2011年“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷.doc

菁優(yōu)網(wǎng)2011年“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）1設(shè)，則3a3+12a26a12=（）A24B25CD2規(guī)定”為有序?qū)崝?shù)對的運(yùn)算，如果（a，b）（c，d）=（ac+bd，ad+bc）如果對任意實(shí)數(shù)a，b都有（a，b）（x，y）=（a，b），則（x，y）為（）A（0，1）B（1，0）C（1，0）D（0，1）3若x1，y0，且滿足，則x+y的值為（）A1B2CD4點(diǎn)D，E分別在ABC的邊AB，AC上，BE，CD相交于點(diǎn)F，設(shè)S四邊形EADF=S1，SBDF=S2，SBCF=S3，SCEF=S4，則S1S3與S2S4的大小關(guān)系為（）AS1S3S2S4BS1S3=S2S4CS1S3S2S4D不能確定5設(shè)，則4S的整數(shù)部分等于（）A4B5C6D7二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）6若關(guān)于x的方程（x2）（x24x+m）=0有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則m的取值范圍是_7一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)5的概率是_8如圖，點(diǎn)A，B為直線y=x上的兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作y軸的平行線交雙曲線（x0）于C，D兩點(diǎn)若BD=2AC，則4OC2OD2的值為_9若的最大值為a，最小值為b，則a2+b2的值為 _10如圖，在RtABC中，斜邊AB的長為35，正方形CDEF內(nèi)接于ABC，且其邊長為12，則ABC的周長為_三、解答題（共4小題，滿分0分）11已知關(guān)于x的一元二次方程x2+cx+a=0的兩個整數(shù)根恰好比方程x2+ax+b=0的兩個根都大1，求a+b+c的值12如圖，點(diǎn)H為ABC的垂心，以AB為直徑的O1和BCH的外接圓O2相交于點(diǎn)D，延長AD交CH于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P為CH的中點(diǎn)13如圖，點(diǎn)A為y軸正半軸上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，過點(diǎn)A任作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)（1）求證：ABP=ABQ；（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），且PBQ=60，試求所有滿足條件的直線PQ的函數(shù)解析式14如圖，ABC中，BAC=60，AB=2AC點(diǎn)P在ABC內(nèi)，且PA=，PB=5，PC=2，求ABC的面積2011年“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）1設(shè)，則3a3+12a26a12=（）A24B25CD考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算。專題：計(jì)算題。分析：先化簡整式，然后將a的值代入即可解答：解：3a3+12a26a12=3a2（a+1）+（3a1）213當(dāng)時原式=3713=24故選A點(diǎn)評：本題考查二次根式的混合運(yùn)算，有一定難度，將原式化簡是解決本題的關(guān)鍵2規(guī)定”為有序?qū)崝?shù)對的運(yùn)算，如果（a，b）（c，d）=（ac+bd，ad+bc）如果對任意實(shí)數(shù)a，b都有（a，b）（x，y）=（a，b），則（x，y）為（）A（0，1）B（1，0）C（1，0）D（0，1）考點(diǎn)：解二元一次方程組。專題：新定義。分析：根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出方程ax+by=a，ay+bx=b，由解得關(guān)于x、y的方程組，解方程組即可解答：解：由定義，知（a，b）（x，y）=（ax+by，ay+bx）=（a，b），則ax+by=a，ay+bx=b，由+，得（a+b）x+（a+b）y=a+b，a，b是任意實(shí)數(shù)，x+y=1，由，得（ab）x（ab）y=ab，xy=1，由解得，x=1，y=0，（x，y）為（1，0）；故選B點(diǎn)評：本題考查了二元一次方程組的解法解答此題的關(guān)鍵是弄懂新定義運(yùn)算的法則，根據(jù)法則列出方程組3若x1，y0，且滿足，則x+y的值為（）A1B2CD考點(diǎn)：同底數(shù)冪的乘法。專題：計(jì)算題。分析：首先將xy=xy變形，得y=xy1，然后將其代入，利用冪的性質(zhì)，即可求得y的值，則可得x的值，代入x+y求得答案解答：解：由題設(shè)可知y=xy1，x=yx3y=x4y1，4y1=1故，從而x=4于是故選C點(diǎn)評：此題考查了同底數(shù)冪的性質(zhì)：如果兩個冪相等，則當(dāng)?shù)讛?shù)相同時，指數(shù)也相同4點(diǎn)D，E分別在ABC的邊AB，AC上，BE，CD相交于點(diǎn)F，設(shè)S四邊形EADF=S1，SBDF=S2，SBCF=S3，SCEF=S4，則S1S3與S2S4的大小關(guān)系為（）AS1S3S2S4BS1S3=S2S4CS1S3S2S4D不能確定考點(diǎn)：三角形的面積。分析：首先作輔助線：連接DE，再設(shè)SDEF=S1，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，可得：則，則可證得：S1S3=S2S4，即可得到：S1S3S2S4解答：解：如圖，連接DE，設(shè)SDEF=S1，則，從而有S1S3=S2S4因?yàn)镾1S1，所以S1S3S2S4故選C點(diǎn)評：此題考查了有關(guān)三角形面積的求解注意等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比性質(zhì)的應(yīng)用5設(shè)，則4S的整數(shù)部分等于（）A4B5C6D7考點(diǎn)：部分分式。專題：計(jì)算題；整體思想。分析：由于，由此可以得到1S=，然后即可求出4S的整數(shù)部分解答：解：當(dāng)k=2，32011，因?yàn)?，所?S=于是有44S5，故4S的整數(shù)部分等于4故選A點(diǎn)評：此題主要考查了部分分式的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用了二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）6若關(guān)于x的方程（x2）（x24x+m）=0有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則m的取值范圍是3m4考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；三角形三邊關(guān)系。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)原方程可知x2=0，和x24x+m=0，因?yàn)殛P(guān)于x的方程（x2）（x24x+m）=0有三個根，所以x24x+m=0的根的判別式0，然后再由三角形的三邊關(guān)系來確定m的取值范圍解答：解：關(guān)于x的方程（x2）（x24x+m）=0有三個根，x2=0，解得x1=2；x24x+m=0，=164m0，即m4，x2=2+，x3=2，又這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，且最長邊為x2，x1+x3x2； 解得3m4，m的取值范圍是3m4故答案為：3m4點(diǎn)評：本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式及三角形的三邊關(guān)系解答此題時，需注意，三角形任意兩邊和大于第三邊7一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)5的概率是考點(diǎn)：列表法與樹狀圖法。分析：利用列表法求出所有的舉朝上的面兩數(shù)字之和，得出5的個數(shù)，即能得出朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)5的概率解答：解：正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8，用列表法列舉朝上的面兩數(shù)字之和所有可能是：朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)5的概率是：=故答案為：點(diǎn)評：此題主要考查了用列舉法求概率，列舉出所有的可能結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵8如圖，點(diǎn)A，B為直線y=x上的兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作y軸的平行線交雙曲線（x0）于C，D兩點(diǎn)若BD=2AC，則4OC2OD2的值為6考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。專題：計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合。分析：根據(jù)A，B兩點(diǎn)在直線y=x上，分別設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a），（b，b），得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（b，），線段AC=a，線段BD=b，根據(jù)BD=2AC，有b=2（a），然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算求出4OC2OD2的值解答：解：設(shè)A（a，a），B（b，b），則C（a，），D（b，）AC=a，BD=b，BD=2AC，b=2（a）4OC2OD2=4（a2+）（b2+）=4+2+2=4+842=6故答案為：6點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)直線與反比例函數(shù)的解析式，設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)后可以得到點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算求出代數(shù)式的值9若的最大值為a，最小值為b，則a2+b2的值為 考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值；二次根式的應(yīng)用。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可以確定x的取值范圍，再將方程兩邊平方得出，y2的最大值與最小值，從而得出a2+b2的值解答：解：由1x0，且0，得x1由于，所以當(dāng)時，y2取到最大值1，故a=1當(dāng)或1時，y2取到最小值，故所以：故答案為：點(diǎn)評：此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及完全平方公式的應(yīng)用，將原式平方得出y2的最大值與最小值是解決問題的關(guān)鍵，這種方法經(jīng)常運(yùn)用于此類問題的運(yùn)算10如圖，在RtABC中，斜邊AB的長為35，正方形CDEF內(nèi)接于ABC，且其邊長為12，則ABC的周長為84考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)。分析：首先設(shè)BC=a，AC=b，由勾股定理與正方形的性質(zhì)，可得：a2+b2=352，RtAFERtACB，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得12（a+b）=ab，解方程組即可求得解答：解：如圖，設(shè)BC=a，AC=b，則a2+b2=352=1225又RtAFERtACB，所以，即，故12（a+b）=ab由得（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b），解得a+b=49（另一個解25舍去），所以a+b+c=49+35=84故答案為：84點(diǎn)評：此題考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識此題綜合性較強(qiáng)，解題時要注意合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合與方程思想三、解答題（共4小題，滿分0分）11已知關(guān)于x的一元二次方程x2+cx+a=0的兩個整數(shù)根恰好比方程x2+ax+b=0的兩個根都大1，求a+b+c的值考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)根與有理根。專題：計(jì)算題。分析：設(shè)出第一個方程的兩根，表示出后面方程的另2根利用根與系數(shù)的關(guān)系均得到與a的關(guān)系，進(jìn)而消去a，得到兩個一次項(xiàng)的積為一個常數(shù)的形式，判斷可能的整數(shù)解，得到a，b，c的值，相加即可解答：解：設(shè)方程x2+ax+b=0的兩個根為，方程有整數(shù)根，設(shè)其中，為整數(shù)，且，則方程x2+cx+a=0的兩根為+1，+1，+=a，（+1）（+1）=a，（5分）兩式相加，得+2+2+1=0，即（+2）（+2）=3，或（10分）解得或又a=（+）=（1）+1=0，b=11=1，c=（+1）+（+1）=（1+1）+（1+1）=2，或a=（+）=（5）+（3）=8，b=（5）（3）=15，c=（+1）+（+1）=（5+1）+（3+1）=6，a=0，b=1，c=2；或者a=8，b=15，c=6，a+b+c=0+（1）+（2）=3或a+b+c=8+15+6=29，故a+b+c=3，或29（20分）點(diǎn)評：主要考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用；利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；消去a后得到兩個一次項(xiàng)的積為一個常數(shù)的形式是解決本題的難點(diǎn)12如圖，點(diǎn)H為ABC的垂心，以AB為直徑的O1和BCH的外接圓O2相交于點(diǎn)D，延長AD交CH于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P為CH的中點(diǎn)考點(diǎn)：三角形的五心。專題：證明題。分析：延長AP交O2于點(diǎn)Q，連接AH，BD，QB，QC，QH，由AB為O1的直徑，得ADB=BDQ=90，從而可知BQ為O2的直徑，由圓周角定理得CQBC，BHHQ，又H為ABC的垂心，由垂心的定義得AHBC，BHAC，可推出AHCQ，ACHQ，證明四邊形ACQH為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論解答：證明：如圖，延長AP交O2于點(diǎn)Q，連接AH，BD，QB，QC，QH因?yàn)锳B為O1的直徑，所以ADB=BDQ=90（5分）故BQ為O2的直徑于是CQBC，BHHQ（10分）又因?yàn)辄c(diǎn)H為ABC的垂心，所以AHBC，BHAC所以AHCQ，ACHQ，四邊形ACQH為平行四邊形（15分）所以點(diǎn)P為CH的中點(diǎn)（20分）點(diǎn)評：本題考查了三角形的垂心的性質(zhì)，圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)關(guān)鍵是利用平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，構(gòu)造平行四邊形證明結(jié)論13如圖，點(diǎn)A為y軸正半軸上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，過點(diǎn)A任作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)（1）求證：ABP=ABQ；（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），且PBQ=60，試求所有滿足條件的直線PQ的函數(shù)解析式考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）利用拋物線的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法球函數(shù)解析式，根與系數(shù)的關(guān)系和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用（1）中已知與結(jié)論，繼續(xù)由相似三角形，根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)解析式求得結(jié)果解答：（1）證明：如圖，分別過點(diǎn)P，Q作y軸的垂線，垂足分別為C，D設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，t），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，t）設(shè)直線PQ的函數(shù)解析式為y=kx+t，并設(shè)P，Q的坐標(biāo)分別為（xP，yP），（xQ，yQ）由，得，于是，即于是=，又因?yàn)椋砸驗(yàn)锽CP=BDQ=90，所以BCPBDQ，故ABP=ABQ；（2）解：設(shè)PC=a，DQ=b，不妨設(shè)ab0，由（1）可知ABP=ABQ=30，BC=，BD=，所以AC=，AD=因?yàn)镻CDQ，所以ACPADQ于是，即，所以由（1）中，即，所以，于是可求得將代入，得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)（，）再將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入y=kx+1，求得所以直線PQ的函數(shù)解析式為根據(jù)對稱性知，所求直線