圓錐曲線之橢圓題庫_含詳解_高考必備.doc

橢圓題庫 1 、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的右準(zhǔn)線，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn).（1） 當(dāng)時，求的面積；（2） 當(dāng)時，求的大??；（3） 求的最大值.解：（1）（2）因，則（1） 設(shè) ，當(dāng)時，2 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足 （1）求點(diǎn)T的軌跡C的方程； （2）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M， 使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，請說明理由.（1）解 ：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在QF1F2中，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是 （2）解：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是 由得，由得 所以，當(dāng)時，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時，不存在滿足條件的點(diǎn)M. 當(dāng)時，由，得3 已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn). （）求雙曲線C2的方程；（）若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個交點(diǎn)A和B滿足（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍.解：（）設(shè)雙曲線C2的方程為，則故C2的方程為（II）將由直線l與橢圓C1恒有兩個不同的交點(diǎn)得即 .由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點(diǎn)A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范圍為4已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1（4，0）、F2（4，0），過點(diǎn)F2，并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為B，且F1BF2B10橢圓上不同的兩點(diǎn)A（x1，y1）、C（x2，y2）滿足條件：F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列.（1）求該橢圓的方程；（2）求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為ykxm，求m的取值范圍.（1）解：由橢圓定義及條件知2aF1BF2B10，得a5.又c4， 所以b3故橢圓方程為1（2）解：由點(diǎn)B（4，yB）在橢圓上，得F2ByB方法一：因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x，離心率為根據(jù)橢圓定義，有F2A（x1），F(xiàn)2C（x2）由F2A、F2B、F2C成等差數(shù)列，得（x1）（x2）2 由此得出x1x28設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P（x0，y0）， 則x04（3）解法一：由A（x1，y1），C（x2，y2）在橢圓上，得9x1225y12925，9x2225y22925由得9（x12x22）25（y12y22）0，即9（）25（）（）0（x1x2）.將x0=4，y0，（k0）代入上式，得9425y0（）0（k0）由上式得ky0（當(dāng)k0時也成立）.由點(diǎn)P（4，y0）在弦AC的垂直平分線上，得y04km，所以my04ky0y0y0由P（4，y0）在線段BB（B與B關(guān)于x軸對稱）的內(nèi)部，得y0.所以m5 設(shè)x、yR，i、j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8.（1）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程.（2）過點(diǎn)（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)=+，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由.（1）解：a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8，點(diǎn)M（x，y）到兩個定點(diǎn)F1（0，2），F(xiàn)2（0，2）的距離之和為8.軌跡C為以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，方程為+=1.（2）l過y軸上的點(diǎn)（0，3），若直線l是y軸，則A、B兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).=+=0，P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾.直線l的斜率存在.設(shè)l方程為y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），消y得（4+3k2）x2+18kx21=0.此時，=（18k2）4（4+3k2）由 y=kx+3，+=1，（21）0恒成立，且x1+x2=，x1x2=.=+，四邊形OAPB是平行四邊形.若存在直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OAOB，即=0.=（x1，y1），=（x2，y2），=x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，即（1+k2）（）+3k（）+9=0，即k2=，得k=.存在直線l：y=x+3，使得四邊形OAPB是矩形.6 設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（）若是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求的最大值和最小值;（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.解：（）：易知所以，設(shè)，則因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長軸端點(diǎn)時，有最大值（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或7 如圖，直線ykxb與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記AOB的面積為S (I)求在k0，0b1的條件下，S的最大值； （)當(dāng)AB2，S1時，求直線AB的方程 (I)解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由，解得所以當(dāng)且僅當(dāng)時，S取到最大值1（）解：由得AB 又因?yàn)镺到AB的距離所以代入并整理，得解得，代入式檢驗(yàn)，0 故直線AB的方程是 或或或8 已知橢圓C：1（ab0）的左右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e 直線,l：yexa與x軸y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè)（）證明：1e2；（）若，MF1F2的周長為6；寫出橢圓C的方程；（理科無此問）（）確定的值，使得PF1F2是等腰三角形（）證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（） 由即 （）當(dāng)時，所以 由MF1F2的周長為6，得 所以 橢圓方程為（）因?yàn)镻F1l，所以PF1F2=90+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由 得 所以 即當(dāng)PF1F2為等腰三角形9 如圖,橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的一動直線繞點(diǎn) 轉(zhuǎn)動,并且交橢圓于、兩點(diǎn), 為線段的中點(diǎn)(1) 求點(diǎn)的軌跡的方程;(2) 若在的方程中,令確定的值,使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線最遠(yuǎn)此時設(shè)與軸交點(diǎn)為,當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動到什么位置時,三角形的面積最大?解：如圖 (1)設(shè)橢圓上的點(diǎn)、,又設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則 當(dāng)不垂直軸時， 由得 當(dāng) 垂直于軸時，點(diǎn)即為點(diǎn)，滿足方程（*） 故所求點(diǎn)的軌跡的方程為： (2)因?yàn)?橢圓右準(zhǔn)線方程是,原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線的距離為, 時,上式達(dá)到最大值,所以當(dāng)時,原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線最遠(yuǎn) 此時 設(shè)橢圓 上的點(diǎn)、, 的面積 設(shè)直線的方程為,代入中,得由韋達(dá)定理得令,得,當(dāng)取等號因此,當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動到垂直軸位置時, 三角形的面積最大9 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程橢圓方程為+y2=1或x2+=110設(shè)A、B分別為橢圓（）的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。（）求橢圓的方程；（）設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解()依題意得 解得 從而故橢圓方程為（）解法1：由（）得設(shè)M點(diǎn)在橢圓上， 又M點(diǎn)異于頂點(diǎn)A、B，由P、A、M三點(diǎn)共線可得 從而 將式代入式化簡得于是為銳角，從而為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。10 設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). （）若P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求的最大值和最小值； （）是否存在過點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.解：（）易知 設(shè)P（x，y），則 ，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時，有最小值3；當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時，有最大值4 （）假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k直線l的方程為 由方程組依題意 當(dāng)時，設(shè)交點(diǎn)C，CD的中點(diǎn)為R，則又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直線，使得|F2C|=|F2D|綜上所述，不存在直線l，使得|F2C|=|F2D| 11 已知圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足. （I）求點(diǎn)G的軌跡C的方程； （II）過點(diǎn)（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.解：（1）Q為PN的中點(diǎn)且GQPNGQ為PN的中垂線|PG|=|GN|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長半軸長，半焦距，短半軸長b=2，點(diǎn)G的軌跡方程是 （2）因?yàn)?，所以四邊形OASB為平行四邊形若存在l使得|=|，則四邊形OASB為矩形若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由矛盾，故l的斜率存在. 設(shè)l的方程為 把、代入存在直線使得四邊形OASB的對角線相等.12 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線y=x2的焦點(diǎn)，離心率等于.（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若=1，=2，求證1+2為定值.解：（I）設(shè)橢圓C的方程為，則由題意知b = 1.橢圓C的方程為 （II）方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）.將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得去分母整理得 13 、已知橢圓W的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點(diǎn)為，過左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.（）求橢圓W的方程；（）求證： ()；（）求面積的最大值. 解：（）設(shè)橢圓W的方程為，由題意可知解得，所以橢圓W的方程為 （）解法1：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.于是可設(shè)直線 的方程為得.由直線與橢圓W交于、兩點(diǎn)，可知，解得設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，,則，因?yàn)?，所以?又因?yàn)?，所?解法2：因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.于是可設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，,則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓的第二定義可得,所以，三點(diǎn)共線，即 ()由題意知 ，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立，所以面積的最大值為14 已知定圓圓心為A，動圓M過點(diǎn)B(1,0)且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C. （I）求曲線C的方程； （II）若點(diǎn)為曲線C上一點(diǎn)，求證：直線與曲線C有且只有一個交點(diǎn).解：（I）圓A的圓心為，設(shè)動圓M的圓心由|AB|=2，可知點(diǎn)B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A，故|MA|=r1r2，即|MA|+|MB|=4，所以，點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為，由故曲線C的方程為 （II）當(dāng)，消去 由點(diǎn)為曲線C上一點(diǎn)，于是方程可以化簡為 解得，綜上，直線l與曲線C有且只有一個交點(diǎn)，且交點(diǎn)為.15 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, 0), 動點(diǎn)C滿足條件：ABC的周長為22.記動點(diǎn)C的軌跡為曲線W.()求W的方程；()經(jīng)過點(diǎn)（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍；（）已知點(diǎn)M（，0），N（0, 1），在()的條件下，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由. 解：() 設(shè)C（x, y）, , , , 由定義知，動點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓除去與x軸的兩個交點(diǎn). . . W: . () 設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程，得. 整理，得. 因?yàn)橹本€l與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)P和Q等價于 ，解得或. 滿足條件的k的取值范圍為 （）設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則（x1+x2，y1+y2), 由得. 又 因?yàn)椋?所以. 所以與共線等價于. 將代入上式，解得. 所以不存在常數(shù)k，使得向量與共線.16、 已知定點(diǎn)及橢圓，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；（）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入， 消去整理得 設(shè) 則 由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是， 得，解得，適合. 所以直線的方程為 ，或 . （）解：假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為常數(shù). 當(dāng)直線與軸不垂直時，由（）知 所以 將代入，整理得 注意到是與無關(guān)的常數(shù)， 從而有， 此時 當(dāng)直線與軸垂直時，此時點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，當(dāng)時， 亦有 綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù).17、已知橢圓的離心率為，且其焦點(diǎn)F（c，0）(c0)到相應(yīng)準(zhǔn)線l的距離為3，過焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)M為右頂點(diǎn)，則直線AM、BM與準(zhǔn)線l分別交于P、Q兩點(diǎn)，（P、Q兩點(diǎn)不重合），求證：解：（1）由題意有 解得 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）若直線AB與軸垂直，則直線AB的方程是該橢圓的準(zhǔn)線方程為,， ， 當(dāng)直線AB與軸垂直時，命題成立。若直線AB與軸不垂直，則設(shè)直線AB的斜率為，直線AB的方程為又設(shè)聯(lián)立 消y得 又A、M、P三點(diǎn)共線， 同理， 綜上所述：18設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點(diǎn)P，交x軸正半軸于點(diǎn)Q， 且APQFOxy （1）求橢圓C的離心率； （2）若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l： 相切，求橢圓C的方程. 解：設(shè)Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知2分設(shè)，得4分因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以6分整理得2b2=3ac，即2（a2c2）=3ac，,故橢圓的離心率e8分由知，于是F（a，0）， QAQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a 所以，解得a=2，c=1，b=，所求橢圓方程為19 已知橢圓過點(diǎn)，且離心率e.（）求橢圓方程；（）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。由題意橢圓的離心率 橢圓方程為 又點(diǎn)在橢圓上 橢圓的方程為4分（）設(shè) 由消去并整理得6分直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，即8分又 中點(diǎn)的坐標(biāo)為9分設(shè)的垂直平分線方程：在上 即11分將上式代入得 即或 的取值范圍為20 已知橢圓C：1（ab0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)。（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率KON ；（2）對于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，試證：總存在角（R）使等式：cossin成立。解：(1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)?，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為： 易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），據(jù)題意有AB所在的直線方程為： 由，有： 設(shè)，弦AB的中點(diǎn)，由及韋達(dá)定理有： 所以，即為所求。 (2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使得等式成立。設(shè)，由1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：，所以。 又點(diǎn)在橢圓C上，所以有整理為。 由有：。所以 又AB在橢圓上，故有 將，代入可得：。 對于橢圓上的每一個點(diǎn)，總存在一對實(shí)數(shù)，使等式成立，而在直角坐標(biāo)系中，取點(diǎn)P（），設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為，顯然 。也就是：對于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，總存在角（R）使等式：cossin成立。21已知方向向量為的直線過橢圓C：1(ab0)的焦點(diǎn)以及點(diǎn)(0，)，橢圓C的中心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上。求橢圓C的方程。過點(diǎn)E(-2，0）的直線交橢圓C于點(diǎn)M、N，且滿足，(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的方程。解：直線，過原點(diǎn)垂直于的直線方程為解得，橢圓中心O(0，0)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上， 直線過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，故橢圓C的方程為 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè) ，代入并整理得，設(shè)，則 ， 點(diǎn)到直線的距離. ，即， 又由 得 ， 而，即， 解得，此時 當(dāng)直線的斜率不存在時，也有，經(jīng)檢驗(yàn)，上述直線均滿足，故直線的方程為 22 設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩個不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）證明：； （2）若的面積取得最大值時的橢圓方程（1）證明：由 得將代入消去得 由直線l與橢圓相交于兩個不同的點(diǎn)得整理得，即 （2）解：設(shè)由，得而點(diǎn), 得代入上式，得 于是，OAB的面積 其中，上式取等號的條件是即 由可得將及這兩組值分別代入，均可解出OAB的面積取得最大值的橢圓方程是23 如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m0），l交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn)。 （1）求橢圓的方程； （2）求m的取值范圍； （3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.解：（1）設(shè)橢圓方程為則橢圓方程為（2）直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m又KOM= 由 直線l與橢圓交于A、B兩個不同點(diǎn)，（3）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可 設(shè) 則由 而故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形. 24 已知橢圓的離心率為，F(xiàn)為橢圓在x軸正半軸上的焦點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，且，定點(diǎn)A（4，0）. （1）求證：當(dāng)時.，； （2）若當(dāng)時有，求橢圓C的方程； （3）在（2）的條件下，當(dāng)M、N兩點(diǎn)在橢圓C運(yùn)動時，當(dāng) 的值為6時, 求出直線MN的方程.解：（1）設(shè)，則，當(dāng)時，由M，N兩點(diǎn)在橢圓上，若，則（舍去）， 。 （2）當(dāng)時，不妨設(shè) 又， 橢圓C的方程為。 （3）因?yàn)?6, 由(2)知點(diǎn)F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|yM-yN|= 當(dāng)MNx軸時, |yM-yN|=|MN|=, 故直線MN的斜率存在, 不妨設(shè)直線MN的方程為聯(lián)立，得，=, 解得k=1。此時，直線的MN方程為，或。 25 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，是平面內(nèi)一動點(diǎn)，直線、的斜率之積為（）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（）過點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率的取值范圍解：（）依題意，有（），化簡得（），這就是動點(diǎn)的軌跡的方程；（）依題意，可設(shè)、，則有，兩式相減，得，由此得點(diǎn)的軌跡方程為（）設(shè)直線：（其中），則，故由，即，解之得的取值范圍是25 橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1-e, 直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且（1）求橢圓方程；（2）若，求m的取值范圍解：（1）設(shè)C：1（ab0），設(shè)c0，c2a2b2，由條件知a-c，a1，bc，故C的方程為：y21 （2）由得（），（1），14，3 設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2時，上式不成立；m2時，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（1，）（，1） 26 設(shè)向量，過定點(diǎn)，以方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)，以向量為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)過的直線與C交于兩個不同點(diǎn)M、N，求的取值范圍解：（1）設(shè)， 過定點(diǎn)，以方向向量的直線方程為：過定點(diǎn)，以方向向量的直線方程為：聯(lián)立消去得：求點(diǎn)P的軌跡C的方程為 （2）當(dāng)過的直線與軸垂直時，與曲線無交點(diǎn)，不合題意，設(shè)直線的方程為：，與曲線交于由 ，的取值范圍是27 已知曲線的方程為： （1）若曲線是橢圓，求的取值范圍； （2）若曲線是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角為，求此雙曲線的方程.解：（1）當(dāng) 它表示橢圓的充要條件是 （2）方程表示雙曲線的充要條件是： 當(dāng)其一條漸近線斜率為：此時雙曲線的方程為： 當(dāng)，雙曲線焦點(diǎn)在y軸上：其一條漸近線斜率為：綜上可得雙曲線方程為：28 如圖所示，已知圓，定點(diǎn)A（3,0），M為圓C上一動點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足，點(diǎn)N的軌跡為曲線E。 （1）求曲線E的方程； （2）求過點(diǎn)Q（2,1）的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。解：（1） 為的中垂線， 2分又因?yàn)?，所以所以動點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)和為焦點(diǎn)的橢圓，且 所以曲線的方程為：； （2）設(shè)直線與橢圓交與兩點(diǎn)，中點(diǎn)為由點(diǎn)差法可得：弦的斜率 由，Q（2,1）兩點(diǎn)可得弦的斜率為， 所以，化簡可得中點(diǎn)的軌跡方程為： 29 已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切.（1）求橢圓C1的方程；（2）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)F2，直線過點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點(diǎn)P，線段PF2垂直平分線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；（3）設(shè)C2與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R，S在C2上，且滿足，求的取值范圍.解：（1）， 直線l：xy+2=0與圓x2+y2=b2相切，=b，b=，b2=2，a3=3.橢圓C1的方程是（2）MPMF，動點(diǎn)M到定直線l1：x1的距離等于它的定點(diǎn)F2（1，0）的距離，動點(diǎn)M的軌跡是以l1為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線， 點(diǎn)M的軌跡C2的方程為。（3）Q（0，0），設(shè)， 由得 ， ，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又y2264，當(dāng). 故的取值范圍是. 30、已知橢圓是橢圓上縱坐標(biāo)不為零的兩點(diǎn)，若其中F為橢圓的左焦點(diǎn) （）求橢圓的方程； （）求線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍解：（）由已知，得 （）A、B是橢圓上縱坐標(biāo)不為零的點(diǎn)，A、F、B三點(diǎn)共線，且直線AB的斜率存在且不為0.又F（1，0），則可記AB方程為并整理得 顯然0，設(shè) 直線AB的垂直平分線方程為令x=0，得 “=”號，所以所求的取值范圍是 31 在直角坐標(biāo)系中，已知一個圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓，從這個圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP，P為垂足. （1）求線段PP中點(diǎn)M的軌跡C的方程； （2）過點(diǎn)Q(2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過點(diǎn)，且以為方向向量的直線上一動點(diǎn)，滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.解：（1）設(shè)M(x，y)是所求曲線上的任意一點(diǎn)，P（x1，y1）是方程x2 +y2 =4的圓上的任意一點(diǎn)，則 則有：得， 軌跡C的方程為 （1）當(dāng)直線l的斜率不存在時，與橢圓無交點(diǎn). 所以設(shè)直線l的方程為y = k(x+2)，與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，N點(diǎn)所在直線方程為 由 由= 即 即，四邊形OANB為平行四邊形 假設(shè)存在矩形OANB，則，即， 即， 于是有 得 設(shè)， 即點(diǎn)N在直線上. 存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為32 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足 （）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明； （）求點(diǎn)T的軌跡C的方程； （）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由解 （）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得又由知，所以 （） 當(dāng)時，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上當(dāng)且時，由，得又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn)在QF1F2中，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是 （） C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是由得，由得 所以，當(dāng)時，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時，不存在滿足條件的點(diǎn)M當(dāng)時，由，得33 已知直線相交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB上的一點(diǎn)，且點(diǎn)M在直線上. （）求橢圓的離心率； （）若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在單位圓上，求橢圓的方程.解：（）由知M是AB的中點(diǎn)，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為由，M點(diǎn)的坐標(biāo)為又M點(diǎn)的直線l上： （）由（）知，不妨設(shè)橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為關(guān)于直線l：上的對稱點(diǎn)為，則有由已知，所求的橢圓的方程為34 已知圓M：（x+）2+y2=36及定點(diǎn)N（，0），點(diǎn)P是圓M上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足.（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程.（2）過點(diǎn)K（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.解：（1）為PN的中點(diǎn)，且GQ是PN的中垂線.又點(diǎn)G的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，的軌跡方程是 （2）四邊形OASB為平行四邊形，假設(shè)存在直線，使；則四邊形OASB為矩形.若直線的斜率不存在，則的方程為.，這與=0矛盾，故的斜率存在. 設(shè)直線的方程為、. 又 存在直線滿足條件. 35 已知直線l: y2x與橢圓C:y2 1 (a1)交于P、Q兩點(diǎn), 以PQ為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A. (1) 設(shè)PQ中點(diǎn)M(x0,y0), 求證: x0 (2)求橢圓C的方程.解: (1)設(shè)直線l: y2x與橢圓C: y2 1 (a1)交于P(x1,y1),Q(x2,y2), 右頂點(diǎn)A(a,0), 將y2x代入x2a2y2a20中整理得(4a21)x24a2x2a20 M(x0,y0)為PQ中點(diǎn) x0 故x0(2)依題意: 0, 則(x1a)(x2a)y1y20 又y12x1, y22x2故 (x1a)(x2a)(2x1)(2x2)0 由代入 得: 4a44a3a230(a)(4a2a)0 a1, 則4a2a0 故a故所橢圓方程為 y2136 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn) （1）若直線的傾斜角，求； （2）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡； （3）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍解：（1）直線方程為與聯(lián)立得 （2）設(shè)弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為依題意有 所以弦AB的中點(diǎn)M的軌跡是以為中心，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為1，短軸長為的橢圓。 （3）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個不等實(shí)根。記中點(diǎn) 則的垂直平分線NG的方程為令得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為 37 設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)。（）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)。（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。解：（）易知。， 聯(lián)立，解得，（）顯然 可設(shè)聯(lián)立 由 得 又， 又 綜可知38已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線上.（）求此橢圓的離心率；（）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的在圓上，求此橢圓的方程.解：（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 得, 根據(jù)韋達(dá)定理，得 線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）. 由已知得 故橢圓的離心率為（2）由（1）知從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為解得。由已知得 ，故所求的橢圓方程為 .39 橢圓C：的兩個焦點(diǎn)分別為 ,是橢圓上一點(diǎn)，且滿足。 （1）求離心率e的取值范圍（2）當(dāng)離心率e取得最小值時，點(diǎn)N( 0 , 3 )到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為5(i)求此時橢圓C的方程(ii)設(shè)斜率為k(k0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，問A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)P（0，- ）、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由。解：(1)、由幾何性質(zhì)知的取值范圍為：e1 (2)、(i) 當(dāng)離心率e取最小值時，橢圓方程可表示為+ = 1 。設(shè)H( x , y )是橢圓上的一點(diǎn)，則| NH |2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 ，其中 - byb若0b3 ，則當(dāng)y = - b時，| NH |2有最大值b2+6b+9 ，所以由b2+6b+9=50解得b = -35(均舍去) 若b3，則當(dāng)y = -3時，| NH |2有最大值2b2+18 ，所以由2b2+18=50解得b2=16所求橢圓方程為+ = 1 (ii) 設(shè) A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 )，Q( x0 , y0 )，則由兩式相減得x0+2ky0=0；又直線PQ直線l，直線PQ的方程為y= - x - ，將點(diǎn)Q( x0 , y0 )坐標(biāo)代入得y0= - x0- 由解得Q( - k , )，而點(diǎn)Q必在橢圓的內(nèi)部 + 1，由此得k2 ，又k0 - k 0或0 k 故當(dāng)( - , 0 ) ( 0 , )時，A、B兩點(diǎn)關(guān)于過點(diǎn)P、Q、的直線對稱40 如圖，直線y=kx+b與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記AOB的面積為S （I）求在k=0，0b1的條件下，S的最大值； （II）當(dāng)|AB|=2,S=1時，求直線AB的方程解：（）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值（）解：由得， 設(shè)到的距離為，則， 又因?yàn)?，所以，代入式并整理，得，解得，代入式檢驗(yàn)，故直線的方程是或或，或41、已知定點(diǎn)A（2，0），動點(diǎn)B是圓F：（F為圓心）上一點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P. （1）求動點(diǎn)P的軌跡E的方程； （2）直線交于M，N兩點(diǎn)，試問在曲線E位于第二象限部分上是否存在一點(diǎn)C，使共線（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意因此點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓. 設(shè)所求橢圓的方程為點(diǎn)P的軌跡方程為 （2）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)由 又又所以存在滿足題意的點(diǎn)C（）42 已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程； （3）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足求的取值范圍.解：（） 直線相切， 橢圓C1的方程是 （）MP=MF2，動點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F1（1，0）的距離，動點(diǎn)M的軌跡是C為l1準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線 點(diǎn)M的軌跡C2的方程為 （）Q（0，0），設(shè) ，化簡得 當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立 當(dāng)?shù)娜≈捣秶?3 設(shè)分別是橢圓C：的左右焦點(diǎn)(1)設(shè)橢圓C上的點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)B的軌跡方程(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C 上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM ，PN的斜率都存在，并記為 試探究的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。解：（1）由于點(diǎn)在橢圓上， 2=4, 橢圓C的方程為 -焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0） ，（1，0）（2）設(shè)的中點(diǎn)為B（x, y）則點(diǎn) 把K的坐標(biāo)代入橢圓中得 線段的中點(diǎn)B的軌跡方程為（3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 設(shè) ，得=故：的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時與直線L無關(guān)，44 已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為 （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時，求的最小值解（I）由題意得所求的橢圓方程為， （II）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則， 設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為145如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)連結(jié)交小圓于點(diǎn)設(shè)直線是小圓的切線（1）證明，并求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，證明（）證明：由題設(shè)條件知，故 ，即因此， 解：在中 于是，直線OA的斜率設(shè)直線BF的斜率為，則 這時，直線BF與軸的交點(diǎn)為()證明：由（），得直線BF得方程為且 由已知，設(shè)、，則它們的坐標(biāo)滿足方程組 由方程組消去，并整理得 由式、