2020屆寧德市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢查（期末）數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2020屆福建省寧德市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢查（期末）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1若復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模為（ ）ABCD2【答案】C【解析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡為a+bi的形式，然后利用復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算即可【詳解】復(fù)數(shù)2i+2i+1i1+i,則|z|故選C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模的求法，屬于基礎(chǔ)題2設(shè)集合，則=( )ABCD【答案】A【解析】對集合分別進(jìn)行不等式求解，并進(jìn)行化簡，再求交集，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋匣?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的求解及集合的交運(yùn)算，考查基本運(yùn)算求解能力.3已知等比數(shù)列滿足，則( )ABCD【答案】A【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，將等式化成關(guān)于的方程，進(jìn)而求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，解得：，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)用，考查基本運(yùn)算求解能力.4若滿足，則的最大值為（）A2B5C6D7【答案】B【解析】畫出，滿足約束條件，的平面區(qū)域，如圖示：由，解得，由可知直線過時(shí)，最大，得，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.5一個球體被挖去一個圓錐，所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ) ABCD【答案】C【解析】根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，求出球的體積后再減去圓錐的體積，即可得答案.【詳解】如圖所示，連接交于，設(shè)球的半徑為，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、組合體體積計(jì)算，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.6明朝數(shù)學(xué)家程大位著的算法統(tǒng)宗里有一道著名的題目： “一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大、小和尚各幾?。俊毕聢D所示的程序框圖反映了此題的一個算法執(zhí)行下圖的程序框圖，則輸出的 ( )A25B45C60D75【答案】D【解析】根據(jù)程序框圖，解方程得，即可得到答案.【詳解】根據(jù)程序框圖，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，終止循環(huán).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖語言和數(shù)學(xué)文化的交會，考查閱讀理解能力，求解時(shí)注意將問題轉(zhuǎn)化為解方程問題.7若、為空間兩條不同的直線，、為空間兩個不同的平面，則的一個充分條件是（ ）A且B且C且D且【答案】D【解析】【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論；必要條件、充分條件與充要條件的判斷專題：計(jì)算題分析：若a且，則有a，反之不成立，于是，“a且”是“a”成立的充分不必要條件解答：解：若a且，則有a，反之不成立，于是，“a且”是“a”成立的充分不必要條件，故選D點(diǎn)評：本題考查平面的基本性質(zhì)和推論，是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答8若實(shí)數(shù)，滿足，則，的大小關(guān)系是( )ABCD【答案】C【解析】令，再利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象，可得答案.【詳解】令，則，因?yàn)?，由的圖象可得：，所以；因?yàn)榕c互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，因?yàn)?，所以，綜上所述：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的圖象研究數(shù)的大小，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意借助函數(shù)的圖象進(jìn)行研究.9已知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，斜率為的直線過點(diǎn)交于點(diǎn)，若的面積為2，則的值為( )A或BCD【答案】B【解析】先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用的面積為2，得到關(guān)于的方程，從而求得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則解得：，則，設(shè)直線的方程為：與方程聯(lián)立，解得：，則，因?yàn)橹本€的方程為：，且，點(diǎn)到直線的距離，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)關(guān)于直線對稱、點(diǎn)到直線距離、三角形面積公式，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力.10已知斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)，又直線與圓交于，兩點(diǎn)若，則的值為( )ABCD【答案】A【解析】利用弦長公式分別計(jì)算、關(guān)于的表達(dá)式，再利用求得的值.【詳解】設(shè)直線的方程為代入拋物線消去，整理得：，則，所以，圓，圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€過圓心，所以，因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓、直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意弦的特殊性，即可簡化運(yùn)算.11已知函數(shù)的周期為，,分別是函數(shù)的圖像與軸相鄰的兩個交點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且滿足，則的值為( )ABCD【答案】C【解析】根據(jù)題意，可令，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，再利用得到點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式，并求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以，令得，令，則，因?yàn)?，所以在方向的投影為，所以，所以，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)圖象的交會、三角函數(shù)的周期及對稱性，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，求解過程利用特值法，令，能使運(yùn)算過程更簡便.12已知函數(shù)，以下四個命題：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在上恒成立其中的真命題為( )ABCD【答案】D【解析】對函數(shù)求導(dǎo)得導(dǎo)數(shù)大于0在恒成立，可得正確，從而排除B，C，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)方程，可得當(dāng)時(shí)，方程有解，故排除A，從而得到正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，對，?dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確，故排除B，C；對，因?yàn)?，令，因?yàn)?，所以函?shù)在單調(diào)遞減，且時(shí)，；時(shí)，；又因?yàn)樵诖嬖谑沁B續(xù)的函數(shù)，且，所以兩個函數(shù)一定有交點(diǎn)，所以存在，使得，即有解，且在的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號，所以時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)是錯誤，故排除A.故選：D【點(diǎn)睛】本題查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，求解時(shí)要注意利用排除法進(jìn)行求解，可使問題的求解更高效.二、填空題13已知向量，若，則=_【答案】【解析】利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求得的值，再利用向量的坐標(biāo)求數(shù)量積.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查基本概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.14已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且則=_【答案】【解析】利用定義在R上的奇函數(shù)，得的值，再由得到函數(shù)的周期，從而利用函數(shù)解析式求，的值，即可得到答案.【詳解】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的周期性及函數(shù)值的計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意的運(yùn)用.15若，則_【答案】【解析】由兩角和的正弦展開并對等式進(jìn)行化簡得的值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得的值，進(jìn)而利用倍角公式求得的值.【詳解】因?yàn)椋?，整理得：，所以或所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和正弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、倍角公式，考查三角恒等變形能力和運(yùn)算求解能力.16在棱長為4的正方體中，正方形所在平面內(nèi)的動點(diǎn)到直線，的距離之差為2設(shè)的中點(diǎn)為，則的最小值為_【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)在正方形所在平面內(nèi)的軌跡方程，再將問題轉(zhuǎn)化成求的最小值.【詳解】因?yàn)檎叫嗡谄矫鎯?nèi)的動點(diǎn)到直線，的距離之差為2，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為雙曲線，其方程為，則，取的中點(diǎn)，連接，則，當(dāng)最小時(shí)，則最小.設(shè)，則，對稱軸，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題以立體幾何為問題背景與解析幾何中的雙曲線進(jìn)行知識交會，考查距離的最值問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，求解時(shí)注意利用坐標(biāo)法思想進(jìn)行求解，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力.三、解答題17已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用臨差法得到，從而證明數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）將通項(xiàng)進(jìn)行改寫，再利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和.【詳解】（1）由兩式相減，得：，又，當(dāng)時(shí)，且，故，得（舍去），數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以 （2）由（1）及題意可得，所以【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和，考查數(shù)列中的基本量法，考查運(yùn)算求解能力.18如圖，矩形平面，且，分別為，的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若，求二面角的大小【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取DE中點(diǎn)F，分別連結(jié)AF,FN，證明，再利用線面平行的判定定理證明線面平行；（2）以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得則，求出為平面ABCD的一個法向量，為平面AED的法向量，從而求得二面角的大小【詳解】（1）證明：取DE中點(diǎn)F，分別連結(jié)AF,FN又N為BC中點(diǎn)，所以,因?yàn)榫匦蜛BCD中，M為AB的中點(diǎn)，所以所以，所以四邊形AMNF為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?平面，所以平面（2）因?yàn)榫匦纹矫?，矩形平面?所以平面如圖，以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)檩S平面ABCD，所以為平面ABCD的一個法向量，設(shè)為平面AED的法向量，因?yàn)?，所以，得，故可取，則，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的大小為【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理的運(yùn)用、向量法求二面角的大小，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意找到三條兩兩互相垂直的直線，才能建立空間直角坐標(biāo)系.19的內(nèi)角，的對邊分別為，且，（1）求；（2）若為銳角三角形，為中點(diǎn)，求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，將式子中的邊化成角得到，從而求得的值；（2）由（1）知，可得的范圍，再將表示成關(guān)于的函數(shù)，從而求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理，得，又，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所?（2）由（1）知，根據(jù)題意得 解得. 在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以的取值范圍?【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用、利用向量解三角形及二次函數(shù)知識應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的綜合運(yùn)用，求解時(shí)要有變量思想，即將表示成關(guān)于角的函數(shù).20已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過作直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，的周長為8（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）問：的內(nèi)切圓面積是否有最大值？若有，試求出最大值；若沒有，說明理由【答案】（1）；（2）【解析】（1）由離心率得，再利用的周長為8得，從而得到的值，進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）將的內(nèi)切圓面積的最大值轉(zhuǎn)化為求的值最大，設(shè)，直線，從而將面積表示成關(guān)于的函數(shù)，再利用換元法研究函數(shù)的最值.【詳解】（1）離心率為，的周長為8，得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)的內(nèi)切圓半徑為， 又，要使的內(nèi)切圓面積最大，只需的值最大設(shè)，直線，聯(lián)立消去得：，易得，且，所以，設(shè)，則，設(shè)，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為3，此時(shí)，所以的內(nèi)切圓面積最大為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率、方程的求解、焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意換元法的靈活運(yùn)用.21已知函數(shù)（1）若，曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；（2）若，且函數(shù)的值域?yàn)?，求的最小值【答案】?）；（2）【解析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，從而得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案；（2）當(dāng)時(shí)，將函數(shù)可化為，則，從而將問題轉(zhuǎn)化為有解，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線恰為切線，故舍去，所以.（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，故函數(shù)可化為.由,可得的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以的最小值為，此時(shí)，函數(shù)的的值域?yàn)閱栴}轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有解，即，得.設(shè)，則，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以的最小值為，故的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求參數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意對問題進(jìn)行多次轉(zhuǎn)化，同時(shí)注意構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用.22在平面直角坐標(biāo)系中，圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，直線的極坐標(biāo)方程為，直線交圓于兩點(diǎn)，為中點(diǎn).（1）求點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）若，求的值.【答案】(1) ，(2) 或【解析】(1)聯(lián)立極坐標(biāo)方程,利用為中點(diǎn)與韋達(dá)定理分析求解即可.(2)根據(jù)極經(jīng)的幾何意義分別表示,再利用韋達(dá)定理求關(guān)于的方程求解即可.【詳解】解法一：（1）圓的極坐標(biāo)方程為將代入得：，成立，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的極徑分別為，所以， 所以，所以點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為，（2）由（1）得，所以，又，所以或，即或解法二：（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以于， 故的軌跡是以為直徑的圓（在的內(nèi)部），其所在圓方程為：，即.從而點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為， （2）由（1）得，令，因?yàn)?，所以?則，所以，所以，即，解得（舍去），所以，又，所以或，即或【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)中極經(jīng)的幾何意義,同時(shí)根據(jù)聯(lián)立方程的韋達(dá)定理方法表達(dá)出題