高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)、重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)突破精講精練專題10抽象函數(shù)問(wèn)題（教案）(1).doc

金太陽(yáng)新課標(biāo)資源網(wǎng) 2011年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)、重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)突破精講精練專題10抽象函數(shù)問(wèn)題【名師導(dǎo)航】抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問(wèn)題是函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一，其性質(zhì)常常是隱而不漏，但一般情況下大多是以學(xué)過(guò)的常見函數(shù)為背景，對(duì)函數(shù)性質(zhì)通過(guò)代數(shù)表述給出抽象函數(shù)的相關(guān)題目往往是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)，高考對(duì)抽象函數(shù)的要求是考查函數(shù)的概念和知識(shí)的內(nèi)涵及外延的掌握情況、邏輯推理能力、抽象思維能力和數(shù)學(xué)后繼學(xué)習(xí)的潛能抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等眾多性質(zhì)聯(lián)系緊密，加上本身的抽象性、多變性，所以問(wèn)題類型眾多，解題方法復(fù)雜多變.解決這類問(wèn)題常涉及到函數(shù)的概念和函數(shù)的各種性質(zhì)，因而它具有抽象性、綜合性和技巧性等特點(diǎn)。抽象函數(shù)問(wèn)題既是教學(xué)中的難點(diǎn)，又是近幾年來(lái)高考的熱點(diǎn)?！究季V知識(shí)梳理】（1）幾類常見的抽象函數(shù)抽象函數(shù)滿足條件代表函數(shù)1（）2（）3（）45678或（2）抽象函數(shù)的對(duì)稱性 若函數(shù)定義域?yàn)?，且滿足條件：，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱推論1 若函數(shù)定義域?yàn)?，且滿足條件：，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱推論2 若函數(shù) 定義域?yàn)?，且滿足條件：又若方程有個(gè)根，則此個(gè)根的和為 若函數(shù)定義域?yàn)?，且滿足條件：（為常數(shù)），則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論1. 若函數(shù)定義域?yàn)?，且滿足條件：（為常數(shù)），則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 若函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)與兩函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 若函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)與兩函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性質(zhì)1 對(duì)函數(shù)，若成立，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性質(zhì)2 函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱性質(zhì)3 函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱性質(zhì)4 函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱（3）抽象函數(shù)周期性 若函數(shù)定義域?yàn)?，且滿足條件，則是以為周期的周期函數(shù)； 若函數(shù)定義域?yàn)?，且滿足條件，則是以為周期的周期函數(shù)；數(shù)學(xué)試卷 第2頁(yè)共6頁(yè)若函數(shù)的圖像關(guān)于直線與對(duì)稱，則是以為周期的周期函數(shù)；若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱，則是以為周期的周期函數(shù)；若函數(shù)的圖像關(guān)于直線與點(diǎn)對(duì)稱，則是以為周期的周期函數(shù)；性質(zhì)1 若函數(shù)滿足及，則函數(shù)有周期性質(zhì)2 若函數(shù)滿足及，則函數(shù)有周期性質(zhì)3 若函數(shù)滿足且是偶函數(shù)，則函數(shù)有周期性質(zhì)4 若函數(shù)滿足及，則函數(shù)有周期性質(zhì)5 若函數(shù)滿足且是奇函數(shù)，則函數(shù)有周期【熱點(diǎn)難點(diǎn)精析】由于函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生對(duì)解有關(guān)函數(shù)記號(hào)的問(wèn)題感到困難，學(xué)好這部分知識(shí)，能加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)。現(xiàn)將常見解法及意義總結(jié)如下：一、 函數(shù)的基本概念問(wèn)題1抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題例1 已知函數(shù)的定義域是1，2，求的定義域解：由的定義域是1，2，是指1x2，所以1x4，即函數(shù)的定義域是1，4評(píng)析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求的定義域問(wèn)題，相當(dāng)于已知中x的取值范圍為A，據(jù)此求的值域問(wèn)題例2 已知函數(shù)的定義域是1，2，求函數(shù)的定義域解：由的定義域是1，2，意思是凡被作用的對(duì)象都在1，2中，由此易得 1log(3x)2 ()3x()1x函數(shù)的定義域是1，評(píng)析：這類問(wèn)題的一般形式是：已知函數(shù)的定義域是A，求函數(shù)的定義域正確理解函數(shù)符號(hào)及其定義域的含義是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵一般地，若函數(shù)的定義域是A，則x必須是A中的元素，而不能是A以外的元素，否則，無(wú)意義因此，如果有意義，則必有xA所以，這類問(wèn)題實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于已知的值域是A，據(jù)此求x的取值范圍，即由A建立不等式，解出x的范圍例2和例1形式上正相反2抽象函數(shù)的求值問(wèn)題例3 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，同時(shí)滿足下列條件：= 1，=；=，求、的值解：取x = 2，y = 3，得=，= 1，=，=又取x = y = 3，得=評(píng)析：通過(guò)觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地取x = 2，y = 3，這樣便把已知條件= 1，=與欲求的溝通了起來(lái)這是解此類問(wèn)題的常用技巧3抽象函數(shù)的值域問(wèn)題例4 設(shè)函數(shù)(x) 定義于實(shí)數(shù)集上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，(x + y) =(x)(y)總成立，且存在xx，使得(x)( x)，求函數(shù)(x)的值域解：令x = y = 0，得(0) =(0)，即有(0) = 0或(0) = 1若(0) = 0，則(x) =(x + 0) =(x)(0) = 0，對(duì)任意xR均成立，這與存在實(shí)數(shù)xx，使得(x)( x)成立矛盾故(0)0，即(0) = 1由于(x + y) =(x)(y) 對(duì)任意x、yR均成立，因此，對(duì)任意xR，有(x) =(+) =()() = ()0下面只需證明，對(duì)任意xR，(0)0即可設(shè)存在xR，使得( x) = 0，則(0) =( xx) =( x)(x) = 0，這與(0)0矛盾，因此，對(duì)任意xR，(x)0所以(x)0 評(píng)析：在處理抽象函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，往往需要對(duì)某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段4抽象函數(shù)的解析式問(wèn)題例5 設(shè)對(duì)滿足 x0，x1的所有實(shí)數(shù) x ，函數(shù)(x) 滿足(x) +() = 1 + x，求(x) 的解析式解：在(x) +() = 1 + x ， (1) 中以代換其中 x，得：() +() = ， 再在(1)中以代換x，得 ：() +(x) =， (1)(2) + 化簡(jiǎn)得：(x) =評(píng)析：如果把x和分別看作兩個(gè)變量，怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略二、尋覓特殊函數(shù)模型問(wèn)題1指數(shù)函數(shù)模型 例6 設(shè) 定義于實(shí)數(shù)集R上，當(dāng)x0時(shí)，1 ，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y ，有(x + y) =，同時(shí)(1) = 2，解不等式(3xx)4聯(lián)想：因?yàn)閍= aa(a0，a1)，因而猜測(cè)它的模型函數(shù)為= a(a0，a1)(由(1) = 2，還可以猜想= 2)思路分析：由= 4，需解不等式化為(3xx)這樣，證明函數(shù)的(由= 2，只證明單調(diào)遞增)成了解題的突破口解：由 (x + y) =(x) (y) 中取x = y = 0 ，得(0) =(0)，若(0) = 0，令x0 ，y = 0 ，則 (x) = 0，與(x)1 矛盾 (0) 0，即有(0) = 1 當(dāng)x0 時(shí) ，(x)10 ，當(dāng)x0 時(shí) ，x0，(x)10 ，而(x) (x) =(0) = 1， (x) =0 又當(dāng)x = 0 時(shí)，(0) = 10 ，xR ，(x)0 設(shè) xx+ ，則xx0 ，( xx)1 ( x) = x+ ( xx) =(x)( xx)( x) y =(x) 在R 上為增函數(shù)又(1) = 2，(3xx)(1) (1) =(1 + 1) =(2)，由(x)的單調(diào)遞增性質(zhì)可得：3xx2，解得1x22對(duì)數(shù)函數(shù)模型例7 已知函數(shù)滿足：() = 1；函數(shù)的值域是1，1；在其定義域上單調(diào)遞減；=(xy) 對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x、y 都成立解不等式聯(lián)想：因?yàn)閘og(xy) = logxlogy，而log= 1，y = logx在其定義域1，1內(nèi)為減函數(shù)，所以猜測(cè)它的模型函數(shù)為= logx且的模型函數(shù)為= ()思路分析：由條件、知，的反函數(shù)存在且在定義域1，1上遞減，由知=剩下的只需由的模型函數(shù)性質(zhì)和運(yùn)算法則去證明=，問(wèn)題就能解決了解：由已知條件、知，(x)的反函數(shù)存在，且(1) =，又在定義域1，1上單調(diào)遞減設(shè)y=(x)，y=(x)，則有x=(y)，x=( y) ，x+ x=(y) +( y) =(yy)，即有yy=(x+ x)=，于是，原不等式等價(jià)于： x = 0故原不等式的解集為0解這類問(wèn)題可以通過(guò)化抽象為具體的方法，即通過(guò)聯(lián)想、分析，然后進(jìn)行類比猜測(cè)，經(jīng)過(guò)帶有非邏輯思維成份的推理，即可尋覓出它的函數(shù)模型，由這些函數(shù)模型的性質(zhì)、法則來(lái)探索此類問(wèn)題的解題思路3冪函數(shù)模型例8 已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有=，且=1，=9，當(dāng)0x1時(shí)，01時(shí)判斷的奇偶性；判斷在0，上的單調(diào)性，并給出證明；若a0且，求a的取值范圍聯(lián)想：因?yàn)? (xy)，因而猜測(cè)它的模型函數(shù)為=(由=9，還可以猜想= x)思路分析：由題設(shè)可知是冪函數(shù)y = x的抽象函數(shù)，從而可猜想是偶函數(shù)，且在0，上是增函數(shù)解：令y =1，則=，=1，=，即為偶函數(shù)若x0，則=0設(shè)0xx，則01，=，當(dāng)x0時(shí)0，且當(dāng)0x1時(shí)，0101，故函數(shù)在0，上是增函數(shù)=9，又= ，9 = ，=，a0，(a1)，30，函數(shù)在0，上是增函數(shù) a13，即a2， 又a0，故0a2三、研究函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題1抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題例9 設(shè)(x) 定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)x0時(shí)，(x)1 ，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，有(x + y) =(x) (y)，求證：(x) 在R 上為增函數(shù)證明：由 (x + y) =(x)(y) 中取x = y = 0，得(0) =，若(0) = 0，令x0，y = 0，則 (x) = 0，與(x)1 矛盾 (0)0，即有(0) = 1當(dāng)x0時(shí)，(x)10，當(dāng)x0時(shí)，x0，(x)10，而(x) (x) =(0) = 1， (x) =0 又當(dāng)x = 0 時(shí)，(0) = 10 ，xR，(x)0設(shè) xx+，則xx0，( xx)1 ( x) = x+ ( xx) =(x)( xx)( x) y =(x) 在R 上為增函數(shù)評(píng)析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則，而變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)2抽象函數(shù)的奇偶性問(wèn)題例10 已知函數(shù)(x) (xR，x0）對(duì)任意不等于零實(shí)數(shù)x、x 都有(xx) =(x) +(x)，試判斷函數(shù)(x) 的奇偶性解：取x=1，x= 1得：(1) =(1) +(1)，(1) = 0又取x= x=1得：(1) =(1) +(1)，(1) = 0再取x= x，x=1則有(x) =(1) +(x)，即(x) =(x)，(x)為非零函數(shù)，(x)為偶函數(shù)3抽象函數(shù)的周期性問(wèn)題例11 函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù) a、b，有(ab)(ab) =2(a) (b)，且存在C0 ，使得= 0 ，求證(x) 是周期函數(shù)聯(lián)想：因?yàn)閏os(ab)cos(ab) = 2cosacosb，且cos= 0，因而得出它的模型函數(shù)為y = cosx，由y = cosx的周期為，可猜想2C為的一個(gè)周期 思路分析：要在證明2C為的一個(gè)周期，則只需證=，而由已知條件= 0和(ab)(ab) =2(a) (b)知，必須選擇好a、b的值，是得條件等式出現(xiàn)和證明：令a = x，b =，代入(ab)(ab) = 2(a) (b) 可得 (xC ) =(x)(x2C ) =(xC)C =(xC ) =(x) ，即是以 2C 為周期的函數(shù)評(píng)析：如果沒有余弦函數(shù)作為模型，就很難想到2C 就是所求函數(shù)的周期，解題思路是難找的由此可見，尋求或構(gòu)造恰當(dāng)?shù)哪Ｐ秃瘮?shù)，可以為思考與解題定向，是處理開放型問(wèn)題的一種重要策略4抽象函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題例12 已知函數(shù)y =滿足+= 2002，求+的值解：由已知，在等式+= 2b中a = 0，b = 2002，所以，函數(shù)y =關(guān)于點(diǎn)(0，2002)對(duì)稱，根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)y =關(guān)于點(diǎn)(2002，0)對(duì)稱+= 0，將上式中的x用x1001換，得+= 0評(píng)析：這是同一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱問(wèn)題，在解題中使用了下述命題：即：設(shè)a、b均為常數(shù)，函數(shù)y =對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足+= 2b，則函數(shù)y =的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b) 成中心對(duì)稱圖形四、抽象函數(shù)中的網(wǎng)絡(luò)綜合問(wèn)題例13 定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n，總有=，且當(dāng)x0時(shí)，01判斷的單調(diào)性；設(shè)A = (x，y)|，B = (x，y)|= 1，aR，若AB =，試確定a 的取值范圍解：在=中，令m = 1，n = 0，得=，因?yàn)?，所以= 1在=中，令m = x，n =x，當(dāng)x0時(shí)，01，當(dāng)x0時(shí)，x0，01，而(x) (x) = 1， (x) =10 又當(dāng)x = 0 時(shí)，(0) = 10，所以，綜上可知，對(duì)于任意xR，均有(x)0設(shè) xx+ ，則xx0，0( xx)