靜電場練習題.ppt

1 一個半徑為R的球體內(nèi) 分布著電荷體密度 kr 式中r是徑向距離 k是常量 求空間的場強分布 并畫出E r圖 補充題 球內(nèi)時 據(jù)高斯通量定理 得 解 R dr 球外時 O E r R 2 例 圖為一球?qū)ΨQ電荷分布的靜電場的曲線 請指出它是下面哪一種帶電體產(chǎn)生的 1 半徑為R的均勻帶電球面 2 半徑為R的均勻帶電球體 4 半徑為R 電荷體密度 A為常數(shù) 的非均勻帶電球體 3 半徑為R 電荷體密度 A為常數(shù) 的非均勻帶電球體 解 1 2 3 4 常數(shù) 3 半徑為R的無限長圓柱體 柱內(nèi)電荷體密度 ar br r為某點到圓柱軸線的距離 a b為常量 試求帶電圓柱體內(nèi)外電場分布 解 選取長為l 半徑為r 與帶電圓柱同軸的柱形高斯面S 2 補充題 R l r 因此可用高斯定理求解 由高斯定理可知 當r R時 高斯面S內(nèi)所包圍電荷的代數(shù)和為 代入 1 可得 當r R時 高斯面S內(nèi)所包圍電荷的代數(shù)和為 代入 1 可得 因為電荷相對軸線呈對稱分布 所以距軸線為r的場點的場強數(shù)值相等 場強方向沿圓柱徑向 S 4 實驗發(fā)現(xiàn) 在地球大氣層的一個廣大區(qū)域中存在著電場 其方向是豎直向下的 在2 0 102米高度 場強為1 0 102伏特 米 而在3 0 102米高度 場強為0 60 102伏特 米 求從離地200米至300米之間大氣中電荷的平均體密度 解 選取厚為h 半徑為r的園柱形高斯面S 由高斯定理 得 h r E 補充題 5 補充題如圖所示 一半徑為R的半球面 其上均勻地帶有正電荷 電荷面密度為 試求球心處的電場強度E 解 取坐標軸OX 將帶電半球面分成許多寬度極窄的半徑不同的帶電圓環(huán) 其上任意一個圓環(huán)上的帶電量為 為便于計算 可采用角量描述 因為 據(jù)帶電圓環(huán)在軸線上一點的場強公式 可得該帶電圓環(huán)在P點產(chǎn)生場強dE的大小為 注意 斜邊 由于dq為正 故dE方向沿X軸正方向 將dq帶入上式 可得 則整個半球面在球心P點處產(chǎn)生的場強的大小為 方向沿X軸正方向 6 補充題如圖所示 一無限大均勻帶電平面 電荷面密度為 其上挖去一半徑為R的圓孔 通過圓孔中心O 并垂直于平面的X軸上有一點P OP x 試求P點處的場強 解 本題可用取圓環(huán)帶的方法求解 也可用補償法求解 解法一取一細圓環(huán)帶 其半徑為r r R 帶寬為dr 則圓環(huán)帶的面積為dS 2 rdr 其上帶電量為dq dS 2 rdr 應用已知帶電細圓環(huán)在軸線上的場強公式 可得該圓環(huán)帶在軸線上 7 P點產(chǎn)生電場的大小 因此 該系統(tǒng)在P點產(chǎn)生總場強的大小為 方向沿X軸正方向 8 解法二半徑為R的圓孔可以看成是其上均勻地分布著電荷面密度為 和 的兩種電荷 若在圓孔上補一個半徑為R 電荷面密度為 的圓盤 則P點處的場強可以看成是電荷面密度為 的無限大均勻帶電平面在P點產(chǎn)生的場強E1和電荷面密度為 半徑為R的帶電圓盤在P點產(chǎn)生的場強E2的矢量和 由于E1和E2方向均沿X軸方向 P點的總場強E的大小為 方向沿X軸正方向 9 補充題 解 據(jù)高斯通量定理 得 當r R時 當r R時 q R O E R r p p 10 電荷q均勻分布在半徑為R的球體內(nèi) 求距離球心r處 r小于R 的電勢 據(jù)高斯通量定理 得 p 解 p 補充題 11 兩個均勻帶電的同心球面 內(nèi)半徑為 外半徑為 電量分別為 求內(nèi)球和外球的電勢 要求 用多種方法求解 q1 q2 R1 R2 方法 一 由高斯定理可得帶電系統(tǒng)在空間的電場分布為 解 用電勢定義求解 補充題 由電勢的定義可得 內(nèi)球電勢為 外球電勢為 12 q1 q2 R1 R2 解 方法 二 應用電勢疊加原理求解 半徑為R的均勻帶電球面的電勢分布為 球內(nèi) 球外 根據(jù)疊加原理 有 13 高斯面 兩同心均勻帶電球面 帶電量分別為q1 q2 半徑分別為R1 R2 求各區(qū)域內(nèi)的場強和電勢 三個區(qū)域中的任意點分別作同心球面高斯球面 設面內(nèi)電荷為 q 則 解 補充題 14 高斯面 電勢分布可由疊加原理和場強積分 兩種方法求出 下面用疊加原理方法求解 15 據(jù)高斯通量定理 得 又 補充題球形電容器是由內(nèi)半徑為RA和外半徑RB的兩個同心的金屬球殼所組成 求其電容為多少 設內(nèi)球帶電 q 外球帶電 q 解 RA RB O q q 16 例計算電量為Q的帶電球面球心的電勢 解 在球面上任取一電荷元 則電荷元在球心的電勢為 由電勢疊加原理球面上電荷在球心的總電勢 思考 電量分布均勻 圓環(huán) 圓弧 17 18 兩條平行的無限長直均勻帶電線 相距為a 電荷線密度分別為 求 1 這兩根線構(gòu)成的平面上任一點P的場強 2 任一帶電線每單位長度上所受的吸引力 作業(yè)題1 12 19 20 根據(jù)量子理論 正常狀態(tài)的氫原子可以看成一電量為 e的點電荷和球?qū)ΨQ地分布在其周圍的電子云 電子云的電荷密度 式中 試求 1 氫原子內(nèi)的電場分布 2 計算處的電場強度 并與經(jīng)典原子模型計算所得的結(jié)果相比較 稱為玻爾半徑 作業(yè)題1 14 7 1 在半徑為r的球面內(nèi)的電子電量與之比為 由對稱性和高斯定理得 解 21 2 當取時 按經(jīng)典原子模型 電子以半徑作繞核運動 原子核帶電e它在電子所在處產(chǎn)生的場強為 22 解 選取厚為h 半徑為r的園柱形高斯面S 由高斯定理 得 h r E 實驗表明 靠近地面處存在著電場 場強E垂直于地面向下 大小約為100V m 在離地面1 5km高的地方 場強E也是垂直于地面向下的 大小約為25V m 1 計算從地面到此高度的大氣中電荷的平均體密度 2 若這些電荷全部分布在地球表面 求面電荷密度 作業(yè)題1 15 2 當電荷全部分布在地球表面時 地表面可以看成無限大帶電導體平面 由導體表面附近一點場強公式得 其中為地表面外法線方向單位矢量 作業(yè)題1 26 求均勻帶電圓面 盤 軸線上任一點的電場 解 由均勻帶電圓環(huán) 模型 軸線上一點的電場 知 強調(diào) 斜邊 半徑為R的圓面 盤 均勻帶電 電荷的面密度為 求 軸線上距離圓心坐標為的P處的場強 討論 即無限大均勻帶電平面的場強為 可視為點電荷的電場 即帶電平面在無限遠處的場強為 25 半徑分別為和的兩個同心球面都均勻帶電 帶電量分別為和 兩球面把空間分劃為三個區(qū)域 求各區(qū)域的電勢分布 并畫出曲線 作業(yè)題1 36 根據(jù)高斯定理 得三個區(qū)域 場強變化規(guī)律是 解 26 點電荷q處在導體球殼的中心 球殼的內(nèi)半徑為R1 外半徑為R2 求場強和電勢的分布 并畫出E r和U r曲線 作業(yè)題1 50 解 點電荷位于球殼的中心 由靜電感應知 球殼內(nèi)表面將均勻帶有總電量 q 球殼外表面均勻帶有總電量 q 可用兩種方法求球殼的電勢 1 積分法 2 疊加法 q R1 R2 q q III I II 根據(jù)高斯定理得 O O r r E U R1 R1 R2 R2 27 半徑為R1的導體球帶有電荷q 球外有一個內(nèi)外半徑分別為R2 R3的同心導體球殼 殼上帶有電荷Q 求 1 兩球的電勢和 2 兩球的電勢差 3 若用導線把內(nèi)球和球殼連接起來后 和分別為多少 4 在情形 1 和 2 中 若外球殼接地 和分別為多少 5 設外球離地面很遠 且內(nèi)球接地 和各為多少 1 由靜電感應知 球殼內(nèi)表面帶電為 q 外表面帶電為Q q 如圖 根據(jù)電勢疊加原理得 解 2 由 式 式得 作業(yè)題1 52 28 3 用導線把內(nèi)球和球殼接起來后 電荷只分布在球殼外表面上 且二者等勢 如圖 則有 4 當外球殼接地時如圖所示 外球殼電勢為零由電勢定義有 29 5 當內(nèi)球接地時 內(nèi)球電勢為零 因無限遠外的電勢也為零 這就要求導體球所帶電量重新分布 由電勢疊加原理知 由上式得 設內(nèi)球表面帶電為 則球殼內(nèi)表面帶電 球殼外表面帶電 30 一球形電容器內(nèi)外薄殼的半徑分別為R1和R4 今在兩殼之間放一個內(nèi)外半徑分別為R2和R3的同心導體殼 求半徑為R1和R4兩球面間的電容 作業(yè)題1 62 因靜電感應 各球面帶電情況如圖所示 導體內(nèi)部無電場 解 31 32 半徑分別為r與R的兩個球形導體 各帶電荷q 兩球相距很遠 若用細導線將兩球相連接 求 1 每個球所帶電荷 2 每球的電勢 補充題 兩球相距很遠 可視為孤立導體 互不影響 球上電荷均勻分布 而 則兩球電勢分別是 解 導線連接后電荷分別為q1和q2 兩球連接后電勢相等 由此得到 兩球電勢 r R q1 q2 q q 33 電量為q的點電荷絕緣地放在導體球殼的中心 球殼的內(nèi)半徑為R1 外半徑為R2 求球殼的電勢 解 點電荷位于球殼的中心 由靜電感應知 球殼內(nèi)表面將均勻帶有總電量 q 球殼外表面均勻帶有總電量q 電場的分布具有球?qū)ΨQ性 此時可用兩種方法求球殼的電勢 1 積分法 2 疊加法 補充題 34 如圖所示 半徑為R1的導體球帶電量q 在它外面同心地罩一金屬外殼 其內(nèi)外壁的半徑分別為R2與R3 已知R2 2R1 R3 3R1 今在距球心為d 4R1處放一電量為Q的點電荷 并將導體球殼接地 試問 1 球殼帶的總電量是多大 2 如果用導線將殼內(nèi)導體球與殼相連 球殼帶電量是多大 1 由于靜電感應球殼內(nèi)表面為 設外表面帶電為 如圖所示 導體球與導體球殼之間的電勢差為 導體球的電勢為 由于導體球殼接地 故 補充題 解 35 導體球與導體球殼之間的電勢差為 2 當用導線將殼內(nèi)導體球與殼相連后 導體球與導體球殼等勢 電勢為零 電荷只能分布在導體球殼外表面上 設外表面帶電為 故 36 半徑為R1的導體球帶有電荷q 球外有一個內(nèi) 外半徑分別為R2 R3的同心等體球殼 殼上帶有電荷Q 如果在球殼外再放一個內(nèi)半徑為R4 外半徑為R5的同心導體球殼 殼上帶有電荷 問 1 和各為多少 2 內(nèi)球與最外球殼之間的電勢差是多少 補充題 解 1 根據(jù)靜電感應知 各球殼內(nèi)外表面帶電量如圖所示 2 37 如圖所示 在一個接地導體球附近放一個點電荷q 已知球的半徑為R 點電荷q與球心的距離為a 試求導體表面上總的感應電荷q 由電勢疊加原理可知 球心O處的電勢V0是點電荷q以及球面上感應電荷q 共同產(chǎn)生的 根據(jù)靜電感應規(guī)律 導體是一個等勢體 因?qū)w接地 故令導體球的電勢為零 則 球心O的電勢也為零 接地后導體球表面的感應電荷q 在球面上的分布是不均勻的 設感應電荷面密度為 點電荷q在球心O處產(chǎn)生的電勢為 因?qū)w球上感應電荷q 在球面上的分布不均勻 各處 也不一樣 所以感應電荷q 在球心的電勢由積分計算 為 所以 球心O處的總電勢為 負號表示感應電荷與球外電荷q的符號相反 q R a 補充題 解 故 q O 強調(diào) 38 半徑為R的金屬球與地相聯(lián)接 在與球心相距d 2R處的一點電荷q q 0 求球上的感應電荷q 有多少 靜電平衡時 導體為一等勢體 即為電勢為零的等勢體 從而球心處的電勢零 而感應電荷相距球心是等距的 從而我們有 補充題 解 39 解 令無限長直線如圖放置 電荷線密度為 計算在x軸上距直線為r的任一點P處的電勢 因為無限長帶電直線的電荷分布延伸到無限遠的 所以在這種情況下不能用連續(xù)分布電荷的電勢公式來計算電勢V 否則必得出無限大的結(jié)果 顯然是沒有意義的 同樣也不能直接用公式來計算電勢 不然也將得出電場任一點的電勢值為無限大的結(jié)果 計算無限長均勻帶電直線電場的電勢分布 為了能求得P點的電勢 可先應用電勢差和場強的關(guān)系式 求出軸上P點與參考點P1的電勢差 無限長均勻帶電直線在X軸上的場強為 過P點沿X軸積分可算得P點與參考點P1的電勢差 由于ln1 0 所以本題中若選離直線為r1 1m處作為電勢零點 則很方便地可得P點的電勢為 這個例題的結(jié)果再次表明 在靜電場中只有兩點的電勢差有絕對的意義 而各點的電勢值卻只有相對的意義 補充題 40 均勻帶電圓環(huán) 帶電量為q 半徑為R 求軸線上任意一點的P電勢 解 法一 法二 補充題 41 解 已知均勻帶電圓盤 半徑為R 面電荷密度為 求圓盤軸線上任一點P的電勢 并從電勢出發(fā)計算E 取圓環(huán)r r dr 補充題 42 解 采用補償法來求解 電荷密度均勻為 的球體內(nèi) 有一球形空腔 將坐標原點建立在球心o上 空腔球心的位置矢量為 試求空腔內(nèi)任意點的場強 利用高斯定理可求均勻帶電 沒有空腔的 球體內(nèi)的任意點的場強 同理負電荷均勻帶電球體產(chǎn)生的場強 在空腔內(nèi)任意點處的場強 腔內(nèi)為均勻電場 補充題 43 例7 20金屬球A與金屬球殼B同心放置 已知球A半徑為R1 帶電為q 金屬殼B內(nèi)外半徑分別為R2 R3 帶電為Q 求 1 系統(tǒng)的電荷分布 2 空間電勢分布及球A和殼B的電勢 3 若B接地 結(jié)果又如何 解 1 靜電平衡時 導體 凈 電荷只能分布在導體表面上 球A的電量只可能在球的表面 殼B有兩個表面 電量分布在內(nèi) 外兩個表面 由于A B對稱中心重合 電荷及場分布應該對該中心是球?qū)ΨQ 電荷在導體表面均勻分布 44 按照高斯定理和電荷守恒定律 電荷分布如圖所示 可以等效為 真空中三個中心相互重合的均勻帶電球面 2 利用疊加原理求電勢 45 46 3 若B接地 球殼外表面的電荷將消失 思考 若A B用導線連接 結(jié)果如何 47 已知 導體板A 面積為S 帶電量Q 在其旁邊放入導體板B 求 1 A B上的電荷分布及空間的電場分布 2 將B板接地 求電荷分布 a點 b點 A板 B板 解方程得 電荷分布 48 場強分布 兩板之間 板左側(cè) 板右側(cè) 49 半徑為R的導體球 放在內(nèi) 外半徑為和的同心導體球殼內(nèi) 若球和球殼分別帶電q和Q 試求 1 球和球殼的電勢 2 若用導線將球和球殼連接 此時它們的電勢又為多少 解 q q Q 50 補充題由無限長直線電荷的場推導無限大平面電荷的場 設電荷面密度 場點距平面a 如圖1 7 電荷元線密度 dy 利用長直電荷的結(jié)果 有 利用對稱關(guān)系 可只考慮方向 51 均勻帶電圓環(huán) 帶電量為q 半徑為a 求軸線上任意一點的P勢 解 法一 法二 52 解 例已知均勻帶電圓盤 半徑為R 面電荷密度為 求圓盤軸線上任一點P的電勢 并從電勢出發(fā)計算E 取圓環(huán)r r dr 53 例在氫原子內(nèi) 電子和質(zhì)子的間距為求它們之間電相互作用和萬有引力 并比較它們的大小 解 54 在真空中有電量分別為 Q和 Q的A B兩帶電平板 相距為d 已知d很小 面積為S 試分析兩板間的相互作用力的大小 補充題 對于兩板間的相互作用力 有人說 根據(jù)庫侖定律 則 又有人說 根據(jù)F QE 據(jù)題意可知A B兩板可近似認為是無限大帶電板 于是 則 實際上兩種說法都不對 在第一種說法中 因為d很小 因此兩帶電板已不能看作是點電荷系統(tǒng) 因此 該問題不能直接用庫侖定律求解 在第二種說法中 雖然F QE是正確的 但對E的理解有誤 因為F QE中的E是指Q所在處的場強 而在第二種說法卻把兩板的合場強看作為Q所在處的場強 因此也是不對的 正確的解法是 A板上的電荷Q在B板Q產(chǎn)生的場中 其 因此 A板上的電荷Q能受的電場力為 同理 這是一對作用力和反作