剛體的平面運(yùn)動.ppt

1 第九章剛體的平面運(yùn)動 2 9 1剛體平面運(yùn)動的概述 9 2平面運(yùn)動分解為平動和轉(zhuǎn)動 剛體的平面運(yùn)動方程 9 3平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度 9 4平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度 加速度瞬心的概念習(xí)題課 第九章剛體的平面運(yùn)動 3 剛體的平面運(yùn)動是工程上常見的一種運(yùn)動 這是一種較為復(fù)雜的運(yùn)動 對它的研究可以在研究剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動的基礎(chǔ)上 通過運(yùn)動合成和分解的方法 將平面運(yùn)動分解為上述兩種基本運(yùn)動 然后應(yīng)用合成運(yùn)動的理論 推導(dǎo)出平面運(yùn)動剛體上一點(diǎn)的速度和加速度的計算公式 運(yùn)動學(xué) 9 1剛體平面運(yùn)動的概述 一 平面運(yùn)動的定義在運(yùn)動過程中 剛體上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變 也就是說 剛體上任一點(diǎn)都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動 具有這種特點(diǎn)的運(yùn)動稱為剛體的平面運(yùn)動 4 例如 曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB的運(yùn)動 A點(diǎn)作圓周運(yùn)動 B點(diǎn)作直線運(yùn)動 因此 AB桿的運(yùn)動既不是平動也不是定軸轉(zhuǎn)動 而是平面運(yùn)動 運(yùn)動學(xué) 5 運(yùn)動學(xué) 請看動畫 6 運(yùn)動學(xué) 二 平面運(yùn)動的簡化剛體的平面運(yùn)動可以簡化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動 即在研究平面運(yùn)動時 不需考慮剛體的形狀和尺寸 只需研究平面圖形的運(yùn)動 確定平面圖形上各點(diǎn)的速度和加速度 7 9 2平面運(yùn)動分解為平動和轉(zhuǎn)動 剛體的平面運(yùn)動方程 運(yùn)動學(xué) 一 平面運(yùn)動方程為了確定代表平面運(yùn)動剛體的平面圖形的位置 我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置 任意線段AB的位置可用A點(diǎn)的坐標(biāo)和AB與x軸夾角表示 因此圖形S的位置決定于三個獨(dú)立的參變量 所以 8 二 平面運(yùn)動分解為平動和轉(zhuǎn)動當(dāng)圖形 上 點(diǎn)不動時 x y坐標(biāo)已定 則剛體作定軸轉(zhuǎn)動當(dāng)圖形 上 角不變時 x y坐標(biāo)已定 則剛體作平動 故剛體平面運(yùn)動可以看成是平動和轉(zhuǎn)動的合成運(yùn)動 運(yùn)動學(xué) 9 運(yùn)動學(xué) 例如車輪的運(yùn)動 車輪的平面運(yùn)動可以看成是車輪隨同車廂的平動和相對車廂的轉(zhuǎn)動的合成 車輪對于靜系的平面運(yùn)動 絕對運(yùn)動 車廂 動系A(chǔ)x y 相對靜系的平動 牽連運(yùn)動 車輪相對車廂 動系A(chǔ)x y 的轉(zhuǎn)動 相對運(yùn)動 10 運(yùn)動學(xué) 我們稱動系上的原點(diǎn) 為基點(diǎn) 于是 車輪的平面運(yùn)動 隨基點(diǎn)A的平動 繞基點(diǎn)A 的轉(zhuǎn)動 剛體的平面運(yùn)動可以分解為隨基點(diǎn)的平動和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動 11 運(yùn)動學(xué) 再例如 平面圖形 在 時間內(nèi)從位置I運(yùn)動到位置II 1 以A為基點(diǎn) 隨基點(diǎn)A平動到A B 后 繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A B 2 以B為基點(diǎn) 隨基點(diǎn)B平動到A B 后 繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A B 圖中看出 AB A B A B 于是有 12 運(yùn)動學(xué) 所以 平面運(yùn)動隨基點(diǎn)平動的運(yùn)動規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān) 而繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的規(guī)律與基點(diǎn)選取無關(guān) 即在同一瞬間 圖形繞任一基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的 都是相同的 基點(diǎn)的選取是任意的 通常選取運(yùn)動情況已知的點(diǎn)作為基點(diǎn) 13 運(yùn)動學(xué) 曲柄連桿機(jī)構(gòu) AB桿作平面運(yùn)動平面運(yùn)動的分解 請看動畫 14 9 3平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度 運(yùn)動學(xué) 一 基點(diǎn)法 合成法 取B為動點(diǎn) 則B點(diǎn)的運(yùn)動可視為牽連運(yùn)動為平動和相對運(yùn)動為圓周運(yùn)動的合成 已知 圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的速度 圖形角速度 求 指向與 轉(zhuǎn)向一致 取A為基點(diǎn) 將動系固結(jié)于A點(diǎn) 動系作平動 15 由于A B點(diǎn)是任意的 因此表示了圖形上任意兩點(diǎn)速度間的關(guān)系 由于恒有 因此將上式在AB上投影 有 速度投影定理 即平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線上的投影彼此相等 這種求解速度的方法稱為速度投影法 運(yùn)動學(xué) 即平面圖形上任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的速度的矢量和 這種求解速度的方法稱為基點(diǎn)法 也稱為合成法 它是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)速度的基本方法 二 速度投影法 16 三 瞬時速度中心法 速度瞬心法 1 問題的提出若選取速度為零的點(diǎn)作為基點(diǎn) 求解速度問題的計算會大大簡化 于是 自然會提出 在某一瞬時圖形是否有一點(diǎn)速度等于零 如果存在的話 該點(diǎn)如何確定 運(yùn)動學(xué) 速度瞬心的概念平面圖形S 某瞬時其上一點(diǎn)A速度 圖形角速度 沿方向取半直線AL 然后順 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至AL 的位置 在AL 上取長度則 17 即在某一瞬時必唯一存在一點(diǎn)速度等于零 該點(diǎn)稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心 簡稱速度瞬心 運(yùn)動學(xué) 幾種確定速度瞬心位置的方法 已知圖形上一點(diǎn)的速度和圖形角速度 可以確定速度瞬心的位置 P點(diǎn) 且 在順 轉(zhuǎn)向繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)90 的方向一側(cè) 已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動 則圖形與固定面的接觸點(diǎn)P為速度瞬心 18 運(yùn)動學(xué) 已知某瞬間平面圖形上A B兩點(diǎn)速度的方向 且過A B兩點(diǎn)分別作速度的垂線 交點(diǎn)P即為該瞬間的速度瞬心 19 運(yùn)動學(xué) 另 對 種 a 的情況 若vA vB 則也是瞬時平動 已知某瞬時圖形上A B兩點(diǎn)的速度方向相同 且不與AB連線垂直 此時 圖形的瞬心在無窮遠(yuǎn)處 圖形的角速度 0 圖形上各點(diǎn)速度相等 這種情況稱為瞬時平動 此時各點(diǎn)的加速度不相等 20 例如 曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時 連桿BC作瞬時平動 此時連桿BC的圖形角速度 BC桿上各點(diǎn)的速度都相等 但各點(diǎn)的加速度并不相等 設(shè)勻 則 而的方向沿AC的 瞬時平動與平動不同 運(yùn)動學(xué) 21 速度瞬心法利用速度瞬心求解平面圖形上點(diǎn)的速度的方法 稱為速度瞬心法 平面圖形在任一瞬時的運(yùn)動可以視為繞速度瞬心的瞬時轉(zhuǎn)動 速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動中心 若P點(diǎn)為速度瞬心 則任意一點(diǎn)A的速度方向 AP 指向與 一致 運(yùn)動學(xué) 注意的問題 速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的 而是隨時間不斷變化的 在任一瞬時是唯一存在的 速度瞬心處的速度為零 加速度不一定為零 不同于定軸轉(zhuǎn)動 剛體作瞬時平動時 雖然各點(diǎn)的速度相同 但各點(diǎn)的加速度是不一定相同的 不同于剛體作平動 22 解 機(jī)構(gòu)中 OA作定軸轉(zhuǎn)動 AB作平面運(yùn)動 滑塊B作平動 基點(diǎn)法 合成法 研究AB 以A為基點(diǎn) 且方向如圖示 運(yùn)動學(xué) 例1 已知 曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA AB l 取柄OA以勻 轉(zhuǎn)動 求 當(dāng) 45 時 滑塊B的速度及AB桿的角速度 23 試比較上述三種方法的特點(diǎn) 運(yùn)動學(xué) 根據(jù)速度投影定理 不能求出 速度投影法研究AB 方向 OA 方向沿BO直線 速度瞬心法研究AB 已知的方向 因此可確定出P點(diǎn)為速度瞬心 24 9 4平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度加速度瞬心的概念 取A為基點(diǎn) 將平動坐標(biāo)系固結(jié)于A點(diǎn)取B動點(diǎn) 則B點(diǎn)的運(yùn)動分解為相對運(yùn)動為圓周運(yùn)動和牽連運(yùn)動為平動 于是 由牽連平動時加速度合成定理可得如下公式 運(yùn)動學(xué) 一 基點(diǎn)法 合成法 已知 圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的加速度和圖形的 某一瞬時 求 該瞬時圖形上任一點(diǎn)B的加速度 25 其中 方向 AB 指向與 一致 方向沿AB 指向A點(diǎn) 運(yùn)動學(xué) 即平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和 這種求解加速度的方法稱為基點(diǎn)法 也稱為合成法 是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)加速度的基本方法 上述公式是一平面矢量方程 需知其中六個要素 方能求出其余兩個 由于方位總是已知 所以在使用該公式中 只要再知道四個要素 即可解出問題的待求量 26 二 加速度瞬心 由于的大小和方向隨B點(diǎn)的不同而不同 所以總可以在圖形內(nèi)找到一點(diǎn)Q 在此瞬時 相對加速度大小恰與基點(diǎn)A的加速度等值反向 其絕對加速度Q點(diǎn)就稱為圖形在該瞬時的加速度瞬心 運(yùn)動學(xué) 27 由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那樣容易確定 且一般情況下又不存在類似于速度投影定理的關(guān)系式 故常采用基點(diǎn)法求圖形上各點(diǎn)的加速度或圖形角加速度 分析 大小 w2方向 故應(yīng)先求出 運(yùn)動學(xué) 例1 半徑為R的車輪沿直線作純滾動 已知輪心O點(diǎn)的速度及加速度 求車輪與軌道接觸點(diǎn)P的加速度 解 輪O作平面運(yùn)動 P為速度瞬心 28 由于此式在任何瞬時都成立 且O點(diǎn)作直線運(yùn)動 故而 由此看出 速度瞬心P的加速度并不等于零 即它不是加速度瞬心 當(dāng)車輪沿固定的直線軌道作純滾動時 其速度瞬心P的加速度指向輪心 運(yùn)動學(xué) 以O(shè)為基點(diǎn) 有其中 做出加速度矢量圖 由圖中看出 與等值反向 即 29 解 a AB作平動 運(yùn)動學(xué) 例2 已知O1A O2B 圖示瞬時O1A O2B試問 a b 兩種情況下 1和 2 1和 2是否相等 a b 30 b AB作平面運(yùn)動 圖示瞬時作瞬時平動 此時 運(yùn)動學(xué) 31 運(yùn)動學(xué) 例3 曲柄滾輪機(jī)構(gòu)滾子半徑R 15cm n 60rpm求 當(dāng) 60 時 OA AB 滾輪的 翻頁請看動畫 32 請看動畫 33 解 OA定軸轉(zhuǎn)動 AB桿和輪B作平面運(yùn)動研究AB P 為其速度瞬心 運(yùn)動學(xué) 分析 要想求出滾輪的 先要求出vB aB P1 P2為輪速度瞬心 34 運(yùn)動學(xué) 取A為基點(diǎn) 指向O點(diǎn) 大小 方向 作加速度矢量圖 將上式向BA線上投影 35 第九章剛體平面運(yùn)動習(xí)題課 一 概念與內(nèi)容1 剛體平面運(yùn)動的定義剛體運(yùn)動時 其上任一點(diǎn)到某固定平面的距離保持不變 2 剛體平面運(yùn)動的簡化可以用剛體上一個與固定平面平行的平面圖形S在自身平面內(nèi)的運(yùn)動代替剛體的整體運(yùn)動 3 剛體平面運(yùn)動的分解分解為4 基點(diǎn)可以選擇平面圖形內(nèi)任意一點(diǎn) 通常是運(yùn)動狀態(tài)已知的點(diǎn) 運(yùn)動學(xué) 36 運(yùn)動學(xué) 6 剛體定軸轉(zhuǎn)動和平面平動是剛體平面運(yùn)動的特例 7 求平面圖形上任一點(diǎn)速度的方法 基點(diǎn)法 速度投影法 速度瞬心法 其中 基點(diǎn)法是最基本的公式 瞬心法是基點(diǎn)法的特例 37 8 求平面圖形上一點(diǎn)加速度的方法基點(diǎn)法 A為基點(diǎn) 是最常用的方法此外 當(dāng) 0 瞬時平動時也可采用方法它是基點(diǎn)法在 0時的特例 運(yùn)動學(xué) 9 平面運(yùn)動方法與合成運(yùn)動方法的應(yīng)用條件 平面運(yùn)動方法用于研究一個平面運(yùn)動剛體上任意兩點(diǎn)的速度 加速度之間的關(guān)系及任意一點(diǎn)的速度 加速度與圖形角速度 角加速度之間的關(guān)系 合成運(yùn)動方法常用來確定兩個相接觸的物體在接觸點(diǎn)處有相對滑動時的運(yùn)動關(guān)系的傳遞 38 二 解題步驟和要點(diǎn)1 根據(jù)題意和剛體各種運(yùn)動的定義 判斷機(jī)構(gòu)中各剛體的運(yùn)動形式 注意每一次的研究對象只是一個剛體 2 對作平面運(yùn)動的剛體 根據(jù)已知條件和待求量 選擇求解速度 圖形角速度 問題的方法 用基點(diǎn)法求加速度 圖形角加速度 3 作速度分析和加速度分析 求出待求量 基點(diǎn)法 恰當(dāng)選取基點(diǎn) 作速度平行四邊形 加速度矢量圖 速度投影法 不能求出圖形 速度瞬心法 確定瞬心的位置是關(guān)鍵 運(yùn)動學(xué) 39 例1 曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)已知 OA 0 15m n 300rpm AB 0 76m BC BD 0 53m 圖示位置時 AB水平求該位置時的 及 運(yùn)動學(xué) 翻頁請看動畫 40 請看動畫 41 例1 曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)已知 OA 0 15m n 300rpm AB 0 76m BC BD 0 53m 圖示位置時 AB水平 求該位置時的 及 解 OA BC作定軸轉(zhuǎn)動 AB BD均作平面運(yùn)動根據(jù)題意 研究AB P 為其速度瞬心 運(yùn)動學(xué) 研究BD P2為其速度瞬心 BDP2為等邊三角形DP2 BP2 BD 42 例2 行星齒輪機(jī)構(gòu) 運(yùn)動學(xué) 請看動畫 43 解 OA定軸轉(zhuǎn)動 輪A作平面運(yùn)動 瞬心P點(diǎn) 運(yùn)動學(xué) 例2 行星齒輪機(jī)構(gòu)已知 R r o輪A作純滾動 求 44 例3 平面機(jī)構(gòu)中 楔塊M 30 v 12cm s 盤 r 4cm 與楔塊間無滑動 求圓盤的 及軸O的速度和B點(diǎn)速度 運(yùn)動學(xué) 請看動畫 45 解 軸O 桿OC 楔塊M均作平動 圓盤作平面運(yùn)動 P為速度瞬心 運(yùn)動學(xué) 例3 平面機(jī)構(gòu)中 楔塊M 30 v 12cm s 盤 r 4cm 與楔塊間無滑動 求圓盤的 及軸O的速度和B點(diǎn)速度 46 比較 例2 和 例3 可以看出 不能認(rèn)為圓輪只滾不滑時 接觸點(diǎn)就是瞬心 只有在接觸面是固定面時 圓輪上接觸點(diǎn)才是速度瞬心 每個作平面運(yùn)動的剛體在每一瞬時都有自己的速度瞬心和角速度 并且瞬心在剛體或其擴(kuò)大部分上 不能認(rèn)為瞬心在其他剛體上 例如 例1 中AB的瞬心在P1點(diǎn) BD的瞬心在P2點(diǎn) 而且P1也不是CB桿上的點(diǎn) 運(yùn)動學(xué) 47 運(yùn)動學(xué) 例4 導(dǎo)槽滑塊機(jī)構(gòu) 請看動畫 48 運(yùn)動學(xué) 例4 導(dǎo)槽滑塊機(jī)構(gòu) 已知 曲柄OA r 勻角速度 轉(zhuǎn)動 連桿AB的中點(diǎn)C處連接一滑塊C可沿導(dǎo)槽O1D滑動 AB l 圖示瞬時O A O1三點(diǎn)在同一水平線上 OA AB AO1C 30 求 該瞬時O1D的角速度 解 OA O1D均作定軸轉(zhuǎn)動 AB作平面運(yùn)動 研究AB 圖示位置 作瞬時平動 所以 用合成運(yùn)動方法求O1D桿上與滑塊C接觸的點(diǎn)的速度動點(diǎn) AB桿上C 或滑塊C 動系 O1D桿 靜系 機(jī)架 49 運(yùn)動學(xué) 絕對運(yùn)動 曲線運(yùn)動 方向 相對運(yùn)動 直線運(yùn)動 方向 O1D牽連運(yùn)動 定軸轉(zhuǎn)動 方向 O1D 根據(jù) 作速度平行四邊形 這是一個需要聯(lián)合應(yīng)用點(diǎn)的合成運(yùn)動和剛體平面運(yùn)動理論求解的綜合性問題 注意這類題的解法 再看下例 50 運(yùn)動學(xué) 例5 平面機(jī)構(gòu) 請看動畫 51 例5 平面機(jī)構(gòu)圖示瞬時 O點(diǎn)在AB中點(diǎn) 60 BC AB 已知O C在同一水平線上 AB 20cm vA 16cm s 試求該瞬時AB桿 BC桿的角速度及滑塊C的速度 解 輪A 桿AB 桿BC均作平面運(yùn)動 套筒O作定軸轉(zhuǎn)動 滑塊C平動 取套筒上O點(diǎn)為動點(diǎn) 動系固結(jié)于AB桿 靜系固結(jié)于機(jī)架 運(yùn)動學(xué) 由于沿AB 所以方向沿AB并且與反向 從而確定了AB桿上與O點(diǎn)接觸點(diǎn)的速度方向 研究AB P1為速度瞬心 52 也可以用瞬心法求 BC和vC 很簡便 研究BC 以B為基點(diǎn) 根據(jù)作速度平行四邊形 運(yùn)動學(xué) 53 解 OA定軸轉(zhuǎn)動 AB BC均作平面運(yùn)動 滑塊B和C均作平動 求 對AB桿應(yīng)用速度投影定理 對BC桿應(yīng)用速度投影定理 運(yùn)動學(xué) 例6 已知 配氣機(jī)構(gòu)中 OA r 以等 o轉(zhuǎn)動 在某瞬時 60 AB BC AB 6r BC 求該瞬時滑塊C的速度和加速度 54 求 P1為AB桿速度瞬心 而 作加速度矢量圖 并沿BA方向投影 運(yùn)動學(xué) 55 作加速度矢量圖 P2為BC的瞬心 而P2C 9r 再