專題02 常見(jiàn)函數(shù)值域或最值的經(jīng)典求法.doc

.【高考地位】函數(shù)值域是函數(shù)概念中三要素之一,是高考中必考內(nèi)容,具有較強(qiáng)的綜合性,貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終.而在高考試卷中的形式可謂千變?nèi)f化,但萬(wàn)變不離其宗,真正實(shí)現(xiàn)了?？汲Ｐ碌目荚囈?所以,我們應(yīng)該掌握一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域求解的基本方法.【方法點(diǎn)評(píng)】方法一 觀察法解題模板：第一步 觀察函數(shù)中的特殊函數(shù)； 第二步 利用這些特殊函數(shù)的有界性，結(jié)合不等式推導(dǎo)出函數(shù)的值域.例1 求函數(shù)的值域.【解析】由函數(shù)，則： 定義域?yàn)椋?得：， 值域?yàn)椋骸！咀兪窖菥?】求函數(shù)的值域.【解析】2x0，082x802故函數(shù)的值域是.方法二 分離常數(shù)法解題模板：第一步 觀察函數(shù)類型，型如； 第二步 對(duì)函數(shù)變形成形式； 第三步 求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域，進(jìn)而求函數(shù)的值域.例2 求函數(shù)的值域.【變式演練2】求函數(shù)的值域. 方法三 配方法解題模板：第一步 將二次函數(shù)配方成； 第二步 根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域. 例3 求函數(shù)的值域.【變式演練3】已知函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：因二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,且時(shí),函數(shù)值,當(dāng)時(shí),因此當(dāng)時(shí), .故當(dāng),故應(yīng)選C.考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).方法四 反函數(shù)法解題模板：第一步 求已知函數(shù)的反函數(shù)；來(lái)源:Z*xx*k.Com 第二步 求反函數(shù)的定義域； 第三步 利用反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域的關(guān)系即可求出原函數(shù)的值域例4 設(shè)為，的反函數(shù)，則的最大值為 【答案】【變式演練4】求函數(shù)的值域.方法五 換元法解題模板：第一步 觀察函數(shù)解析式的形式，函數(shù)變量較多且相互關(guān)聯(lián)； 第二步 另新元代換整體，得一新函數(shù)，求出新函數(shù)的值域即為原函數(shù)的值域.例5 求函數(shù)的值域.例6 求函數(shù)的值域.【解析】令，原函數(shù)化為，其開(kāi)口向下，并且對(duì)稱軸是，故當(dāng)時(shí)取得最大值為，沒(méi)有最小值，故值域?yàn)?例7 求函數(shù)，的值域.【變式演練5】 若求函數(shù)的值域.方法六 判別式法解題模板：第一步 觀察函數(shù)解析式的形式，型如的函數(shù)； 第二步 將函數(shù)式化成關(guān)于的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)的取值范圍， 即得函數(shù)的值域.例9 求函數(shù)的值域.【變式演練6】求函數(shù)的值域.【解析】，當(dāng)時(shí)方程有解，當(dāng)時(shí)由可得，綜上可知值域?yàn)?方法七 基本不等式法解題模板：第一步 觀察函數(shù)解析式的形式，型如或的函數(shù)； 第二步 對(duì)函數(shù)進(jìn)行配湊成形式，再利用基本不等式求函數(shù)的最值，進(jìn)而得到函數(shù)的值域.例10 已知，求函數(shù) 的最小值.例11 已知函數(shù)，求的值域.【解析】，所以的值域?yàn)?【變式演練7 】 求函數(shù)的最小值.【變式演練8】 若函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域是（ ）A B C D【答案】B【解析】考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)；基本不等式.方法八 單調(diào)性法解題模板：第一步 求出函數(shù)的單調(diào)性； 第二步 利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域.例 12 求函數(shù)的值域.【點(diǎn)評(píng)】本題先利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的最大值和最小值，得到函數(shù)的值域.例13 求函數(shù)的值域.【點(diǎn)評(píng)】（1）如果能確定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可以使用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域.（2）本題中利用了這樣一個(gè)性質(zhì)：增（減）函數(shù)+增（減）函數(shù)=增（減）函數(shù).（3）本題都是增函數(shù)，利用到了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.【變式演練10】 求函數(shù)的值域.【變式演練11】 求函數(shù)的值域.【解析】由，解得，在此定義域內(nèi)函數(shù)是單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)的值域是.方法九 數(shù)形結(jié)合法解題模板：第一步 作出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的圖像； 第二步 利用函數(shù)的圖像求出函數(shù)的值域.例14 如圖，三地有直道相通，千米，千米，千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過(guò)小時(shí)，他們之間的距離為（單位：千米）.甲的路線是，速度為5千米/小時(shí)，乙的路線是，速度為8千米/小時(shí).乙到達(dá)地后原地等待.設(shè)時(shí)乙到達(dá)地. （1）求與的值； （2）已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話距離是3千米.當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式，并判斷在上得最大值是否超過(guò)3？說(shuō)明理由.【答案】（1），千米；（2）超過(guò)了3千米.【考點(diǎn)定位】余弦定理的實(shí)際運(yùn)用，函數(shù)的值域.【名師點(diǎn)睛】分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型解決分段函數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問(wèn)題，分段函數(shù)的值域，先求各段函數(shù)的值域，再求并集.例15 求函數(shù)的值域.【點(diǎn)評(píng)】（1）對(duì)于某些具有明顯幾何意義的函數(shù)，我們可以利用數(shù)形結(jié)合的方法求該函數(shù)的值域.先找到函數(shù)對(duì)應(yīng)的形態(tài)特征，再求該函數(shù)的值域.（2）由于對(duì)應(yīng)著兩點(diǎn)之間的斜率（差之比對(duì)應(yīng)直線的斜率），所以本題可以利用斜率分析解答. 例16 求函數(shù)的值域.【解析】由得,所以函數(shù)的定義域是，設(shè)點(diǎn)，所以,所以答案填：.【點(diǎn)評(píng)】要迅速地找到函數(shù)對(duì)應(yīng)的形，必須注意積累.這樣才能提高解題的效率. 例17 某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗、原料都不超過(guò)12千克.通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是（ ）A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元【變式演練12】 定義運(yùn)算：例如，則函數(shù)的值域?yàn)椋?）A B C D【答案】D【解析】試題分析：在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象可以看出其值域?yàn)?故應(yīng)選D.考點(diǎn)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)方法十 導(dǎo)數(shù)法解題模板：第一步 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性； 第二步 利用函數(shù)的圖像求出函數(shù)的值域.例18 函數(shù)，則的值域.【解析】在上是增函數(shù)，,故的值域.【變式演練13】求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【高考再現(xiàn)】1. 【2014，安徽理9】若函數(shù)的最小值為3，則實(shí)數(shù)的值為 （ ） A5或8 B或5 C或 D或8【答案】D【解析】考點(diǎn)：函數(shù)的最值【名師點(diǎn)睛】對(duì)于含絕對(duì)值的不等式或函數(shù)問(wèn)題，首先要考慮的是根據(jù)絕對(duì)值的意義去絕對(duì)值.常用的去絕對(duì)值方法是零點(diǎn)分段法，特別是用于多個(gè)絕對(duì)值的和或差的問(wèn)題，另外，利用絕對(duì)值的幾何意義解題會(huì)加快做題速度.本題還可以利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行求解.2. 【2014上海,理18】若是的最小值，則的取值范圍為（ ）. (A)-1,2 (B)-1，0 (C)1，2 (D) 【答案】D【解析】由于當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值，由題意當(dāng)時(shí)，應(yīng)該是遞減的，則，此時(shí)最小值為，因此，解得，選D【考點(diǎn)】分段函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題【名師點(diǎn)睛】(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解(2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍3 【2014高考重慶理第12題】函數(shù)的最小值為_(kāi).【答案】考點(diǎn)：1、對(duì)數(shù)的運(yùn)算；2、二次函數(shù)的最值.【名師點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算，二次函數(shù)，換元法，配方法求最值，本題屬于基礎(chǔ)題，注意函數(shù)的定義域.4. 【2014福建,理13】要制作一個(gè)容器為4，高為的無(wú)蓋長(zhǎng)方形容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_（單位：元）【答案】88來(lái)源:Zxxk.Com【解析】試題分析：假設(shè)底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為, . 則該容器的最低總造價(jià)是.當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)區(qū)到最小值.考點(diǎn)：函數(shù)的最值.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用及基本不等式，解決此題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)解析式，再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時(shí),一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件,注意創(chuàng)造“定”這個(gè)條件時(shí)常要對(duì)所給式子進(jìn)行拆分、組合、添加系數(shù)等處理,使之可用基本不等式來(lái)解決,若多次使用基本不等式,必須保持每次取等的一致性.5【2014高考重慶理第16題】若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】試題分析：令，其圖象如下所示（圖中的實(shí)線部分）考點(diǎn)：1、分段函數(shù)；2、等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想；3、數(shù)形結(jié)合的思想.【名師點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式，絕對(duì)值的性質(zhì)，分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合法，不等式的恒成立，屬于基礎(chǔ)題6 【2015高考北京，理14】設(shè)函數(shù)若，則的最小值為；若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】(1)1，(2)或.若函數(shù)與軸有無(wú)交點(diǎn)，則函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)與軸有無(wú)交點(diǎn)，在與軸有無(wú)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，和，由于，兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)均滿足；綜上所述的取值范圍或.考點(diǎn)定位：本題考點(diǎn)為函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，涉及函數(shù)圖象、函數(shù)的最值，函數(shù)的零點(diǎn)、分類討論思想解【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與函數(shù)零點(diǎn)的有關(guān)知識(shí)，本題屬于中等題，第一步正確畫出圖象，利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，第二步涉計(jì)參數(shù)問(wèn)題，針對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，按照題目所給零點(diǎn)的條件，找出符合零點(diǎn)要求的參數(shù)，討論要全面，注意數(shù)形結(jié)合7. 【2015高考浙江，理10】已知函數(shù)，則 ，的最小值是 【答案】，.【解析】，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等來(lái)源:Zxxk.Com號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為.【考點(diǎn)定位】分段函數(shù)【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)以及求函數(shù)的最值，屬于容易題，在求最小值時(shí)，可以求每個(gè)分段上的最小值，再取兩個(gè)最小值之中較小的一個(gè)即可，在求最小值時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件，是否在其分段上，分段函數(shù)常與數(shù)形結(jié)合，分類討論等數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注.8. 【2015高考福建，理14】若函數(shù) （ 且 ）的值域是 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 【答案】【考點(diǎn)定位】分段函數(shù)求值域【名師點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的值域問(wèn)題，分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其值域是各段函數(shù)值取值范圍的并集，將分段函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，是本題的一個(gè)亮點(diǎn)，要注意分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題9. 【2015高考山東，理14】已知函數(shù) 的定義域和值域都是 ，則 .【答案】 【考點(diǎn)定位】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的有關(guān)概念與性質(zhì)，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解與應(yīng)用，利用方程的思想解決參數(shù)的取值問(wèn)題，注意分類討論思想方法的應(yīng)用.10 【2015高考浙江，理18】已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值.（1） 證明：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)，滿足，求的最大值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.試題分析：（1）分析題意可知在上單調(diào)，從而可知，分類討論的取值范圍即可求解.；（2）分析題意可知，再由可得，即可得證.【考點(diǎn)定位】1.二次函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題，以二次函數(shù)或指對(duì)函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題是今年數(shù)學(xué)考試說(shuō)明調(diào)整之后的熱點(diǎn)題型，創(chuàng)新題，亮點(diǎn)問(wèn)題常源于此，通常會(huì)結(jié)合函數(shù)與方程，不等式，化歸，分類討論的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)點(diǎn)，綜合考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注.11. 【2016高考江蘇卷】（本小題滿分14分）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱(如圖所示)，并要求正四棱柱的高的四倍. （1）若則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？（2）若正四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,則當(dāng)為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？【答案】（1）312（2）【解析】正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積 所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312（m3）. (2)設(shè)A1B1=a(m),PO1=h(m)，則0h6,OO1=4h.連結(jié)O1B1.因?yàn)樵谥校?所以，即 于是倉(cāng)庫(kù)的容積，從而.令，得 或（舍）.當(dāng)時(shí)， ，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，V是單調(diào)減函數(shù).故時(shí)，V取得極大值，也是最大值.因此，當(dāng) 時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大.考點(diǎn)：函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積【名師點(diǎn)睛】對(duì)應(yīng)用題的訓(xùn)練，一般從讀題、審題、剖析題目、尋找切入點(diǎn)方面進(jìn)行強(qiáng)化，注重培養(yǎng)將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力，強(qiáng)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的幾種方法.而江蘇應(yīng)用題，往往需結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)最值問(wèn)題，因此掌握利用導(dǎo)數(shù)求最值方法是一項(xiàng)基本要求，需熟練掌握.12 【2016年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù).若，則的最大值為_(kāi)；若無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】，.【解析】考點(diǎn)：1.分段函數(shù)求最值；2.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.【名師點(diǎn)睛】1.分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)首先確定所給自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍，然后選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系若自變量值為較大的正整數(shù)，一般可考慮先求函數(shù)的周期若給出函數(shù)值求自變量值，應(yīng)根據(jù)每一段函數(shù)的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值是否屬于相應(yīng)段自變量的范圍；2.在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常需要先將函數(shù)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為討論一些熟知的函數(shù)的單調(diào)性，因此掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等的單調(diào)性，將大大縮短我們的判斷過(guò)程【反饋練習(xí)】1. 【2016-2017學(xué)年河北武邑中學(xué)高一上周考9.18數(shù)學(xué)試卷，理13】函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合是_.【答案】2【解析】試題分析：由題意，解得，所以的取值集合為考點(diǎn)：二次函數(shù)的值域2. 【2015-2016學(xué)年浙江湖州中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷，理14】已知函數(shù)，若此函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ；若此函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】 考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù).3. 【2015-2016學(xué)年河北唐山一中高二下學(xué)期期末，文16】若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t的值是_.【答案】【解析】試題分析：設(shè)，,函數(shù)在奇函數(shù), 則,即,在區(qū)間上的值域?yàn)?當(dāng)取得最大值時(shí),也取得最大值,取得最小值時(shí),也取得最小值,函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值互為相反數(shù),即,即,故答案為. 考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的單調(diào)性和值域.4. 【20