第十二章 富里埃級數(shù).doc

數(shù)學分析（1，2，3）教案第十二章 富里埃級數(shù)教學目的：（1）熟練掌握函數(shù)的Fourier級數(shù)展開；（2）綜合分析Fourier級數(shù)的斂散性；（3）理解并利用Fourier級數(shù)的分析性質；（4）初步了解Fourier變換及其性質。 教學重點： Fourier級數(shù)的來歷；Dirichlet積分的定義及應用；Riemann引理及其推論及應用；Dini判別法及其推論，Dirichlet-Jordan判別法； Fourier級數(shù)的分析性質：逐項積分和逐項微分定理。Fourier變換及其逆變換的形式及應用。 教學難點：周期為2的函數(shù)的Fourier展開；將函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)；任意周期的函數(shù)的Fourier展開。1 富里埃級數(shù)一 富里埃（Fourier）級數(shù)的引進1 定義：設是上以為周期的函數(shù)，且在上絕對可積，稱形如的函數(shù)項級數(shù)為的 Fourier級數(shù)(的 Fourier展開式)，其中， 稱為的 Fourier系數(shù)，記為2 說明1）在未討論收斂性，證明一致收斂到之前，不能將“”改為“=”；此處“”也不包含“等價”之意，而僅僅表示是的 Fourier級數(shù)，或者說的 Fourier級數(shù)是。2) 要求上的 Fourier級數(shù)，只須求出Fourier系數(shù)。二 富里埃級數(shù)收斂性的判別1. Riemann（黎曼）引理 設在（有界或無界）區(qū)間上絕對可積，則， . 推論 在上絕對可積函數(shù)的Fourier系數(shù)；2. Fourier級數(shù)收斂的充要條件定理1 和, 使得當時成立其中.3. Fourier級數(shù)收斂的Dini判別法推論: 設在上除去有限點外存在有界導數(shù),則的Fourier級數(shù)點點收斂,且特別地, 是的連續(xù)點時, ,即例: 設是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為,判定的Fourier級數(shù)的收斂性.例：設是以為周期的函數(shù),其在上等于,判定的 Fourier級數(shù)的收斂性例： 4. Jordan判別法設在上單調(diào)(或有界變差)，則。例：設是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為 ,求的 Fourier展開式。 計算的 Fourier系數(shù)的積分也可以沿別的長度為的區(qū)間來積.如， 例： 設是以為周期的函數(shù),其在上等于,求的 Fourier級數(shù). 如果僅定義在長為的區(qū)間上,例如定義在上, 此時不是周期函數(shù), 從而不能按上述方法展開為Fourier級數(shù).但可對在外補充定義,使其以為周期, 如定義, 它有下述性質: a) 時,； b) 以為周期. 例 : 三 正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1 定義形如的三角級數(shù)(函數(shù)項級數(shù))稱為正弦級數(shù);形如的三角級數(shù)(函數(shù)項級數(shù)稱為余弦級數(shù).2 如果是以為周期的函數(shù),在上絕對可積, 若是奇函數(shù),則有；若是偶函數(shù),則有.3設僅在上有定義, 如果按奇函數(shù)的要求,補充定義,然后再作周期延拓,必得奇函數(shù), 所得Fourier級數(shù)必為正弦級數(shù). 對應地, 補充定義后,再作周期延拓,必得偶函數(shù), 所得Fourier級數(shù)必為余弦級數(shù)。例: ),將展開成余弦函數(shù)。例：將在上展開為余弦級數(shù)。四 一般周期函數(shù)的Fourier級數(shù) 設是周期為的函數(shù),且在上絕對可積, 則有,其中， 例: 求的Fourier展開式.五 Fourier級數(shù)的復數(shù)表示形式設, 則其復數(shù)表示形式為,其中, 復的Fourier系數(shù).作業(yè)：126頁1,2,3,7,8,14,152 富里埃變換一 富里埃變換的概念設在內(nèi)絕對可積。定義1 稱是的富里埃變換，并把它記為或。即。富里埃變換的性質（i）是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)；（ii）。定義2 稱是的富里埃逆變換。又稱是的富里埃變換積分公式。例： 求衰減函數(shù)的富里埃變換。例： 求函數(shù)的富里埃變換和富里埃變換積分公式。二 富里埃變換的一些性質富里埃變換有一些簡單的性質，這些性質在偏微分方程和