§6 - 3 厄米算符的對(duì)易關(guān)系.doc

.6 - 3 厄米算符的對(duì)易關(guān)系一 算符的一般運(yùn)算規(guī)則和對(duì)易式 1 、 算符之和與積1 ) 單位算符I對(duì)于任意的波函數(shù)，有 . (6. 42)2 ) 算符和相等如果對(duì)于任意的波函數(shù)y,都有, 則有. (6. 43)3 ) 算符與之和對(duì)于任意的波函數(shù)y，有 . (6. 44) 顯然： , (滿足交換律) ,(滿足結(jié)合律)可證: 兩個(gè)線性算符之和仍為線性算符. 兩個(gè)厄米算符之和仍為厄米算符。4 ) 算符與之積對(duì)于任意的波函數(shù)y，有. (6. 45) 問題：兩個(gè)厄米算符之積是不是厄米算符？研究兩個(gè)算符作用是否與次序有關(guān)？ 2、 對(duì)易式及其滿足的恒等式算符之積一般并不滿足交換律，即 . 對(duì)易式的定義 . (6. 46)若，則稱算符與對(duì)易；若 0，則稱算符與不對(duì)易。 兩個(gè)厄米算符之積一般并不是厄米算符，除非這兩個(gè)厄米算符可對(duì)易。具體而言，若，則有 , (6. 47)只有當(dāng)或時(shí)，才有 ,這時(shí)兩個(gè)厄米算符與的積才是厄米算符。 對(duì)易式滿足下列恒等式：, , (6. 48) . 3、 逆算符若由 能夠唯一地解出y，則有 .若算符的逆算符存在，則有 .可以證明，若與的逆算符均存在，則有. (6. 49)二 學(xué)的基量子力本對(duì)易式1、 動(dòng)量算符的各個(gè)分量之間可對(duì)易, , .由坐標(biāo)表象中的動(dòng)量算符為 立即可證. 2、 量子力學(xué)的基本對(duì)易式（位置算符和動(dòng)量算符各分量之間的對(duì)易式，重要?。? (6.50)其中或1, 2, 3，這里用了克羅內(nèi)克符號(hào) .可見，動(dòng)量算符的各個(gè)分量只與位置算符的不同分量對(duì)易, , , ,;動(dòng)量算符的相同分量之間是不可對(duì)易的 .凡與經(jīng)典力學(xué)量相對(duì)應(yīng)的力學(xué)量之間的對(duì)易關(guān)系，均可由此導(dǎo)出。顯然，克普朗常量在力學(xué)量的對(duì)易關(guān)系中起著關(guān)鍵性的作用。證明:考慮坐標(biāo)算符x和動(dòng)量算符的x分量. 對(duì)于任一波函數(shù)y，有, .將以上兩式相減，得.由于y 是體系的任意波函數(shù)，所以有.其它等式與此類似證明。（典型證法，要掌握）三 角動(dòng)量算符各分量之間的對(duì)易式1、角動(dòng)量算符各分量之間 , , ， (6. 51)2、角動(dòng)量算符平方與各分量之間. (6. 52)3、角動(dòng)量算符各分量與空間坐標(biāo)分量之間, , , （6. 53）, .由以上各式可以歸納出以下規(guī)則：從左到右，以依次循環(huán)指標(biāo)為正，任一指標(biāo)“錯(cuò)位”則為負(fù)，相同指標(biāo)則為零。4、角動(dòng)量算符各分量與動(dòng)量坐標(biāo)分量之間有類似（6. 53）的關(guān)系。5、若令 , (6. 54)則有 , (6. 55) . (6. 56)例題21. 2 試證明對(duì)易式.（要掌握）證明 利用基本對(duì)易式(21. 66)和對(duì)易式恒等式(21. 64)，可以得到 .例題21. 3 試證明角動(dòng)量算符三分量之間的對(duì)易式(21. 67) （要掌握）。解 利用基本對(duì)易式(21. 66)和對(duì)易式恒等式(21. 64)，可以得到 ,同理可得： , .以上三個(gè)關(guān)于分量的對(duì)易式，在形式上可以合寫成一個(gè)矢量公式：, (21. 76)上式可以看成是角動(dòng)量算符的定義式，是經(jīng)典物理學(xué)中根本不可能存在的關(guān)系式。在經(jīng)典物理學(xué)中，所有物理量都是可對(duì)易的，因此對(duì)任何矢量A總有A A = 0. 然而，在量子力學(xué)中，角動(dòng)量算符的各分量互不對(duì)易，滿足式(21. 76)，由此決定了角動(dòng)量的一系列異乎尋常的性質(zhì)。6-4 共同本征函數(shù)(量子力學(xué)中的核心問題)一 不同力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件和共同本征函數(shù)通常，對(duì)大量的、完全相同的、均處在用波函數(shù)y 描述的狀態(tài)體系的集合多次測量力學(xué)量A，然后對(duì)所得的結(jié)果求平均，則將會(huì)得一個(gè)平均值。每一次測量的結(jié)果將圍繞平均值有一個(gè)漲落. (6. 57)若令, (6. 58)對(duì)于任意兩個(gè)力學(xué)量A和B，普遍的不確定關(guān)系為（省略證明）. (6. 59)可見：如果A,B0，則一般來說DA和DB不可能同時(shí)為零，即A與B不可能同時(shí)具有確定值，或者說，它們不可能具有共同本征態(tài)。如果A,B=0，則可以找到使DA=0和DB=0同時(shí)得到滿足的態(tài)，即可以找到這兩個(gè)算符的共同本征態(tài)?？梢宰C明，一組算符具有共同本征函數(shù)的充要條件是，這組算符中的任意兩個(gè)算符都可以對(duì)易。例、動(dòng)量算符的三個(gè)分量中的任意兩個(gè)算符都可以對(duì)易，它們的共同本征函數(shù)是,相應(yīng)的本征值是p( px，py，pz )。二 角動(dòng)量的共同本征函數(shù) 球諧函數(shù)1、角動(dòng)量z分量的本征值方程以及正交歸一化的本征函數(shù) , (6. 60) (6. 61)其相應(yīng)的本征值為 .2、的共同本征函數(shù)考察的本征值方程, (6. 62) 的本征值，l是待定的無量綱參量 的本征函數(shù)從和的表達(dá)式 , 可以看出，本征值方程(6. 62)可以用分離變量法來求解。取其本征函數(shù)為. (6. 63)將它代入本征值方程(6. 62)，利用的本征值方程，可得關(guān)于函數(shù)的方程為.為了保證上述方程解的有限性，待定參量l滿足 (6.64)通過計(jì)算，可以得到的正交歸一化共同本征函數(shù)為, (6. 65)其中的為關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)，為球諧函數(shù)(見表6 - 1)表6 - 1 球諧函數(shù)l m0 01 01 12 02 12 2，總之，的共同本征函數(shù)是球諧函數(shù), 它們滿足以下兩個(gè)本征值, (6. 66), (6. 67), (；) (6. 68)方程以及正交歸一化條件：其中和Lz的本征值都是量子化的，l稱為軌道量子數(shù)或角量子數(shù)，而m稱為磁量子數(shù)。對(duì)于給定的軌道量子數(shù)l，L2的本征函數(shù)是不確定的，由于m =，因此共有個(gè)簡并態(tài)，這些簡并態(tài)由Lz的本征值來區(qū)分。 三 力學(xué)量完全集和本征函數(shù)的完全性1、解除簡并？一個(gè)力學(xué)量的一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)于若干個(gè)本征函數(shù)，因此只利用的本征值不足以完全確定波函數(shù)；找力學(xué)量（與獨(dú)立而又與對(duì)易），得 和的共同本征函數(shù)，仍然是簡并的？找力學(xué)量（與和獨(dú)立又對(duì)易）得，和的共同本征函數(shù)2、 力學(xué)量完全集假定(,)是一組彼此獨(dú)立而又相互對(duì)易的厄米算符，它們的共同本征函數(shù)記為ya，其中a 是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號(hào)（如）。如果在給定一組量子數(shù)a 之后，就能夠完全確定體系的一個(gè)可能狀態(tài)，則稱這一組力學(xué)量(,)構(gòu)成了體系的一組力學(xué)量完全集。例、一維諧振子哈密頓算符的本征函數(shù)全部是非簡并的，因H本身就是力學(xué)量完全集，自由度為1. 共同本征函數(shù)的正交歸一性表示力學(xué)量的算符必定是厄米算符，而厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)是彼此正交的。因此，力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)ya具有正交性，對(duì)于已經(jīng)歸一化的ya，有 , (6. 69) 態(tài)疊加原理如果一個(gè)體系剛好處于它的力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)ya，則力學(xué)量的取值就是相應(yīng)的本征值. 如果體系所處的狀態(tài)y不是力學(xué)量的共同本征態(tài)，而是若干個(gè)共同本征態(tài)的線性疊加，即 , (6. 70)則按照態(tài)疊加原理可以認(rèn)為，處于y 態(tài)下的體系是部分地處于 態(tài)，部分地處于態(tài)部分地處于態(tài)。由于力學(xué)量的取值只能是其本征值，所以只要式(6. 70)中存在某個(gè)ya項(xiàng)，則相應(yīng)的本征值就是的一種可能取值，即力學(xué)量的取值既可以是A1，也可以是 . 希爾伯特空間與波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋包含哈密頓量在內(nèi)的力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)，構(gòu)成了量子體系的態(tài)空間的一組完全的基矢，即體系的任何態(tài)均可用它們來展開。于是，力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)所張開的空間，就構(gòu)成了體系的一個(gè)完全的態(tài)空間，稱為希爾伯特空間。如此，體系的任何一個(gè)狀態(tài)y 均可用希爾伯特空間中的矢量來描寫，即用力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)(設(shè)量子數(shù)a 是離散的)來展開，即 , (6. 71)則共同本征函數(shù)系必須是一組完全的函數(shù)系。利用ya的正交歸一性，可以得到式(6. 71)中的展開系數(shù)為 . (6. 72)如果y 是歸一化的波函數(shù)，則有 . (6. 73)如果a 是連續(xù)變化的，則可將以上各式中求和化為積分. 按照態(tài)疊加原理，展開式(6. 71)表示該體系可以部分地處在展開式中所包含的共同本征函數(shù)系的任何一個(gè)態(tài)中。展開系數(shù)的模方表示y 態(tài)部分地處于態(tài)的概率，或者說，表示在y 態(tài)下測量力學(xué)量A得到Aa值的概率。四 狄拉克符號(hào)狄拉克符號(hào)特點(diǎn)：運(yùn)算簡捷，無需采用具體表象。微觀體系的狀態(tài)： 用希爾伯特空間中的一個(gè)矢量來表示，稱為右矢(ket)。在右矢內(nèi)標(biāo)上某種記號(hào)，可表示某個(gè)特殊的態(tài)。對(duì)于本征態(tài)，常把本征值或相應(yīng)的量子數(shù)標(biāo)在右矢內(nèi)。例、用表示能量本征態(tài)。左矢(bra)：表示右矢的共軛空間中的一個(gè)抽象態(tài)矢。態(tài)矢與態(tài)矢的內(nèi)積記為，于是有 .與正交: = 0；為歸一化矢: 。正交歸一性設(shè)和為力學(xué)量完全集F的離散的本征態(tài)，則它們的正交歸一性表示為. (6. 74)例題21. 4 求粒子處于態(tài)時(shí)角動(dòng)量的x分量和y分量的平均值以及.解 由于與不對(duì)易，所以盡管球諧函數(shù)是與的共同本征函數(shù)，但卻并不是和的本征函數(shù)。為了求出和的平均值，我們利用對(duì)易關(guān)系 ， 可以得到.同理可得.由于坐標(biāo)x與y的對(duì)稱性，因此有 , 再由 可得.例題21. 5 已知一量子態(tài)的波函數(shù)為,試求y 態(tài)中角動(dòng)量L2和Lz的可能取值、概率以及和. 解 由于y 是由L2和Lz的共同本征函數(shù)球諧函數(shù)疊加而成的，而且其展開系數(shù)分別為：,因此由和可得，y 態(tài)中角動(dòng)量的可能取值及其概率分別為：,；：,；：,.所以，y 態(tài)的角動(dòng)量的平均值和分別為：,.6 - 5 力學(xué)量隨時(shí)間的變化 守恒量與對(duì)稱性體系的哪一個(gè)力學(xué)量是守恒的？一 力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化在波函數(shù)y ( r, t )所描寫的量子態(tài)中，力學(xué)量A的平均值. (6. 75)通常是時(shí)間t的函數(shù)(因?yàn)閥 ( r, t )是時(shí)間t的函數(shù)，也可能顯含時(shí)間t，所以通常是時(shí)間t的函數(shù))。求隨時(shí)間的變化率？對(duì)時(shí)間的微商為 , (6. 76)由薛定諤方程 和,代入式(6. 76)中，可得 . (6. 77)因?yàn)槭嵌蛎姿惴?)，有 ,代入式(6. 77)可得,或 . (6. 78) 如果力學(xué)量不顯含時(shí)間t ( ),有 . (6. 79) 如果力學(xué)量滿足 和 ,有 , (6. 80) 即力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間改變。二 守恒量if 和 , or ，則力學(xué)量A稱為體系的一個(gè)守恒量。例、哈密頓量不顯含時(shí)間若體系的哈密頓量H不顯含時(shí)間t，總有 , H是體系的守恒量，體系的能量是守恒的。 例、自由粒子 , 動(dòng)量和角動(dòng)量都是守恒量。 例、在中心力場中運(yùn)動(dòng)的粒子, , . 角動(dòng)量是守恒量，而動(dòng)量卻不是守恒量。 守恒量的意義：無論在什么狀態(tài)下，量子體系的守恒量的平均值和概率分布都不隨時(shí)間改變。 好量子數(shù)：如果初始時(shí)刻體系處在守恒量A的本征態(tài)，則隨著時(shí)間的推移，體系將保持在該本征態(tài)，守恒量A總是具有確定值。在這種情況下，守恒量A的量子數(shù)稱為好量子數(shù)。 如果初始時(shí)刻體系并不處在守恒量A的本征態(tài)，則以后的狀態(tài)也不會(huì)是 A的本征態(tài)。在這種情況下，盡管守恒量A并不具有確定值，但守恒量A的觀測值的概率分布卻不再隨時(shí)間而改變。量子體系的守恒量與定態(tài)守恒量是體系的一種特殊的力學(xué)量，它與體系的哈密頓量對(duì)易；守恒量在一切狀態(tài)(不管是否是定態(tài))下的平均值和概率分布都不隨時(shí)間改變。定態(tài)是體系的一種特殊的狀態(tài)，即能量本征態(tài)；在定態(tài)下，一切不顯含時(shí)間t的力學(xué)量(不論其是否是守恒量)的平均值和測值概率分布都不隨時(shí)間改變，這正是稱之為定態(tài)的原因。三 守恒量與對(duì)稱性經(jīng)典力學(xué)中守恒定律與對(duì)稱性的密切關(guān)系。體系具有空間平移不變性或空間均勻性 體系的動(dòng)量守恒；空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性或空間各向同性 體系的角動(dòng)量守恒；時(shí)間平移不變性或時(shí)間均勻性 體系的能量守恒。 在量子力學(xué)中，對(duì)于一個(gè)體系的對(duì)稱性的仔細(xì)分析，可以有助于了解體系的總體性質(zhì)，發(fā)掘出隱藏的守恒量，得出一些非常重要的結(jié)論，而避免嚴(yán)格地求解薛定諤方程。21 - 6 量子力學(xué)的基本框架一、 量子理論基礎(chǔ)1、 熱輻射 普朗克量子假說：物體發(fā)射或吸收電磁輻射只能以“量子”方式進(jìn)行，每個(gè)能量子的能量為。2、光電效應(yīng)愛因斯坦光子假說：光和粒子相互作用時(shí)表現(xiàn)出粒子性，每一個(gè)光量子的能量E與輻射頻率的關(guān)系。3、康普頓效應(yīng)光量子具有動(dòng)量，在定量上是正確的；在微觀的單個(gè)碰撞事件中，動(dòng)量和能量守恒定律仍成立。4、 玻爾理論原子具有離散能量的定態(tài)，兩個(gè)定態(tài)之間的量子躍遷的概念以及頻率條件： .5、 德布羅意的波粒二象性假設(shè) 德布羅意波物質(zhì)波de Broglie relation 二、量子力學(xué)的基本框架1、 量子系統(tǒng)的狀態(tài)用波函數(shù)描述。 波函數(shù)的概率詮釋 ：在r點(diǎn)處的體積元中找到粒子的概率。 態(tài)疊加原理如y1, y2yn等都是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加態(tài)也是這個(gè)體系的一個(gè)可能狀態(tài)，2 、描寫物理系統(tǒng)的一個(gè)力學(xué)量，對(duì)應(yīng)于一個(gè)線性厄米算符。 ，本征值 本征函數(shù) 的共同本征函數(shù)是球諧函數(shù)：， 對(duì)易式 . 基本對(duì)易式厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)不同本征值的本征矢相互正交。3 、任一狀態(tài)的波函數(shù)y，都可以用力學(xué)量算符的本征函數(shù)系，或一組力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)系來展開。當(dāng)系統(tǒng)處在由波函數(shù)y 所描述的狀態(tài)時(shí)，每次測量一個(gè)力學(xué)量所得到的結(jié)果，只可能是與該力學(xué)量相對(duì)應(yīng)的算符的所有本征值中的一個(gè)。對(duì)與算符相應(yīng)的力學(xué)量進(jìn)行足夠多次的測量，所得的平均值是y 與的內(nèi)積，同y 與其自身的內(nèi)積的商，即.或者說，對(duì)與算符相應(yīng)的力學(xué)量進(jìn)行測量，每次測量的結(jié)果取的某一本征值A(chǔ)n的概率wn，等于y 對(duì)的本征函數(shù)系的展開式中，相應(yīng)于