一點的強度和在該處找到粒子的幾率成正比,描寫粒子的波是幾率波.其中代表幾率密度.2.態(tài)疊加原理:如果和是體系的可能狀態(tài),那么它們的線性疊加 ,也是體系的一個可能狀態(tài).3. 薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程 (4)定態(tài)薛定諤方程 (5)其中 (6)為哈密頓算符,又稱為能量算符,4. 波函數(shù)的標準條件: 有限性,連續(xù)性(包括及其一階導數(shù))和單值性.5. 波函數(shù)的歸一化, (9)6.求解一維薛定諤方程的幾個例子.一維無限深勢阱及其變種, 一維線性諧振子;勢壘貫穿.第三章 量子力學中的力學量1. 坐標算符, 動量算符及角動量算符;構成量子力學力學量的法則;2. 本征值方程,本征值,本征函數(shù)的概念 (10)3. 厄密算符的定義,性質及與力學量的關系.(11)實數(shù)性: 厄密算符的本征值是實數(shù).正交性: 厄密算符的屬于不同本征值的兩個本征函數(shù) 相互正交.完全性: 厄密算符的本征函數(shù)和組成完全系, 即任一函數(shù)可以按和展開為級數(shù): (12)展開系數(shù): , (13) . (14)是在態(tài)中測量力學量得到的幾率,是在態(tài)中測量力學量,得到測量結果在到范圍內(nèi)的幾率.4. 和算符的本征值方程,本征值和本征函數(shù). , 本征函數(shù) .5. 氫原子的哈密頓算符及其本征值,本征函數(shù)的數(shù)學結構, (15)主量子數(shù)n,角量子數(shù)l和磁量子數(shù)m的取值范圍,簡并態(tài)的概念. 6. 氫原子的能級公式和能級的簡并度. (16)不考慮電子的自旋是度簡并的;考慮電子的自旋是度簡并的.7. 給定電子波函數(shù)的表達式,根據(jù)電子在點周圍的 體積元內(nèi)的幾率(17)計算電子幾率的徑向分布和角分布. 計算在半徑到的球殼內(nèi)找到電子的幾率.8. 給定態(tài)函數(shù),計算力學量平均值,平均值的計算公式. (18)注意(11)式對波函數(shù)所在的空間作積分.9. 算符的對易關系及測不準關系.(1) 如果一組算符相互對易,則這些算符所表示的力學量同時具有確定值(即對應的本征值), 這些算符有組成完全系的共同的本征函數(shù). 例如: 氫原子的哈密頓算符,角動量平方算符和角動量算符相互對易, 則(i) 它們有共同的本征函數(shù),(ii) 在態(tài)中,它們同時具有確定值:, , .(2) 測不準關系:如果算符和不對易,則一般來說它們不能同時有確定值.設 則算符和的均方偏差滿足:(19)其中 , (a) 利用測不準關系估計氫原子的基態(tài)能量, 線性諧振子的零點能等.(b) 給定態(tài)函數(shù),計算兩個力學量和的均方偏差的乘積(20)第四章 態(tài)和力學量的表象1. 對表象的理解(1) 狀態(tài): 態(tài)矢量 (2) 表象:力學量的本征函數(shù) 構成無限維希耳伯特空間(坐標系)的基矢量(4) 將態(tài)矢量按照上述基矢量展開:是態(tài)矢量在表象中沿各 基矢量的分量.(5) 是在所描寫的態(tài)中,測量力學量得到結果為的幾率. 2. 算符在Q表象中的表示(i)算符在Q表象中是一個矩陣, 稱為矩陣元(ii) 算符在自身表象中是一個對角矩陣,其對角矩陣元為該算符對應的本征值.3. 量子力學公式的矩陣表述(1) 平均值公式: (21)(2) 本征值方程 久期方程 (3) 薛定諤方程的矩陣形式 (22)4. 么正變換的概念(1) 么正變換是兩個表象基矢量之間的變換矩陣.(2) 么正變換的矩陣元由兩個表象的基矢量共同確定,(3) 態(tài)矢量由A表象變換到B表象的公式 (23)(4) 力學量由A表象變換到B表象的公式: (24)5. 么正變換的性質(i) 么正變換不改變算符的本征值;(ii) 么正變換不改變矩陣F的跡;(iii) 么正變換不改變力學量的平均值.第五章 微擾理論(I) 求解非簡并定態(tài)微擾問題(1) 確定微擾的哈密頓算符. , 及與對應的零級近似能量和零級近似波函數(shù);(2) 計算能量的一級修正: (25)(3) 計算波函數(shù)的一級修正: (26)(4) 計算能量的二級修正: (27)(II) 求解非簡并定態(tài)微擾問題 (只要求能量的一級修正)求解步驟(1) 確定微擾的哈密頓算符.(2) 確定微擾算符的矩陣元:(28)(3) 求解久期方程得到能量的一級修正 (29)(III) 變分法不作要求(IV) 含時微擾論(1) 基本步驟設的本征函數(shù)為為已知:(30)將按照的定態(tài)波函數(shù)展開:(31)展開系數(shù)的表達式:(32)其中 (33)是微擾矩陣元,(34)為體系由能級躍遷到能級的玻爾頻率.在t時刻發(fā)現(xiàn)體系處于態(tài)的幾率是, 體系在微擾的作用下,由初態(tài)躍遷到終態(tài)的幾率為 (35)(2) 用于周期微擾得到 (36)由(36)式,討論并理解發(fā)生躍遷的條件是或 (37)(i) 表明只有外界的微擾含有頻率時,體系才能從態(tài)躍遷到態(tài),這時體系吸收和發(fā)射的能量是;(ii)躍遷是一個共振現(xiàn)象.(3) 能量時間的測不準關系的含義(38)(4) 了解原子的躍遷幾率和三個愛因斯坦系數(shù): , 和及相互關系.(5) 了解用含時微擾理論計算愛因斯坦發(fā)射和吸收系數(shù)(6) 記住對角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則(39)第六章 散射 只要求理解微分散射截面的概論, 不作計算要求.第七章 自旋與全同粒子1. 電子的自旋角動量,它在空間任何方向的投影只能取(40)2. 自旋算符的矩陣形式 , , (41)3.泡利矩陣 , , (42)(1) 求力學量在某個自旋態(tài)的平均值和均方偏差. (43) (44) (2)求解自旋角動量算符的本征值方程, 本征值和本征函數(shù)4. 自旋與軌道角動量的耦合及產(chǎn)生光譜的精細結構的原因.5. 全同性原理的表述6. 描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱或反對稱的,它們的對稱性不隨時間改變. 實驗證明,微觀粒子按照其波函數(shù)的對稱性可以分為兩類: (I) 費米子: 波函數(shù)是反對稱的; (II) 玻色子