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習題231求解下列微分方程:(1) ;解 用積分因子乘方程兩側,得 ,積分后得通解 。(2) , ;解 將方程改寫為 ,這里,故由求解公式得。由初值條件,得。所以初值問題的解為 。2 把下列微分方程化為線性微分方程:(1) ;解 把原方程改寫為,這是以為未知函數(shù)的一階線性方程。(2) ;解 把原方程改寫為,令 ,則方程化為線性方程。3 設滿足微分不等式 , () 求證:,() 證明 因為滿足微分不等式,所以 以乘不等式兩側,得,即 。從到積分,得。4用常數(shù)變易法求解非齊次線性方程 即:假設方程有形如 的解。但其中的常數(shù)“變易”為的一個待定函數(shù),然后將這種形式的解代入方程,再去確定。解 已知非齊次線性方程對應的齊次線性方程有通解,現(xiàn)常數(shù)變易,設方程有形如 的解。其中為待定函數(shù),把(*)式代入方程,得, 即
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