第1講：整式的恒等變形.doc

第一講 整式的恒等變形 【專題知識(shí)點(diǎn)概述】把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)和它恒等的代數(shù)式，叫做代數(shù)式的恒等變形。代數(shù)式的恒等變形是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，它在化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式等問(wèn)題中，有著廣泛的應(yīng)用。通過(guò)代數(shù)式的恒等變形，對(duì)學(xué)生準(zhǔn)確理解有關(guān)概念，掌握有關(guān)法則，提高運(yùn)算能力、邏輯推理能力，增強(qiáng)解題的靈活性，都有重要的意義。整式的恒等變形是代數(shù)式恒等變形的一種，它既是代數(shù)式恒等變形的基礎(chǔ)，又具有獨(dú)特的復(fù)雜性和技巧性。整式的恒等變形涉及到的主要內(nèi)容有：整式的各種運(yùn)算性質(zhì)和法則；各種乘法公式的正、逆應(yīng)用，變形應(yīng)用；因式分解的有關(guān)知識(shí)等。其中主要乘法公式除教科書上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有時(shí)還用到下面幾個(gè)：（1）（2）（3）下面介紹整式恒等變形的一些常用方法和特殊技巧：1、 運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)和法則 例1.設(shè)x、y、z都是整數(shù)，且11整除7x+2y-5z，求證：11整除3x-7y+12z。 例2.已知，當(dāng)x=0時(shí)，y=-3；當(dāng)x=-5時(shí)，y=9，求x=5時(shí)y的值。 例3.若a、b、c都是自然數(shù)，且滿足,且c-a=19，求d-b的值。2、 靈活應(yīng)用乘法公式 乘法公式是進(jìn)行整式恒等變形的常用的重要的工具，我們通過(guò)下面的例題來(lái)說(shuō)明在整式的恒等變形中，如何靈活巧妙的運(yùn)用乘法公式。 例4.計(jì)算 例5.已知整數(shù)a、b、（a-b）都不是3的倍數(shù)，試證是9的倍數(shù)。 例6.當(dāng) (1)bc+ca+ab; (2) 例7.試求。 例8.求證： 本公式在整式的恒等變形中，經(jīng)常使用的是“若a+b+c=0,則”和其逆命題。例如：設(shè)a、b、c為有理數(shù)，且a+b+c=0,.證明對(duì)于任何正奇數(shù)n，都有。3. 配方法配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，配方法在恒等變形中應(yīng)用十分廣泛。在配方時(shí)，還常常要用到拆項(xiàng)或者補(bǔ)項(xiàng)的技巧。 例9.證明：當(dāng)a、b取任意有理數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式的值總是正數(shù)。 例10.若。 例11.已知a、b、c、d為四邊形的四條邊，且求證：此四邊形是菱形。 例12.解方程。 例13.若a、b、c、d是整數(shù)，且，求證mn可以表示成兩個(gè)整數(shù)的平方和。4、 應(yīng)用因式分解應(yīng)用因式分解來(lái)進(jìn)行整式的恒等變形，也是一種常用的方法。 例14.在三角形ABC中，（a、b、c是三角形的三條邊），求證：a+c=2b。 例15.已知，試求(a-b)(b-c)(c-a)的值。 例16.已知，求適合等式的整數(shù)a、b、c的值。 例17.解方程。5、 代換法 所謂代換法，就是用字母替代或者等量替換的方法，有時(shí)應(yīng)用的換元法就是其中的一種。 例18.已知a、b、c、d適合。求證：。 例19.證明： 例20.已知，求證x、y、z中至少有一個(gè)等于1。 例21.證明： 例22.設(shè)是x的一次式的完全立方式，求證3mr= 例23.已知。求證： 例24.設(shè)，證明： 例25.已知a、b、c兩兩不等，且滿足關(guān)系式：。（1）求m的值；（2）求證：。 例26.證明：如果當(dāng)自變量x取任意整數(shù)值時(shí)，二次三項(xiàng)式總?cè)≌?