礦大線性代數(shù)習題冊doc.doc

線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 習習 題題 冊冊 線性代數(shù)課題組 第一章行列式第一章行列式 習題一習題一 n階行列式的定義階行列式的定義 一 填空題 1 排列51243的逆序數(shù)是 故該排列是 奇或偶 排列 2 已知排列213 86 59ij為偶排列 則i j 3 已知 1225344153 a a a a a為5階行列式中的一項 則該項前的符號是 正或 負 4 4階行列式中含有因子 1331 a a的項是 5 n階行列式中 帶負號的共有 個 6 sincos cossin xx xx 7 210 341 102 8 000 000 000 000 a b c d 二 選擇題 1 下列各項中 為某 4 階行列式中帶正號的項 A 14233142 a a a a B 11233244 a a a a C 12233441 a a a a D 13243142 a a a a 2 0001 0020 0100 000 n n A n B n C 1 2 1 n n n D 2 2 2 1 nn n 三 三 求2n階排列13 21 24 2 nn 的逆序數(shù) 四 用行列式的定義計算下列行列式 1 00 00 00 000 ab cd ef g 2 0100 0020 0001 000 n n 習題二習題二 行列式的性質行列式的性質 一 填空題 1 各行元素之和為零的行列式的值等于 2 1110 1101 1011 0111 3 已知 111213 212223 313233 2 aaa aaa aaa 則 212223 111213 311132123313 222 333 aaa aaa aaaaaa 二 選擇題 1 若 12 410 121 則 A 3 B 10 C 3 或 2 D 3 或 10 2 222 111 abc abc A 222 a cb ac b B ab bc ca C 222 a bb cc a D 1 1 1 abc 3 若1230 410 abc k 則 124 251 360 a b c A 0 B k C k D 2k 三 三 計算下列行列式 1 3126 1203 4087 2657 2 abbb abab aaba bbba 3 12 12 12 n n n xmxx xxmx xxxm 習題三習題三 行列式的性質行列式的性質 一 填空題 1 在 4 階行列式D中 第 3 行元素依次為2 1 3 5 它們的余子式依次為3 9 3 1 則D 2 設 2 1 2 3 4 i Ai 是行列式 12 22 32 42 37 89 23 96 xa ya za wa 中元素 2 1 2 3 4 i ai 的代數(shù)余子式 則 12223242 7936AAAA 3 424344 0123 0045 0006 2aaa 4 設 3251 6034 5122 2316 D D的 i j元素的代數(shù)余子式記作 ij A 則 112131 AAA 41 A 二 選擇題 1 4 階行列式 11 22 33 44 00 00 00 00 ab ab ba ba 的值等于 A 12341 2 3 4 a a a abb b b B 12341 2 3 4 a a a abb b b C 121 2343 4 a abba ab b D 232 3141 4 a ab ba abb 2 n階行列式 001 000 000 100 n a a D a a 的值等于 A 1 n a B 1 n a C 22 1 n aa D 22 1 n aa 3 4 階行列式 222 333 1111 123 123 123 a a a 的值等于 A 2 1 2 3 aaa B 2 1 2 3 aaa C 0 D 2 1 2 3 a aa 三 三 計算下列行列式 1 0245 1134 0561 2327 2 1 2 111 111 111 n n a a D a 其中 12 0 n a aa 四 利用遞推法證明 0 1 12 011 2 1 1000 100 001 000 nn n n n a ax a xa xa ax ax 五 利用范德蒙德行列式的結論求解關于x的方程 12 222 12 111 12 12 1111 1 1 0 1 n n nnn n nnn n aaa aaa aaa xaaa 習題四習題四 克拉默克拉默 Cramer 法則法則 一 判斷題 已知 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 其中 12 n b bb 不全為零 1 和 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn nnnnn a xa xa x a xa xa x a xa xa x 2 記D為上兩線性方程組的系數(shù)行列式 1 若0D 則線性方程組 1 有唯一解 2 齊次線性方程組 2 存在無解的情形 3 若齊次線性方程組 2 有非零解 則0D 4 若方程組 1 無解或有多個不同的解 則0D 二 填空題 1 已知齊次線性方程組 123 123 123 1 240 2 3 0 1 0 xxx xxx xxx 有非零解 則 2 用 無 唯一 或 多個 填空 關于 12 x x的線性方程組 121 122 sincos cossin xxb xxb 有 解 3 已知非齊次線性方程組 25 3 27 kxy xkyz xyz 有多個解 則k 三 用克拉默法則解下列線性方程組 1234 1234 1234 1234 5 242 2352 32110 xxxx xxxx xxxx xxxx 四 設 2 012 n n f xaa xa xa x 用克拉默法則證明 若 f x有1n 個不同的 實 根 則 0f x 第一章第一章 復復 習習 題題 一 填空題 1 若 35251 134ij a a a a a為5階行列式中帶負號的一項 則i j 2 多項式 23 3423 151 524 xx x f x x xx 中 4 x的系數(shù)為 3 x的系數(shù)為 3 已知 111213 212223 313233 1 aaa aaa aaa 則 122232 112131 131123213331 222 333 aaa aaa aaaaaa 4 設 3214 1501 2132 4921 ij M為元 i j的余子式 則 12223242 MMMM 5 2222 3333 2345 1111 2345 2345 6 1231 11000 01100 00011 nn 二 選擇題 1 下列 2 n n 階行列式的值必為零的是 A 行列式主對角線上的元素全為零 B 行列式零元素的個數(shù)多于n個 C 行列式零元素的個數(shù)多于 2 nn 個 D 行列式非零元素的個數(shù)比1n 少 2 已知n階行列式D 則0D 的必要條件是 A D中有一行 或列 元素全為零 B D中有兩行 或列 元素對應成比例 C D中至少有一行元素可用行列式的性質全化為零 D D中各列元素的和為零 3 設 2 2 2 0 aabc abcDbbac ccab 則 A 0D B 0D C 0D D 不能確定D的符號 4 1231 2341 34512 122221 nn nn nn nnnnn 的值為 A 1 B 0 C n n D n 5 已知齊次線性方程組 123 123 123 0 0 20 axxx xbxx xbxx 有非零解 則a與b滿足 A 1a 或0b B 0a 或1b C 1ab D 1ab 6 對于非齊次線性方程組 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 以下結論不正確的是 A 若方程組無解 則系數(shù)行列式0D B 若方程組有多解 則系數(shù)行列式0D C 系數(shù)行列式0D 是方程組有唯一解的充分必要條件 D 若方程組有解 則系數(shù)行列式0D 三 求下列行列式的值 1 111 1 244 1111 2636 1232 111 0 6515 2 3121 3041019997 4113 2451 111 111 111 111 n n n D n n n xaaa bxaa Dab bbxa bbbx 0 1 2 1 1000 100 001 000 n n n a ax D ax ax 111 222 12 12 1 12 n nnn xxxn xxxn Dn xxxn 320000 132000 013200 000032 000013 四 證明 11 000 100 000 0001 nn n abab abab ab Dab ab abab ab 五 已知 階行列式 5 12345 22211 27 31245 11122 43150 D 求 414243 AAA 和 4445 AA 其中 4 j A 1 2 3 4 5 j 為 5 D的第 4 行第j個元素的代數(shù)余子式 六 用克拉默法則解下列線性方程組 1234 124 234 1234 258 369 225 4760 xxxx xxx xxx xxxx 七 設 21 21 111 21 111 1 1 1 n n n nnn xxx aaa p x aaa 其中 121 n a aa 互不相等 證明 p x是1n 次多項式 求 p x的全部根 EXERCISES 1 1 Evaluate the following determinants a 27 53 b 430 312 514 c 212 132 516 d 221 411 202199101 e 31 25 42 3 128 2 54414 6333 24112 5525 2 If 123 123 123 3 aaa Dbbb ccc find the following determinants 111222333 1123 123 232323abcabcabc Dbbb ccc 123 2123 123 3 3 3 aaa Dbbb ccc and 123 3123 123 aaa Dccc bbb 3 Let 0123 1111 2233 1223 D a Use the elimination method to evaluate D b Use the value of D to evaluate 01230123 22331111 12231144 11112312 4 Find what value of a is 21001 01313014 0122 a a aa 5 Evaluate 1 1 2 1 3 1 xxxx xxxx xxxx xxxx n 6 Solve the following linear system by Cramer s rule 1 238 235 xyz xyz xyz 第一章第一章 自測題自測題 一 填空題 1 在6階行列式中 3561 12534624 a a a a a a前的符號是 2 多項式 22 1310 345 1232 xxx p x x 中 2 x的系數(shù)為 2137 3921 1411 2005 2006階行列式 2006 01000 10100 01000 00001 00010 D 當k 時 下列方程組有非零解 123 123 123 30 230 0 xxkx kxxx xkxx 二 選擇題 1 在4階行列式中 所有含因子 23 a且?guī)в胸撎柕捻椀捻棓?shù)為 A 1 B 2 C 3 D 4 2 設3階行列式 3 det ij Da ij A是 ij a的代數(shù)余子式 若 3 2D 則 11111212 a Aa A 222 1313211122122313311132123313 a Aa Aa Aa Aa Aa Aa A A 0 B 2 C 4 D 12 3 已知 11 103 21 x y z 則 1 1 1 xzx zyy xy A 9 B 3 C 0 D 222 xyz 4 2222 2222 2222 2222 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 aaaa bbbb cccc dddd A 0 B 1 C 2222 abcd D 2222 a b c d 5 已知線性方程組 12 23 13 2 23 0 bxaxab cxbxbc cxax 則 A 當0a 時 方程組無解 B 當0b 時 方程組無解 C 當0c 時 方程組無解 D 當 a b c取任意實數(shù)時 方程組均有解 三 求下列行列式的值 1 1123 2202 4111 1230 2 261854 141664 361224 1525125 25000 13000 00001 00010 00100 11121211 212222 3132 11 1 10 100 1000 10000 nn n n aaaa aaa aa a 1222 2222 2232 222n 四 證明 0 1 2120 1 111 100 1 100 100 n n i i n a a aa aa a a a 五 用克拉默法則解下列線性方程組 134 1234 123 1234 5423 21 421 0 xxx xxxx xxx xxxx 六 若三條直線 111122223333 0 0 0la xb ycla xb ycla xb yc 有公共點 證明 111 3222 333 0 abc Dabc abc 第一章第一章 考研訓練題考研訓練題 一 填空題 1 設行列式 3040 2222 0700 5322 D 則第四行各元素余子式之和的值為 2 已知四階行列式 4 2134 1023 1521 1152 D ij A表示元素 ij a的代數(shù)余子式 則 132343 2AAA 3 五階行列式 1000 1100 0110 0011 00011 aa aa Daa aa a n階行列式 01111 10111 11101 11110 n D n階行列式 000 000 0000 000 000 n ab ab a D ab ba 二 選擇題 1 如果 111213 212223 313233 3 aaa aaa aaa 那么 31112111 32122212 33132313 32 32 32 aaaa aaaa aaaa 的值為 A 6 B 9 C 18 D 18 2 已知行列式 2123 22212223 33324535 4435743 xxxx xxxx xxxx xxxx 為 f x 則方程 0f x 的根 的個數(shù)為 A 1 B 2 C 3 D 4 3 4 223 100 202 01 xxx x D xx xx 中 4 x的系數(shù)是 A 5 B 5 C 6 D 6 4 設n階行列式0 n Da 且 n D的每行元素之和均為b 則 n D的第一列元素的 代數(shù)余子式之和 11211n AAA 等于 A a b B b a C 0 D 22 ab ab 5 設det A是n階行列式 detB是m階行列式 記 00 00 AA CD BB 則 C D的值是 A 1 B 1 C 1 n D 1 mn 設 23 123 01 xxx f xxx x 則 fx A 2322 13 023123 01011 xxxxx xxx x B 2 123 023 001 xx C 2 xx D 2 xx 三 求下列n階行列式的值 1 1000 0100 0001 10000 n n D 2 123 2341 3452 121 n nn 四 已知平面上三條不同的直線的方程分別為 12 230 230laxbyclbxcya 3 230lcxayb 試證這三條直線交于一點的充分必要條件為0abc 五 設 22 258 111 35331 213171 f xxxx xxx 證明 在 0 1 內至少存在一點 使 0f 第二章第二章 矩陣矩陣 習題五習題五 矩陣的概念和運算矩陣的概念和運算 二 判斷題 下列各題中的大寫字母均表示矩陣 E表示單位矩陣 1 若 2 AO 則AO 2 若 2 AA 則AO 或AE 3 若 ABAC 且AO 則BC 4 若方陣AO 則0A 5 若方陣A和B滿足ABO 則0A 或0B 6 若A為方陣 k為非零常數(shù) 則kAk A 7 若實對稱矩陣A滿足 2 AO 則AO 二 填空題 1 5 1 2 31 2 5 11 2 3 2 2 222 2ABAABB 成立的充要條件是 3 設A是m n 階矩陣 B是ms 階矩陣 則 T A B是 階矩陣 4 設 010 001 000 A 且ABBA 則B 5 設A是 3 階方陣 且3A 則 2 2 A 三 選擇題 1 設 25 123 01 214 13 AB 則23 T AB A 322 707 B 449 1141 C 132 2 705 D 213 432 2 00 00 00 n a b c A 0 B nabc C 100 010 001 nnn a b c D 00 00 00 n n n a b c 3 已知有矩陣 2 33 4 AB 則下列 運算可行 A AB B AB C AB D BA 4 設 A B為n階方陣 則下列結論成立的是 A ABO 當且僅當AO 且BO B AE 當且僅當1A C ABBA D ABAB 5 設 A為n階方陣A的伴隨方陣 則下列結論不正確的是 A AAA A B AAA E C 1 n AA D n AA 四 計算題 1 1223 313271 5264 2 4317 1232 5701 3 131 2140012 1134131 402 4 1 2 12 n n b b a aa b 1 212 3 m a ab bb a 11121 12222 12 1 1 aabx x yaaby bbc 五 已知n為自然數(shù) 設 3 12 3 1 2 A 求 n A 六 對一般矩陣 舉例說明下列命題是錯誤的 若ABO 則AO 或BO 22 AB ABAB 七 證明下列各題 設A為n階矩陣 B為n階對稱矩陣 證明 TTm AA A A B m為正整數(shù) T A BA均為對稱矩陣 設A是m n 階矩陣 證明若對任意1n 矩陣x 都有0Ax 則AO 習題六習題六 逆矩陣逆矩陣 一 判斷題 已知 A B均為n階矩陣 1 若 A B均可逆 則AB 可逆 2 若A可逆且ABO 則BO 3 若A不可逆 則AB也不可逆 4 設A為階數(shù)大于2的方陣 A為A的伴隨矩陣 則A可逆的充分必要條件是 A可逆 5 設A為對稱矩陣且可逆 則 1 A 也為對稱矩陣 6 設A為階數(shù)大于2的可逆方陣 則 11 AA 二 填空題 1 設 cossin sincos A 則 1 A 2 若 1 1 2 1 5 100 1 00 3 00 A 則A 3 已知 2546 1321 X 則X 設A是 3 階方陣 且3A A為A的伴隨矩陣 則 1 3A A 1 37AA 三 選擇題 1 設 均為n階矩陣 則 A 若 可逆 不可逆 則 必不可逆 B 雖 與 均不可逆 但 有可能可逆 C 若 可逆 為單位矩陣 則 必可逆 D 雖 不可逆 但 與 可能均可逆 2 設 A B C均為n階矩陣 且ABCE 則必有 A CABE B BACE C CBAE D ACBE 3 設 A B均為n階矩陣 且 A BEO 則必有 A AO 或BE B ABA C 0A 或1B D 兩矩陣A與BE 中 至少有一個為奇異矩陣 四 已知 122 236 117 A 求逆矩陣 1 A 五 設 033 110 123 A 且2ABAB 求B 六 設 1 P AP 其中 14 11 P 10 02 求 n A 設 2 23f xxx 求 f A 七 設方陣A滿足 2 23AAEO 證明A可逆 并求 1 A 證明3EA 可逆 并求 1 3 EA 習題七習題七 矩陣的分塊法矩陣的分塊法 一 判斷題 矩陣與其分塊矩陣本質上是同一矩陣 二 填空題 1 設 14000 11000 00200 00030 00004 A 由分塊矩陣的方法得 1 A 2 設A與B均為可逆方陣 則 1 AO OB 1 OA BO 3 用 可逆 和 不可逆 填空 設矩陣 1 2 AB A OA 其中 1 A與 2 A均是方陣 若A可逆 則 1 A為 矩 陣 2 A為 矩陣 三 用分塊矩陣的乘法計算AB 1200013000 2800028000 0010110101 0023201232 0031123311 AB 四 設 A B都是可逆矩陣 求下列分塊矩陣的逆矩陣 OA BC 五 用分塊矩陣的方法 求下列矩陣的逆矩陣 1 0100 0020 0001 000 n n 1000 1200 2130 1214 六 設4階方陣 234234 Ar r rBr r r 其中 234 r r r 均為4維列向量 且 已知行列式 Aa Bb 試求行列式2AB 的值 第二章第二章 復習題復習題 一 填空題 1 設 121012 232 210 102113 AB 則 1 T ABB 2 若 2 AA 且A可逆 則A 3 已知A的逆矩陣 1 101 210 325 A 則 1 A 設 A B是4階方陣 且2 2AB 則 1 A 1 2 T A BA 設 為3 1 矩陣 若 111 111 111 T 則 T 設 k AO k為正整數(shù) 則 1 EA 設 0052 0021 cossin13 sincos01 A 則 1 A 二 選擇題 1 已知 A B都是n階可逆方陣 E為n階單位矩陣 且ABBA 關于 A B有如 下 六命題 11 ABB A 11 A BB A 11 ABB A 1111 A BB A AB 11 A B ABE 其中正確的命題是 A B C D 2 設 B P均為n階矩陣 且P可逆 則下列運算不正確的是 A 1 BP BP B 1 22EBEP BP C 1 22 TEBEP BP D 1 P BPB 3 設 A B為n階方陣 EAB 可逆 則EBA 也可逆 且 1 EBA A 11 EA B B 11 EB A C 1 EB EABA D 1 B EABA 設 A B為n階方陣 則下列選項中正確的是 A 若 A B都可逆 則 AB 一定可逆 B 若 A B都不可逆 則 AB 一定不可逆 C 若A可逆 但B不可逆 則 AB 一定不可逆 D 以上 三選項都不對 設A為m階方陣 B為n階方陣 且3A 記 1 2 T OA C BO 則 2C A 11 1 3 2 n mn m B B 11 3 2 n m B C 1 1 1 2 1 1 3 2 m nm n n m B D 1 11 2 3 n m BmnB 三 計算下列各題 設 111123 111 124 111051 AB 求32 T ABB 設A的伴隨矩陣 1000 0100 1010 0308 A 且 11 3ABABAE 其中E為4階 單位矩陣 求B 已知A為4階矩陣 且3A 求 1 1 4 3 AA 4 設A為3階方陣 且3A 求 1 2 AA 和 4 AA 的值 5 設 10 01 00 A 求 k A 6 設 3400 4300 0020 0022 A 求 841 AAA 7 設 4 4 ijij AaA 為 ij a的代數(shù)余子式 且 11 0 ijij aA a 求A 四 證明下列各題 1 設A是n階可逆對稱 反對稱 矩陣 則 1 A 也是對稱 反對稱 矩陣 2 設A為n階對稱矩陣 B為n階反對稱矩陣 T BB 證明 1 ABBA 為對稱矩陣 ABBA 為反對稱矩陣 2 對任意的正整數(shù)m 2m B為對稱矩陣 21m B 為反對稱矩陣 3 AB為反對稱矩陣的充要條件是ABBA 4 若 A B均為可逆矩陣 則 1 AB 為反對稱矩陣的充要條件是 1111 A BB A 3 設 A B為n階矩陣 已知 AE B 都可逆 且 1 AEBE 證明A可逆 并求 1 A 4 設A為n階矩陣 且 T AAE 1A 證明AE 不可逆 五 設 A B C均為n階矩陣 AA M CBC 證明 1 M可逆的充要條件是AB可逆 2 當M可逆時求其逆 六 設某港口在某月份出口到 3 個地區(qū)的兩種貨物 12 A A的數(shù)量以及它們一單位的價格 重量和體積如下表 貨物地區(qū) 北美 歐洲 非洲單位價格 萬元 單位重量 t 單位體積 3 m 1 A 2 A 2000 1000 800 1200 1300 500 0 2 0 35 0 011 0 05 0 12 0 5 試利用矩陣乘法計算 1 經該港出口到 3 個地區(qū)的貨物價值 重量 體積分別各是多少 2 經該港出口的貨物總價值 總重量 總體積分別是多少 EXERCISES 2 1 Let 21 212 34 325 12 AB 213112 124 213 310321 CD If possible compute a 32 TCDB b T B CA c T BA C 2 Find the inverses of the given matrices if possible a 13 24 b 121 132 101 c 1111 1312 1211 5916 In Exercises 3 and 4 find the inverse of the given partitioned matrix A and 1 A express as a partitioned matrix 3 520 330 004 1100 2300 0067 0011 Show that there are no 2 2 matrices A and B such that 10 01 ABBA If A is an n n matrix them A is called idempotent if 設 2 AA a Verify that n I and O is idempotent b Show that the only n n nonsingular idempotent matrix is n I c Show that if A is idempotent then T A is idempotent d Find an idempotent matrix that is not n I or O e Let A and B be idempotent matrices Is AB idempotent Justify your answers 第二章第二章 自測題自測題 一 填空題 1 設 121014 314 213 012121 AB 則 TAB 2AB 2 若矩陣B滿足 2 39ABABE 101 020 004 A 則B 3 設A是 3 階方陣 且 1 2 A A為A的伴隨矩陣 則 1 3 2AA 4 設可逆矩陣A滿足 2 2 AAO 則 1 A 5 設 1 2 3 3 2 1 AB 則 Tk A B 二 選擇題 1 設 P Q均為n階可逆矩陣 A是n階矩陣 且PAQE 則 1 A A PQ B 11 P Q C QP D 11 Q P 2 已知 A B都是n階方陣 k為非零常數(shù) 下面有四個命題 11 kAkA 此處A可逆 T TT ABB A ABA B 111 ABB A 此處 A B均可逆 以上命題中 不正確的是 A B C D 3 設 034 100 021 A k為非零常數(shù) 則kA A 3 11k B 11k C 3 11k D 11k 4 設A是 1 n n 階可逆矩陣 有下列四個命題 2 n AAA 1 n kAkA AA TT AA 以上命題中 正確的是 A B C D 5 設A都是n階方陣 且AE 可逆 下列各式中 不對的是 A 22 AEAEAEAE B TT AEAEAEAE C 11 AEAEAEAE D AEAEAEAE 三 計算題 1 設 2 321 f xxx 求 f A 其中 123 220 131 A 2 設 121 230 343 A 求 1 A 3 設 1 2 3 4 5 6 00000 00000 00000 00000 00000 00000 a a a A a a a 其中0 1 2 6 i ai 求 1 A 4 設 1100 0110 0011 0001 B 2134 0213 0021 0002 C 滿足關系式 1 T T A EC BCE 求A 5 設A是 3 階方陣 且2A A為A的伴隨矩陣 求 1 2 2 AAA 四 設 A B都是n階方陣 1 若0 BAE 可逆 且 1 TAEBE 證明A可逆 并求 1 A 2 若ABAB 1 證明 AE BE 均可逆 且ABBA 2 若 130 210 002 B 求A 第二章第二章 考研訓練題考研訓練題 一 填空題 1 設 123 是 3 維列向量 記 123 A 123123 24 B 123 39 若1A 則B 2 若矩陣B滿足 2ABABAE 210 120 001 A 則B 3 設 是 3 維列向量 若 111 111 111 T 則 T 4 設 3 階方陣 A B滿足 2 A BABE 101 020 201 A 則B 5 設 1 0 1 矩陣 T A n為正整數(shù) 則 n aEA 6 若矩陣A滿足 2 4AAEO 則 1 AE 7 設 1000 2300 0450 0067 A 1 BEAEA 則 1 BE 二 選擇題 1 設 A B C均為n階矩陣 若 BEAB CACA 則BC A E B E C A D A 2 已知 3 3 ij Aa 滿足 T AA 若 111213 aaa為三個相等的正數(shù) 則 11 a為 A 3 3 B 3 C 1 3 D 3 3 設A為任一 2 n n 階方陣 k為非零常數(shù) 且0 1k 則必有 kA A kA B 1 n kA C n k A D 1 k A 4 設 11 A B AB AB 均為n階可逆矩陣 則 1 AB 為 A 11 AB B AB C 111 AB D 11111 BABA 5 設n維向量 11 0 0 22 矩陣 2 TT AIBI 其中I為n階 單位矩陣 則AB A O B I C I D T I 6 設 A B為方陣 分塊對角陣 AO C OB 則 C A AO OB B A AO OB B C B AO OA B D A B AO OA B B 三 設矩陣 111 111 111 A 矩陣X滿足 1 2A XAX 其中 A是A的伴隨矩陣 求矩陣X 四 已知實矩陣 3 3 ij Aa 滿足條件 1 1 2 3 ijij aA i j 其中 ij A是 ij a的代數(shù)余子式 2 11 0a 計算det A 五 已知 A B為3階矩陣 且滿足 1 24A BBE 其中E為4階單位矩陣 1 證明 矩陣2AE 可逆 2 若 120 120 002 B 求A 六 求 1 11 2 1 lim 01 3 1 00 5 n n 七 設 A B為n階方陣且 TTTT A AAAE B BBBE E為n階單位矩陣 AB 試證明0AB 八 設 為n維列向量 且常數(shù) 12 0CC 又設 1 1 0 T C 證明 1 T AEC 是非奇異矩陣 且 11 11212 2 TTT AECECCCC 其中 11 12 T CC E為n階單位矩陣 九 設A為n階非奇異矩陣 為n維列向量 b為常數(shù) 記分塊矩陣 0 TT EA PQ AAb 1 計算并化簡PQ 2 證明 矩陣Q可逆的充要條件是 1T Ab 第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組 習題八習題八 初等變換與初等矩陣初等變換與初等矩陣 一 判斷題 1 可逆矩陣總可以只經若干次初等行變換化為單位矩陣 AE 2 若可逆 則對矩陣施行若干次初等行變換和初等列變換 當變?yōu)闀r A EA AE 相應地變?yōu)?故求得的逆矩陣 E 1 AA 3 對于矩陣 總可以只經過初等行變換把它化為標準形 A 4 若 都是階可逆矩陣 則總可以經過初等行變換化為 ABnAB 二 單項選擇題 1 設 A 333231 232221 131211 aaa aaa aaa B 32 333231 121312 21 222322 11 2 2 2 a aaa a aaa a aaa 1 P 100 001 010 2 P 則 100 210 001 B A B C D APP 21 1 2 1 1 APP 21P AP 1 1 1 2 APP 2 99 100 001 010 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 100 001 010 100 A B C D 333231 131211 232221 aaa aaa aaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 33 3123 23 2122 13 1112 aaa aaa aaa 131211 23 2221 333231 aaa aaa aaa 3 設是階方陣 是只對換中第 1 列和第 2 列所得的矩陣 若 則有 AnBABA A 可能為 0 B C D AA0 0 BA0 BA 4 下列矩陣中不是初等矩陣的矩陣是 A B C D 100 010 01 110 100 001 010 100 001 100 010 001 三 求下列矩陣的乘積 1 1000 0120 0010 0001 4131 212212 2832 101 010 001 2 10100 110 010 001 222 111 111 100 020 001 四 設矩陣 是否存在可A 333231 232221 131211 aaa aaa aaa B 133312321131 131211 232221 aaaaaa aaa aaa 逆矩陣 使得 若存在 求 若不存在 請說明理由 33 XBXA X 五 設是階可逆方陣 將的第 行和第行互換得到的矩陣記為 AnAijB 1 證明可逆 并指出與之間的關系 2 求 B 1 A 1 B 1 AB 六 把下列矩陣化為行最簡形矩陣 1 2 3403 1302 1201 1740 3430 1320 3 4 12433 02322 14533 34311 34732 03823 42021 73132 七 利用初等行變換法求解下列各題 1 已知 求 121 011 322 A 1 A 2 設 求X使 BAX 13 22 31 113 122 214 BA 3 求解矩陣方程 其中 XAAX 010 312 022 A 習題九習題九 矩陣的秩矩陣的秩 一 判斷題 1 設矩陣的秩為 則中所有階子式必不是零 ArA1 r 2 若 均為階非零方陣且 則的秩 ABnOAB AnAR 3 從矩陣 中劃去一列得到矩陣 則 nm A 1 nB BRAR 4 設均為矩陣 若 則與必有相同的標準形 BA nm BRAR AB 5 在秩為的矩陣中 有可能存在值為零的階子式 rAr 二 填空題 1 已知對三階矩陣施行初等行變換得到的行階梯形矩陣為 則 AA 000 750 312 AR 2 設為矩陣 且 則 A43 2 AR 104 253 102 B BAR 3 設矩陣 且 則 1 1 1 aa aa aa A2 AR a 4 設 其中 則矩陣 nnnn n n bababa bababa bababa A 21 22212 12111 0 0 ii bani 2 1 的秩 A AR 三 單項選擇題 1 已知 為三階非零矩陣 且滿足 則 963 42 321 tQPOPQ A 時 B 時 6 t1 PR6 t2 PR C 時 D 時 6 t1 PR6 t2 PR 2 設為矩陣 是階可逆矩陣 矩陣的秩為 矩陣的秩為 Anm CnArACB 1 r 則 A B C D 與的大小關系由確定 1 rr 1 rr 1 rr r 1 rC 四 求下列矩陣的秩 并求一個最高階非零子式 1 4431 1211 2013 2 81507 31312 13123 3 02301 08523 57032 73812 五 已知矩陣 且 求的值 4532 5101 4022 32211 a a a 3 ARa 六 設 問為何值時 可使 32 321 321 k k k Ak 1 2 3 1 AR2 AR3 AR 七 設為矩陣 為矩陣 且 求證的列向量組線性無關 Anm Bmn mm IAB B 習題十習題十 線性方程組的解線性方程組的解 一 判斷題 1 求線性方程組的通解時 自由未知量的選取是唯一的 2 解線性方程組時 對增廣矩陣既可以施行三種初等行變換 同時也可以bAx bA 實行三種初等列變換 3 設為矩陣 若 且 則 Anm AYAX nAR YX 二 選擇題 1 設為矩陣 為矩陣 則線性方程組 Anm Bmn 0 xAB A 當時僅有零解 B 當時必有非零解 mn mn C 當時僅有零解 D 當時必有非零解nm nm 2 設為矩陣且它的秩為 則下列結論中正確的是 Anm nmAR A 的任意個列向量必線性無關 B 的任意一個階子式都不等于零AmAm C 若矩陣滿足 則 D 齊次線性方程組只有零解BOBA OB 0 Ax 3 設為矩陣 它的秩為 則非齊次線性方程組 Anm rAR bAx A 時必有解 B 時有唯一解 mr nr C 時有唯一解 D 時有無窮多解nm nr 4 設為矩陣 是非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組 則Anm 0 AxbAx 下列結論正確的是 A 若只有零解 則有唯一解0 AxbAx B 若有非零解 則有無窮多解0 AxbAx C 若有無窮多解 則只有零解bAx 0 Ax D 若有無窮多解 則有非零解bAx 0 Ax 5 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 0 Ax A 的列向量組線性相關 B 的行向量組線性相關AA C 的行向量中有一個為零向量 D 為方陣且其行列式為零AA 6 已知是某個齊次線性方程組的一個基礎解系 則 321 0 Ax A 線性無關 133221 B 線性相關 321 C 線性相關 133221 D 不是方程組的一個基礎解系 133221 0 Ax 7 設是非齊次線性方程組的一個解 是其導出組的基礎解系 bAx r 1 0 Ax 則下列結論中正確的是 A 線性相關 r 1 B 線性無關 r 1 C 的任意線性組合都是的解 r 1 bAx D 的任意線性組合都是的解 r 1 0 Ax 8 設 4 元線性方程組 的秩為 2 是該方程組的三個線性無關的解 bAx A 321 則 是線性方程組的通解 是任意常數(shù) bAx 21 k k A 13212121 kk B 1211 k C 13121 D 3 1 132121321 kk 9 若線性方程組的增廣矩陣經初等行變換化為如下矩陣bAx bA 1 3 000 0 202 則此線性方程組 A 可能有無窮多解 B 一定有無窮多解 C 可能無解 D 一定無解 三 填空題 1 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 且 02 02 0 21 21 21 bxx xax xx ab 2 非齊次線性方程組有解的充分必要條件是 bxxx axxx n n 222 21 21 3 當 時非齊次線性方程組無解 a axxxx xxxx xxxx 4321 4321 4321 423 332 12 四 求解齊次線性方程組 05105 0363 02 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 五 求解非齊次線性方程組 12 2224 12 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 六 寫出一個以為通解的齊次線性方程組 1 0 4 2 0 1 3 2 21 kkx 七 設 為為何值時 此方程組有唯一解 無解或有 1 5 42 24 5 2 122 2 321 321 321 xxx xxx xxx 無窮多解 并在有無窮多解時求出其通解 八 設為矩陣 為矩陣 若 求證 Anm Bsn OAB nBRAR 第三章第三章 復習題復習題 一 填空題 1 已知矩陣的秩為 2 則 k kA 121 152 10611 k 2 當 時 矩陣的秩最小 3422 31771 1104 4113 3 已知為矩陣 是秩為 2 的三階方陣 且 則的秩必滿A34 B1 ABRA AR 足 4 設 當與滿足 條件時 齊次線性方程組有非零 11 1100 0110 0011 ba Aab0 Ax 解 5 已知線性方程組無解 則 2 2 3 azyx zayx azyax a 6 設為矩陣 線性方程組對任何均有解的充要條件是 Anm bAx b 7 設為四元非齊次線性方程組的三個解向量 方程組系數(shù)矩陣的秩為 3 且 321 則該方程組的通解為 TT 4 3 2 1 6 5 4 3 321 二 選擇題 1 下列說法不正確的是 A 對矩陣施行初等變換不會改變的秩 AA B 若均可逆 則BA CRACBR C 若三階矩陣的秩為 2 則的伴隨矩陣的秩也為 2AA D 若 其中 21m aaa 21n bbb 2 1 miba ji 均非零 則 2 1nj 1 T R 2 設均為階非零矩陣 且 則和的秩 BA nOAB AB A 必有一個等于零 B 都小于n C 一個小于 另一個等于nn D 都等于n 3 設矩陣且 則 abb bab bba A1 AR A B 1 AR3 AR C 或 D 其中ba 02 ba02 ba0 a 4 已知線性方程組有無窮多解 則 123 2 3 122 0 4321 432 432 4321 axxxx bxxax xxx xxxx A B 1 a1 b C 且 D 且1 a1 b1 a1 b 5 已知的系數(shù)矩陣為 若存在三階非零矩陣 使得 0 0 0 321 321 3 2 21 xxx xxx xxx ABOAB 則 A 且 B 且 2 0 B2 0 B C 且 D 且1 0 B1 0 B 6 設為矩陣 則線性方程組為有解的充分條件是 Anm bAx A 是行滿秩的 B 是列滿秩的AA C 的秩小于的行數(shù) D 的秩小于的列數(shù)AAAA 三 求方程組的通解 并求滿足方程組及條件 1749 5243 11325 421 4321 4321 xxx xxxx xxxx 的全部解 1635 4321 xxxx 四 當為何值時 方程組無解 有唯一解 有無窮多解 并在有ba 132 32 1 321 321 321 bxxx bxxx xxax 解時求出其解 五 當為何值時 方程組無解 有唯一解 有無窮多解 ba 12 3 2 123 2 3 122 0 431 4321 432 432 4321 bxxax axxxx bxxax xxx xxxx 并在有解時求出其解 六 設為階非零實方陣 又的每個元素 其中是的代數(shù)余子式 AnA ijij Aa ij A ij a 證明 且當時 或 1 nji 2 1 nAR 3 n1 A 七 設為階矩陣 且 證明 BA nOAB EBA nBRAR 八 含個未知量 個方程的線性方程組n1 n 1 12