2006年上海高考數(shù)學試卷及答案(理科).doc

2006年上海高考數(shù)學試卷（理科）一填空題：（本大題共12小題，每小題4分，共48分）1 已知集合A = 1 , 3 , 2m 1 ，集合B = 3 , m2 。若B A，則實數(shù)m =_。2 已知圓x2 4x 4 +y2 = 0的圓心是點P，則點P到直線x y 1 = 0的距離是_。3 若函數(shù)f(x) = ax（a 0且a 1）的反函數(shù)的圖像過點( 2 , 1 )，則a =_。4 計算：=_。5 若復數(shù)z同時滿足（i為虛數(shù)單位）。則=_。6 如果，且a是第四象限的角，那么=_。7 已知橢圓中心在原點，一個焦點為F(, 0 )，且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是_。8 在極坐標系中，是極點，設點。則OAB的面積是_。9 兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本。將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左?本恰好都屬于同一部小說的概率是_。（結果用分數(shù)表示）10 如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構成一個“正交線面對”。在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是_。11 若曲線y2 = |x| + 1與直線y = kx + b沒有公共點，則k , b分別應滿足的條件是_。12 三個同學對問題“關于x的不等式x2 + 25 + |x3 5x2| ax在 1 , 12 上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路。 甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”。 乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值” 丙說：“把不等式兩邊看成關于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像” 參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即a的取值范圍是_。二選擇題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13 如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（ ）ADCB(A) (B)(C) (D)14 若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一條直線上”是“這四個點在同一個平面上”的（ ）(A)充分非必要條件 (B)必要非充分條件(C)充分必要條件 (D)既非充分又非必要條件15 若關于x的不等式( 1 + k2 )x k4 + 4的解集是M，則對任意實常數(shù)k，總有（ ）(A) 2 M , 0 M (B) 2 M , 0 M (C) 2 M , 0 M (D) 2 M , 0 M16 如圖，平面中兩條直線l1和l2相交于點O。對于平面上任意一點M，若p , q分別是M到直線l1和l2的距離，則稱有序非負實數(shù)對( p , q )是點M的“距離坐標”。已知常數(shù)p 0 , q 0，給出下列三個命題： 若p = q = 0，則“距離坐標”為( 0 , 0 )的點有且僅有1個。 若pq = 0，且p + q 0，則“距離坐標”為( p , q )的點有且僅有2個。 若pq 0，則“距離坐標”為( p , q )的點有且僅有4個。上述命題中，正確命題的個數(shù)是（ ）(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3三解答題：（本大題共6小題，共86分）17（本小題滿分12分）求函數(shù)的值域和最小正周期。18（本小題滿分12分） 如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救。甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1）？19（本小題滿分14分） 在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形。DAB = 60，對角線AC與BD相交于點O，PO 平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60。(1) 求四棱錐P-ABCD的體積；(2) 若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的大?。ńY果用反三角函數(shù)值表示）。20（本小題滿分14分） 在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2 = 2x相交于A , B兩點。(1) 求證：“如果直線l過點T( 3 , 0 )，那么”是真命題；(2) 寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由。21（本小題滿分16分）已知有窮數(shù)列an共有2k項（整數(shù)k 2），首項a1 = 2。設該數(shù)列的前n項和為Sn，且an+1 = ( a 1 )Sn + 2 ( n = 1 , 2 , 2k 1 )，其中常數(shù)a 1。(1) 求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2) 若，數(shù)列bn滿足( n = 1 , 2 , 2k )，求數(shù)列bn的通項公式；(3) 若(2)中的數(shù)列bn滿足不等式+ 4，求k的值。22（本小題滿分18分）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a 0，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。(1) 如果函數(shù)( x 0 )的值域為，求b的值；(2) 研究函數(shù)（常數(shù)c 0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；(3) 對函數(shù)和（常數(shù)a 0）作出推廣 ，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例。研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結論，不必證明），并求函數(shù)（n是正整數(shù)）在區(qū)間上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）。2006年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試上海 數(shù)學試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）1 解：由，經(jīng)檢驗，為所求；2 解：由已知得圓心為：，由點到直線距離公式得：；3解：由互為反函數(shù)關系知，過點，代入得：；4 解：；5解：已知；6解：已知；7 解：已知為所求；8解：如圖OAB中， (平方單位)； 9 解：分為二步完成： 1) 兩套中任取一套，再作全排列，有種方法； 2) 剩下的一套全排列，有種方法； 所以，所求概率為：；10解：正方體中，一個面有四條棱與之垂直，六個面，共構成24個“正交線面對”；而正方體的六個對角截面中，每個對角面又有兩條面對角線與之垂直，共構成12個“正交線面對”，所以共有36個“正交線面對”；11 解：作出函數(shù)的圖象， 如右圖所示： 所以，；12 解：由25|5|， 而，等號當且僅當時成立； 且，等號當且僅當時成立； 所以，等號當且僅當時成立；故；二 ABCD13 解：由向量定義易得， （C）選項錯誤；14 解： 充分性成立： “這四個點中有三點在同一直線上”有兩種情況：1）第四點在共線三點所在的直線上，可推出“這四個點在同一平面上”；2）第四點不在共線三點所在的直線上，可推出“這四點在唯一的一個平面內(nèi)”； 必要性不成立：“四個點在同一平面上”可能推出“兩點分別在兩條相交或平行直線上”； 故選（A）15 解：選（A） 方法1：代入判斷法，將分別代入不等式中，判斷關于的不等式解集是否為； 方法2：求出不等式的解集：4；16 解：選（D） 正確，此點為點； 正確，注意到為常數(shù)，由中必有一個為零，另一個非零，從而可知有且僅有2個點，這兩點在其中一條直線上，且到另一直線的距離為（或）； 正確，四個交點為與直線相距為的兩條平行線和與直線相距為的兩條平行線的交點；三解答題17 解 函數(shù)的值域是,最小正周期是；18 解 連接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700. 于是,BC=10. , sinACB=, ACB90 ACB=41乙船應朝北偏東71方向沿直線前往B處救援.19 解（1）在四棱錐P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB與平面ABCD所成的角, PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1, 由POBO,于是,PO=BOtg60=,而底面菱形的面積為2.四棱錐P-ABCD的體積V=2=2.（2）解法一：以O為坐標原點,射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系.在RtAOB中OA=,于是,點A、B、D、P的坐標分別是A(0,0),B (1,0,0), D (1,0,0), P (0,0, ).E是PB的中點,則E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).設的夾角為,有cos=,=arccos,異面直線DE與PA所成角的大小是arccos； 解法二：取AB的中點F,連接EF、DF.由E是PB的中點,得EFPA，F(xiàn)ED是異面直線DE與PA所成角(或它的補角)，在RtAOB中AO=ABcos30=OP，于是, 在等腰RtPOA中，PA=，則EF=.在正ABD和正PBD中,DE=DF=， cosFED=異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.20 解（1）設過點T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x2,y2). 當直線的鈄率不存在時,直線的方程為x=3,此時,直線與拋物線相交于點A(3,)、B(3,). =3； 當直線的鈄率存在時,設直線的方程為，其中， 由得 又 ， ， 綜上所述，命題“如果直線過點T(3,0)，那么=3”是真命題；(2)逆命題是：設直線交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題. 例如：取拋物線上的點A(2,2)，B(,1)，此時=3,直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；說明：由拋物線y2=2x上的點A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可證得直線AB過點(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線AB過點(1,0),而不過點(3,0).21 (1) 證明 當n=1時,a2=2a,則=a； 2n2k1時, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 數(shù)列an是等比數(shù)列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k). （3）設bn,解得nk+,又n是正整數(shù),于是當nk時, bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 當4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,當k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.22 解（1）函數(shù)y=x+(x0)的最小值是2，則2=6, b=log29. (2) 設0x1x2,y2y1=. 當x1y1, 函數(shù)y=在,+)上是增函數(shù)； 當0x1x2時y2