第3章+經濟系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2(1).ppt

第三章經濟系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析 第一節(jié)離散時間函數(shù)與Z變換原理第二節(jié)離散時間經濟系統(tǒng)的描述第三節(jié)離散時間經濟系統(tǒng)的求解 第一節(jié)離散時間函數(shù)與Z變換原理 3 一 離散時間函數(shù) 在離散時間系統(tǒng)中存在一個取整數(shù)值的變量k k 0 1 2 而系統(tǒng)中的其它變量隨k的變化而變化 即為k的函數(shù) 表示為x k 如 x 0 x 1 x 2 表示向量x k 在k 0 1 2 時的值 此時 K稱為時間 X K 稱向量函數(shù)X在k時刻的值 4 二 Z變換的定義和性質 解 5 二 Z變換的定義和性質 6 1 線性定理 Z變化是一種線性變化 滿足齊次性和疊加性 式中 c1 c2為任意常數(shù) f1 k f2 k 是任意的可求Z變化的時間序列離散函數(shù) 7 2 時移定理 位移定理 如果f k 的Z變化是F z 則f k N 的Z變化為 8 2 時移定理 位移定理 如果f k 的Z變化是F z 則f k N 的Z變化為 9 2 時移定理 位移定理 n 1 2 3 如果f k 的Z變化是F z 則f k N 的Z變化為 10 3 初值定理 11 4 終值定理 有了初值定理和終值定理可以在不求出Z反變換的條件下 得到f k 的初值和終值 12 例2 解 13 三 離散時間系統(tǒng)的控制元件 14 1 向量延遲器 15 2 向量函數(shù)發(fā)生器 特別注意函數(shù)關系 16 3 矩陣增益放大器 17 4 向量求和器 第二節(jié)離散時間經濟系統(tǒng)描述 19 一 離散系統(tǒng)的輸入輸出描述 20 設k為現(xiàn)在時刻 已知與現(xiàn)在時刻k相鄰的前j個時刻的輸出值y k 1 y k 2 y k j 已知現(xiàn)在時刻及與現(xiàn)在時刻相鄰的前i個時刻的輸入值u k u k 1 u k 2 u k i 則可唯一地確定現(xiàn)在時刻k的輸出值y k 表達式含義 21 線性定常輸入 輸出方程 22 例1 儲蓄 貸款問題 某人每月初到銀行存一定數(shù)量的錢 第k個月的存款額為u k 元 銀行每月支付利息的利率為i 按復利方式計息 求 該儲戶在第k個月初的本利和y k 調查 23 解 第k個月初的本利和y k 的構成 24 二 經濟系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 現(xiàn)代控制理論研究系統(tǒng)內部的變化特征 故提出下列概念 狀態(tài)狀態(tài)變量狀態(tài)空間狀態(tài)空間描述 1 狀態(tài) 系統(tǒng)過去 現(xiàn)在和將來的運行狀態(tài) 25 2 狀態(tài)變量 指能夠用來描述系統(tǒng)狀態(tài)的個數(shù)最少的一組變量 n表示變量的個數(shù) 26 系統(tǒng)狀態(tài)變量的特點 滿足兩個條件 當初始狀態(tài)給定 時 系統(tǒng)在輸入u k 作用下的行為就完全由狀態(tài)變量確定 對任何給定的時刻k0 能表示系統(tǒng)在k0時刻的狀態(tài) 稱初始狀態(tài) 27 狀態(tài)變量的表示 28 3 狀態(tài)空間 是以狀態(tài)變量為坐標所構成的n維空間 狀態(tài)向量x k 在給定時刻k0時的值x k0 是狀態(tài)空間中的一個點 29 4 狀態(tài)方程 描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關系的一階差分方程組 離散時間系統(tǒng) 稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程 5 輸出方程 描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間關系的代數(shù)方程稱為輸出方程 30 6 狀態(tài)空間描述 用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的 輸入 狀態(tài) 輸出 狀態(tài)方程 x k 1 f x k u k 輸出方程 y k g x k u k 狀態(tài)空間法既研究系統(tǒng)的內部結構又研究系統(tǒng)的外部作用 31 注意 對于同一個系統(tǒng) 狀態(tài)空間的描述不是唯一的 即狀態(tài)方程和輸出方程可以有多種形式 但維數(shù)是相同的 它們反應同一個系統(tǒng) 使用狀態(tài)空間模型時 并不要求每一個狀態(tài)分量都具有直接的經濟解釋 32 線性定常離散時間系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的標準模型 x k 1 f x k u k Ax k Bu k 系統(tǒng)的狀態(tài)方程y k g x k u k Cx k Du k 系統(tǒng)的輸出方程式中 x k 時刻k的狀態(tài)向量u k 時刻k的輸入向量 又稱控制向量y k 時刻k的輸出向量 又稱測量向量 33 線性定常離散時間系統(tǒng) A稱為系統(tǒng)矩陣 B稱為輸入矩陣 C稱為輸出矩陣 D稱為前饋矩陣 34 方框圖 35 例1 五日移動平均價格原理 狀態(tài)方程 輸出方程 36 寫成矩陣形式 37 五日移動平均價格控制方框圖 38 例2 動態(tài)乘數(shù) 加速數(shù)模型 加速原理 是凱恩斯的繼承者漢森對乘數(shù)原理的發(fā)展 研究了國民收入的增加對投資的影響 即引致投資 39 加速系數(shù) 40 設 Y k 表示第k期的國民收入C k 表示第k期的消費I k 表示第k期的投資U k 表示第k期的政府支出 政府收入的來源 41 四個變量之間有如下關系 a 加速系數(shù) 已知常數(shù) a 0 反應國民收入對投資的作用 b 邊際消費傾向 已知常數(shù) 0 b 1 表示消費對收入的比率 C0 自發(fā)消費 I0 自發(fā)投資 式中 Y k C k I k U k 42 取狀態(tài)變量 狀態(tài)變量的取法不惟一 43 寫成矩陣形式 狀態(tài)方程 輸出方程 44 畫結構圖 45 結論 動態(tài)乘數(shù) 加速數(shù)模型 是包含兩個狀態(tài)變量 一個輸入變量和一個輸出變量的線性定常離散系統(tǒng) 例宏觀經濟模型之一經濟學中薩繆爾森乘數(shù) 加速模型 設y k c k I k g k 分別表示第k期的國民收入 消費水平 投資水平和政府財政支出 薩繆爾森乘數(shù) 加速模型如下 其中a b為常數(shù) a為加速數(shù) b為邊際消費傾向 a 0 0 b 1 該經濟系統(tǒng)的輸入為g k 輸出為y k 將 1 的后兩式代入第一式 整理得差分方程 上式為系統(tǒng)的輸入輸出方程 如果取控制變量為u k g k 狀態(tài)變量x1 k c k x2 k I k 輸出變量為y k 則該離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 48 三 輸入輸出描述和狀態(tài)空間描述的關系 區(qū)別 輸入輸出描述僅給出了系統(tǒng)的外部變換規(guī)律 狀態(tài)空間描述同時給出了系統(tǒng)的內部和外部的變換規(guī)律 由于描述著同一個系統(tǒng) 故兩者之間必然存在一定的聯(lián)系 49 狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述的轉換 從狀態(tài)方程和輸出方程中 消去狀態(tài)變量x k 得到系統(tǒng)的輸入輸出描述 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出描述求解系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述稱之為系統(tǒng)的狀態(tài)空間實現(xiàn) 求出狀態(tài)變量個數(shù)最少時的A B C D 稱為最小實現(xiàn) 第三節(jié)線性離散時間系統(tǒng)的解 51 設有離散線性定常系統(tǒng) 解狀態(tài)方程 問題的提出 若已知系統(tǒng)的初始狀態(tài)x 0 和所有時刻的輸入u k k 0 1 2 要求系統(tǒng)任何時刻的y k k 0 1 2 52 一 迭代法求解差分方程 1 首先討論齊次解令u k 0 k 0 1 2 不考慮輸入 用迭代法 x 1 Ax 0 x 2 Ax 1 A2x 0 x 3 Ax 2 A3x 0 k 0 1 2 線性定常離散系統(tǒng)的齊次解 53 討論 a 若x 0 0 則x k 0 k 0 1 2 b 若k L為任意時刻 且k L 則 54 2 非齊次線性定常離散系統(tǒng)的解 假設系統(tǒng)有非零的輸入u k 此時 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 用迭代法 55 2 非齊次線性定常離散系統(tǒng)的解 系統(tǒng)對輸入作用的響應 系統(tǒng)對初始狀態(tài)的響應 56 子女上學費用 按月存100元 年息3 1歲開始存 6歲上學使用 K 5 12 月 U k 100元 月i 3 12 月 Y 60 1 3 12 Y 59 100 如何計算 57 用迭代法 y 0 0y 1 1 0025 y 0 100y 2 1 0025 y 1 100y 3 1 0025 y 2 100y 4 1 0025 y 3 100 y 60 1 0025 y 59 100 6464 67完畢 58 二 用Z變化法求解差分方程 設有 非齊次線性定常離散系統(tǒng) 初始條件為x 0 已知 兩邊同時取Z變換 移項整理得 59 假設 zI A 可逆 則 求Z反變換 二 用Z變化法求解差分方程 60 例1 x k 1 0 8x k 1 x 0 2 解 取Z變換 代入初值合并 移項整理 得 求Z反變換 得到差分方程解的表達式為 61 例2 人口遷移問題 62 解 則有 初始條件 63 寫成矩陣形式 64 用Z變化求方程的解