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第一章函數(shù) 極限與連續(xù)第一章函數(shù) 極限與連續(xù) 習題課習題課 數(shù)學科學學院 汪小平數(shù)學科學學院 汪小平 wxiaoping325 2 44 第一章知識框圖第一章知識框圖 反 函 數(shù) 反 函 數(shù) 復 合 函 數(shù) 復 合 函 數(shù) 四 種 性 態(tài) 四 種 性 態(tài) 無窮小的運算與比較無窮小的運算與比較 無窮小 大 量無窮小 大 量 定 義定 義 兩個重要極限兩個重要極限 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則 夾逼準則夾逼準則 間斷點的分類間斷點的分類 映 射 映 射 函 數(shù) 函 數(shù) 極 限 極 限 數(shù) 列 的 極 限 數(shù) 列 的 極 限 函 數(shù) 的 極 限 函 數(shù) 的 極 限 連 續(xù) 連 續(xù) 初 等 函 數(shù) 連 續(xù) 性 初 等 函 數(shù) 連 續(xù) 性 基 本 初 等 函 數(shù) 基 本 初 等 函 數(shù) 分 段 函 數(shù) 分 段 函 數(shù) 極 限 的 性 質(zhì)極 限 的 性 質(zhì) 初等 函數(shù) 初等 函數(shù) 局 部 保 號 性 局 部 保 號 性 復 合 運 算 復 合 運 算 四 則 運 算 四 則 運 算 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 最值定理最值定理 介值定理介值定理有界性定理有界性定理 零點定理零點定理 定 義定 義 局 部 有 界 性 局 部 有 界 性 3 44 部分典型習題講解部分典型習題講解 1 1 lim2 2 x x x 例 證明 例 證明 11 0 2 3 22 xx xx 解 解 1x 注意到鄰域半徑 的形式應為 因此上式中 注意到鄰域半徑 的形式應為 因此上式中 1 x 應保留 其余部分應適當放大 應保留 其余部分應適當放大 11 1 2 1 1 22 xxx 限制 則 限制 則 11 36 1 min 22 6 x x x 只須 取 只須 取 1 1 2 2 x x x 則當時 有 則當時 有 4 44 P51 習題習題1 3 00 0 00 0 6 1 lim lim 0 lim 0 2 lim0 lim 0 lim 0 xxxx xx xxxx xx f x Ag x g x f x f x Af x g x g x 已知常數(shù) 且 已知常數(shù) 且 證明 已知常數(shù) 且 證明 已知常數(shù) 且 證明 證明 0 1 lim xx f x A g x 證明 證明 f x Ax g x f xAg xx g x f x由常數(shù)乘無窮小和兩個無窮小相乘的性質(zhì)知 也是無窮小 由常數(shù)乘無窮小和兩個無窮小相乘的性質(zhì)知 也是無窮小 5 44 P88 習題習題1 6 4 2 1 3 1 2 2 1 1 xaxb xx f xxx x a bf xx 當 設 當 問 為何值時 在處連續(xù) 當 設 當 問 為何值時 在處連續(xù) 4 1 lim2 1 2 x xaxb xx 解 由連續(xù)有 解 由連續(xù)有1ab 利用多項式除法有 利用多項式除法有 432 1 1 xaxbxxxxa 432 11 1 limlim 1 2 2 xx xaxbxxxa xxx 4 2 3 a 2 3ab 6 44 121212 0 8 0 0 0 f xx xf xxf xf x f xxff x x 設對一切滿足 設對一切滿足 且在處連續(xù) 證明在任意點 處連續(xù) 且在處連續(xù) 證明在任意點 處連續(xù) 0 f 證明 證明 00 f 0 0 ff 0 0 1 0ff 0 0 0 1ff 舍去 或 舍去 或 0 lim xx f x 0 0 lim x f xx 0 0 lim x f xfx 0 0 lim x f xfx 0 0 f xf 0 f x 7 44 12 1 limlim n n nn xxx xaa n 設 證明 設 證明 證 證 12n xxx a n 1 n xaxa n 1 n xaxa n 11 0 0 NnN 當時當時 2 n xa 則上式則上式 1 1 N xaxa n 1 1 Nn xaxa n 1 1 1 2 N xaxa nN nn 極限證明極限證明 8 44 12 lim n n xxx a n 所以所以 1 1 N xaxa 由于為定值 由于為定值 22 NnN 所以當 時 所以當 時 1 1 2 N xaxa n 12 max NNN 取則 取則 nN 當時當時 121 22 n xxxnN a nn 1 1 1 2 N xaxa nN nn 12 lim0lim0 n n nn xxx x n 注意 若 則有 注意 若 則有 1 lim 0 lim0 n n nn xx x n 又易得 則又有又易得 則又有 9 44 11 2 lim lim lim nn nn nnn x yx y xaybab n 設證明 設證明 證 證 lim n n xa nn xa 0 n 其中其中 lim n n yb 同理同理 0 nnn yb 其中其中 由此由此 11nn x yx y ab n 11 nn x yabx yab n 11 nn abababab n 1111 nnnn ab n 10 44 1111 nnnn ab n 1n a n 1n b n 11nn n 11nn nn 由上題知 和為無窮小由上題知 和為無窮小 而而 lim0 n n n 所以有界所以有界0 n MM 即 即 則則 11nn n 1 n M n 0 所以所以 11 0 nn x yx y ab n 11 lim nn n x yx y ab n 即 即 11 nn n 11 44 0 1 0 型的求解方法 型的求解方法 極限的求法極限的求法 1 0 通過因式分解或根式有理化 消去因子通過因式分解或根式有理化 消去因子 極限運算法則或連續(xù)函數(shù)性質(zhì)極限運算法則或連續(xù)函數(shù)性質(zhì)再用求出極限 再用求出極限 2 無窮小運算性質(zhì) 等價無無窮小運算性質(zhì) 等價無利用利用窮小替換窮小替換 3 換元法 換元法 0 11 lim n x x x 如 如 o 2 型的求解方法 利用無窮小 型的求解方法 利用無窮小 12 44 0 3 0 型的求解或 型的求解或 3 0 12cos 1 lim1 3 x x x x 例 例 ln f xf xg x g xe 提示 提示 0 40 0 型的求解或 型的求解或 5 和式極限 無窮小乘有有界等等 和式極限 無窮小乘有有界等等 通分 根式有理化通分 根式有理化 分析 分析 10 類型 類型 21 x e 13 44 11 2 lim cossin x x xx 例 例 2 sin 1 2 2 2 sin 22 lim 1sinlim1sin x x x x xx xx 2 lim sin 2x x x e 2 2 11 limcossin x x xx 解 原式 解 原式 2 lim 2x x x ee 1 14 44 22 1 lim xa xaxa xa xaxa 解 原式 解 原式 1 limlim xaxa xa xa xaxa 22 lim0 xa xaxa a xa 例3 求 例3 求 1 2a 0 0 15 44 1 11 lim 11 nm mn x mxnx xx 解 原式解 原式 0 1111 lim 1111 nm mn t mtnt tt 原式 原式 1 lim 11 mn x mn xx 例4 求例4 求 11 1 0txxtxt 令則當時令則當時 0 1111 lim mn t ntmt mt nt 0 0 16 44 2222 2 0 1 lim 2 t nmmn to t mnt 2 mn 2222 2 0 11 22 lim t m mn n n mtto tm ntto t mnt 2 2 0 1 lim 2 t o t mn mn t mn 0 1111 lim mn t ntmt mt nt 17 44 lim x xx xxxx 解 原式 解 原式 1 2 lim x xxxx 例5 求例5 求 3 1 1 lim 11 11 x x xx 18 44 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 11 6 03 31 2 lim nnn n n xxxxn x 例證明 數(shù)列存在 并求極限 例證明 數(shù)列存在 并求極限 111 03 3 xxx 證明 由知均為正數(shù) 故證明 由知均為正數(shù) 故 3 01 2 k xk 設則設則 1n 由數(shù)學歸納法知 對任意的正整數(shù)均有由數(shù)學歸納法知 對任意的正整數(shù)均有 21111 13 033 22 xxxxx 1 13 033 22 kkkkk xxxxx 3 0 2 nn xx 因而數(shù)列有界因而數(shù)列有界 19 44 1nn xx 1 lim 3 3 nnnn n xaxxx aaa 設 在邊取極限 得 設 在邊取極限 得 3 nnn xxx 32 0 3 nn nnn xx xxx lim n n n x x 所以數(shù)列單調(diào)增加 由單調(diào)有界定理知 存在 所以數(shù)列單調(diào)增加 由單調(diào)有界定理知 存在 33 0 lim 22 n n aax 或故或故 20 44 證 用歸納法證 用歸納法 2 01 x 2006研研 sinaa 則則 0 a 1 x 1 01 n x 1 sin nnn xxx 21 sinxx 1 0 x 1 0 sin nnn xxxxnN 1 1 例7 設滿足例7 設滿足 lim n n xa 令 令 1 分析 1 分析 故需證單調(diào)遞減有下界故需證單調(diào)遞減有下界 0 si nxxx 0 n x 設設 2 1 1 1 lim 2 lim n x n n nn n x x x 證明存在 并求極限 計算 證明存在 并求極限 計算 21 44 2 1 1 lim n x n n n x x 2 1 sin lim n x n n n x x n xx 2 1 lim0 n n x 由得 由得 1 6 e 2 1 0 sin lim x x x x 2 1 0 sin lim 1 x x xx x 1 3 0 sin lim x xx x e 2 0 cos1 lim 3 x x x e 22 44 用單調(diào)有界準則證明數(shù)列極限存在的基本方法 用單調(diào)有界準則證明數(shù)列極限存在的基本方法 1 分析數(shù)列的變化趨勢分析數(shù)列的變化趨勢 1 1 2 n nn n x xx x 證明單調(diào)性 用歸納法 考察 或 等 證明單調(diào)性 用歸納法 考察 或 等 3 證明有界性 用歸納法 用常見的不等式 例如證明有界性 用歸納法 用常見的不等式 例如 111 sin ln 1 21 ab abxx nnn 等 等 4 有時用已證的單調(diào)性證有界性或 有時用已證的有界性證單調(diào)性 有時用已證的單調(diào)性證有界性或 有時用已證的有界性證單調(diào)性 ln 1 0 1 x xxx x 23 44 思考題思考題 11 1 2 2 1 lim nn n n xxnx x 設求 設求 注注 這道題不能按照上題那樣做這道題不能按照上題那樣做 原因是原因是 2 000000000000000 2 500000000000000 2 400000000000000 2 416666666666667 2 413793103448276 2 414285714285714 2 414201183431953 2 414215686274510 2 414213197969543 2 414213624894870 2 414213551646055 2 414213564213564 2 414213562057320 2 414213562427273 2 414213562363800 2 414213562374690 2 414213562372821 2 414213562373142 2 414213562373087 2 414213562373096 2 414213562373095 2 414213562373095 2 414213562373095 2 414213562373095 24 44 11 1 2 2 1 lim nn n n xxnx x 設求設求 lim n n xl 解 令 解 令 0 對對 n xl 1 11 22 n xl 1 11 n xl 1 1 n n xl lx 1 11 limlim2 212 n nn n xll xl 則即則即 2212lim nn n xllx 故下證存在 故下證存在 25 44 1 4 n xl 1 21 4n lim0 lim12 nn nn xlxl 由極限的定義知 故 由極限的定義知 故 2 2 4 n xl 1 1 4n xl 26 44 1 12 12 0 1 lim xxx x n n x aaa a aa n 求其中均為正數(shù) 求其中均為正數(shù) 綜合題綜合題 1 lim 1 lim lim g xf xg xf x 若求 若求 1 0 lim 1 x x xe 法一法一 利用利用 1 1 1 lim 1 lim1 g xf x g f x x ffxx lim 1g xf x e ln g xg xf x f xe 法法利用利用二 二 ln lim ln lim lim g xg xf xg xf x f xee lim ln 1 1 g xf x e lim 1 g xf x e 27 44 1 12 12 0 1 lim xxx x n n x aaa a aa n 求其中均為正數(shù) 求其中均為正數(shù) 1 12 0 lim 1 xxx x n x aaan n 解 原式 解 原式 12 0 1 lim xxx n x aaan xn e 12 1 ln 1 0 lim xxx n aaan xn x e 1 1 ln n i i a n e 0 1 11 lim n x i x i a xn e 0 1 ln1 lim n i x i xa xn e 1 2 1ln n a aa n e 12 n n a aa 練習練習 lim 2 n nn n ab 28 44 1 2 0 lim xxnx x x eee n 練習 求 練習 求 1 2 0 lim 11 xxnx x x eee n 解 原式 解 原式 2 0 1 lim xxnx x eeen xn e 1 12 n n e 1 2 n e 2 0 1 1 1 1 lim xxnx x eee nx e 2 000 1111 limlimlim xxnx xxx eee nxxx e 1991研研 1 29 44 2 2 limsin1 n n 求 求 2 limsin1 n n 解 解 2 lim1sin1 n n nn 2 1 lim1sin 1 n n nn 2 limsin1 n nnn 30 44 22 sin 0 11 n nnnn 當時 當時 2 11 limsin10 n n n 又又 2 1 lim1sin 1 n n nn 31 44 極限式中常數(shù)的確定極限式中常數(shù)的確定 求常數(shù)求常數(shù)a b 2 1 lim3 1 x x axb x 3 已知 3 已知 2 1 1 lim3 1 x a xba xb x 解 原極限知 解 原極限知 101 34 aa bab 32 44 2 2 0 11 1 4 lim 0 2arctan b x f x x a bxf xax x 已知 求使 已知 求使 解解 2 0 lim0 x f x x 22 1 11 0 2 f xf x x xx 11 0 xxx 2 0 limarctan0 x x 4 0 lim11 4 x f x ab x 2 0 lim 110 x f x x 2 2 224 000 1 11 1 2 limlimlim arctan22 xxx f xf x f x xx xxx 33 44 0 limmax nnnn n a bcabca bc 2 5 lim 1 0 2 n n n n x f xxx f x 求 的顯式表達式 求 的顯式表達式 12 lim nnn n m n aaa 12 max 0 mi a aaaiN 34 44 2 lim 1 2 n n n n x f xx 1 01x 12xx 2 2 2 x x y O 1y x yx 21 2 2 x y 1 2 35 44 2 1 0 ln 1 6 lim2 ln 1 x x x e xxx e 表示不超過 的最大整數(shù) 表示不超過 的最大整數(shù) 2 1 0 ln 1 0 lim2 ln 1 x x x e x e 原式原式 2 2 1 1 00 lim2lim22 x x xx x e e e 2 1 0 ln 1 0 lim0 ln 1 x x x e x e 原 式原 式 2 1 0 2 ln 1 lim 1 ln 1 x x x e x e x 22 11 0 ln 1 lim ln 1 xx x xx ee ee 2 1 0 2ln 1 lim 1ln 1 x x x xe xe 解 1 0ln xxx 36 44 3 2 0 7 coscos lim sin x xx x 3 2 0 cos11cos lim x xx x 解1 原式解1 原式 3 22 00 1cos1cos limlim xx xx xx 2 2233 00 1cos1cos limlim 1cos 1coscos xx xx xx xxx 22 00 11cos11cos limlim 32 xx xx xx 11 64 1 12 37 44 3 2 0 7 coscos lim sin x xx x 6212 sico n101s xuxuxu 令則 當 1110 1 11 lim 112 u uuu 12 1 1 lim 1 u u u 1110 1 1 lim 1 1 u u uuuu 32 12 1 lim 1 u uu u 原式 原式 解2解2 38 44 1 00 8 lim4 lim 1 1cos x xx f xf x xx 已知 求 已知 求 2 解解 2 2 f x x x 1 2 00 lim2lim2 xx f x f x x xx 2 000 2 lim4lim4lim2 1 1cos 2 xxx f xf xf x xx x 1 1 00 lim 1lim 12 x x xx f x xx x 0 2 lim 2x xx x ee 0 lim0 x f x x 1 0 1 lim 1 x x f x x 解1解1 2 0 lim 2x f x x ee 2 0 f x xxxx x 39 44 0 11 xx xx 解 解 1 x 0 xf x 是 的第二類 無窮 間斷點是 的第二類 無窮 間斷點 0 lim x fx 1 xfx 是 的第一類 跳躍 間斷點 是 的第一類 跳躍 間斷點 0 fx 1 0 xx 間斷點 間斷點 2005研研 1 1 9 1 x x f x e 求 的間斷點并指出其類型求 的間斷點并指出其類型 0 11 xx xx 1 x 1 fx 40 44 sinsin sin 10 lim sin x tx tx t f x x 求 的間斷點并指出其類型 求 的間斷點并指出其類型 sin x x e sinsin sinsin lim 1 sin x tx tx tx f x x 解 1 解 1 sinsin lim sinsinsintx txx xtx e sin lim lim x x xkxk