小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)第七講：旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算課件.docVIP

第七講 旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算分別以矩形、直角三角形、直角梯形的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)（下圖）旋轉(zhuǎn)軸叫做它們的軸，在軸上這條邊的長(zhǎng)度叫做它們的高，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而形成的圓面叫做它們的底面，不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做它們的側(cè)面，這條邊無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，都叫做旋轉(zhuǎn)體的母線(xiàn)圓柱的側(cè)面展開(kāi)后是個(gè)矩形，它的寬是圓柱的母線(xiàn)，長(zhǎng)是圓柱底面的周長(zhǎng)由此可得S圓柱側(cè)2rl，其中l(wèi)是圓柱側(cè)面的母線(xiàn)長(zhǎng)，r是底面半徑（下左圖）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如上頁(yè)下角圖這個(gè)扇形的半徑是圓錐的母線(xiàn)，弧長(zhǎng)是圓錐底面的周長(zhǎng)，于是可得其中l(wèi)是圓錐側(cè)面的母線(xiàn)，C是圓錐底面的周長(zhǎng)，r是圓錐底面的半徑圓臺(tái)是用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截圓錐而得到的，所以圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是兩個(gè)扇形的差，常叫扇環(huán)形這個(gè)扇環(huán)形的寬是圓臺(tái)側(cè)面的母線(xiàn)，外弧長(zhǎng)和內(nèi)弧長(zhǎng)分別是圓臺(tái)的下底面和上底面的周長(zhǎng)，于是可得其中l(wèi)是圓臺(tái)側(cè)面母線(xiàn)長(zhǎng)， C上、 C下分別是圓臺(tái)上底和下底周長(zhǎng)， r上、 r下分別是圓臺(tái)上底和下底的半徑（如下圖）圓柱的體積等于它的底面積S與高h(yuǎn)的乘積，即V圓柱Shr2h，其中r為圓柱底面的半徑圓錐的體積等于它的底面積S與高h(yuǎn)的積的三分之一，圓臺(tái)的體積是其中，r上、r下分別是上底和下底的半徑例1 甲、乙兩個(gè)圓柱形水桶，容積一樣大，甲桶底圓半徑是乙桶的1.5倍，乙桶比甲桶高25厘米，求甲、乙兩桶的高度分析與解答 如下圖由題意，設(shè)乙桶半徑為r，則甲桶半徑為1.5r；甲桶高度為h，則乙桶高度為h25，則（1.5r）2hr2（h25）， 2.25r2hr2（h25），2.25hh25，h20（厘米），h2545（厘米）答：甲桶高度為20厘米，乙桶高度為45厘米例2 一塊正方形薄鐵板的邊長(zhǎng)是22厘米，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，沿弧剪下一個(gè)扇形，用這塊扇形鐵板圍成一個(gè)圓錐筒，求它的容積（結(jié)果取整數(shù)部分）筒底的周長(zhǎng)2r11，解得r5.5厘米因?yàn)槟妇€(xiàn)長(zhǎng)是22厘米，所以圓錐的高答：所求圓錐筒的容積約為674立方厘米為2米，圓錐的高為1米，這堆谷重約多少公斤（谷的比重是每立方米重720公斤，結(jié)果取整數(shù)部分）？ 答：這堆谷子重約306公斤例4 有一個(gè)倒圓錐形的容器，它的底面半徑是5厘米，高是10厘米，再把石子全部拿出來(lái)，求此時(shí)容器內(nèi)水面的高度解：如上頁(yè)圖，設(shè)石子取出后，容器內(nèi)水面高度為x厘米，則倒圓錐容器的容積等于水的體積加上石子的體積根據(jù)體積公式有x3(5210196）45442783323，x6答：石子取出后，容器內(nèi)水面的高為6厘米例5 有一草垛，如下圖，上部是圓錐形，下部是圓臺(tái)形，圓錐的高為07米，底面圓周長(zhǎng)為6.28米，圓臺(tái)的高為1.5米，下底面周長(zhǎng)為4.71米如果每立方米草約重150公斤，求這垛草的重量（結(jié)果取整數(shù)部分）分析與解答圓錐的體積： 圓臺(tái)上底半徑：r上r1米， 草垛體積為： V圓錐V圓臺(tái)0.733.634.36（立方米），故草垛的重量為：1504.36654（公斤）答：草垛約重654公斤例6 如下右圖，在長(zhǎng)為35厘米的圓筒形管子的橫截面上，最長(zhǎng)直線(xiàn)段為20厘米，求這個(gè)管子的體積分析 如上左圖，AB是截面圓環(huán)的最長(zhǎng)直線(xiàn)段，O是截面圓環(huán)的圓心過(guò)O作AB的垂線(xiàn)，垂足是C，以 O為圓心，以O(shè)C為半徑作圓，即管截面的內(nèi)圓周連結(jié)AO，根據(jù)勾股定理有：AO2AC2CO2，AO2OC2AC2，同理AO2OC2BC2，S圓環(huán)AO2OC2（AO2OC2） 解：先求出管子橫截面的圓環(huán)面積為則管子的體積為：r2外徑hr2內(nèi)徑h圓環(huán)面積h100353500（立方厘米）答：這個(gè)管子的體積為3500立方厘米例7 一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為16厘米，寬為12厘米以它的一條對(duì)角線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)此長(zhǎng)方體，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體求這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積（結(jié)果中保留，即不用近似值代替）分析與解答 如下圖，記這個(gè)長(zhǎng)方形為ABCD，對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)為O過(guò)O作EF垂直于AC，分別交 BC、 AD于 E、 F由對(duì)稱(chēng)性知道：EOOF設(shè)P為AO上的任一點(diǎn)，過(guò)P作AO的垂線(xiàn)，分別交折線(xiàn)ABE和線(xiàn)段 AF于 M和N，那么MPPN因此，四邊形ABEF繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體即為四邊形ABEO繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體同樣，四邊形CDFE繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體即為四邊形CDFO繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體并且，由于對(duì)稱(chēng)性，四邊形ABEO與CDFO是完全一樣的，因此由它們繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體也是完全一樣的這樣，這兩個(gè)立體的體積相等所以，長(zhǎng)方形ABCD繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體的體積等于四邊形ABEO繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體的體積的兩倍記由長(zhǎng)方體ABCD繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體為W，由四邊形ABEO繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體為U，由ABB（B在AO上，BB垂直于AO）、四邊形BEOB繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體分別記為U1、U2顯然，U1與U2有一條公共的邊界（由BB旋轉(zhuǎn)而成的圓），且U1與U2合成U因此Vw2VU2（VU1VU2）由AB12厘米，BC16厘米及勾股弦定理得：BB9.6厘米在直角三角形ABB中再用勾股弦定理，得AB7.2厘米，所以BOAOAB2.8厘米U1是一個(gè)圓錐，底面半徑BB9.6厘米，高AB7.2厘米，所以U2是一個(gè)圓臺(tái)，它是大、小兩個(gè)圓錐的差，大圓錐以 BB為底面半徑，CB為高，小圓錐以EO為底面半徑，CO為高，容易知道CBCOOB12.8厘米，由EO：OCAB：BC可以求出EO7.5厘米因此所以 853.8（立方厘米）答：所求的旋轉(zhuǎn)體體積為853.8立方厘米習(xí)題七一、填空題：1一個(gè)圓柱體的側(cè)面積是m平方厘米，底面半徑是2厘米，它的體積是_立方厘米2一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為8厘米，底面直徑為12厘米，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積等于_平方厘米3圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2厘米和5厘米，母線(xiàn)長(zhǎng)為4厘米，那么這個(gè)圓臺(tái)的表面積等于_4用半徑為2厘米的半圓形鐵皮卷成的圓錐形容器，則它的底面半徑為_(kāi)厘米，容積是_立方厘米5一個(gè)圓錐的高是10厘米，側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，那么圓錐的側(cè)面積等于_二、選擇題：1一個(gè)圓柱體高80厘米，側(cè)面積為1.5平方米，它的全面積是_（精確到0.01平方米）（A）1.78平方米 （B）2.06平方米（C）3.74平方米 （D）5.25平方米2圓錐的側(cè)面積為4272平方厘米，母線(xiàn)長(zhǎng)為17厘米，那么圓錐的高是_（精確到001厘米）（A） 5.75厘米（B）15厘米（C） 16.52厘米 （D）5.25厘米3圓柱的一個(gè)底面積是S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是_（A）4S（B）2S4母線(xiàn)和底面直徑相等的圓錐叫做等邊圓錐，一個(gè)等邊圓錐的底面半徑是5厘米，那么它的側(cè)面積是_（A） 25平方厘米 （B） 50平方厘米（C） 100平方厘米 （D） 250平方厘米5把一個(gè)底面半徑是1厘米的圓柱體側(cè)面展開(kāi)，得到一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱體的體積是立方厘米（取r3.14）（A） 1 （B） 3.14（C） 3.143.14 （D） 3.146.286長(zhǎng)、寬分別為6寸、4寸的長(zhǎng)方形鐵片，把它圍成一個(gè)圓桶，另加一個(gè)底，形成圓柱形的杯子，這個(gè)杯子的最大容積是_ 三、解答題：1一個(gè)底面直徑是20厘米的圓柱形容器中裝著水，水中放置一個(gè)底面半徑是9厘米，高20厘米的鐵質(zhì)圓錐體，當(dāng)圓錐從桶中取出后，桶內(nèi)的水將下降多少厘米？2在一只底面半徑為20厘米的圓柱形小桶里，有一半徑為10厘米的圓柱形鋼材浸在水中當(dāng)鋼材從桶里取出后，桶里的水下降了3厘米求這段鋼材的長(zhǎng)3有A、B兩個(gè)容器，如下頁(yè)圖，先將A容器注滿(mǎn)水，然后倒入B容器，求B容器的水深（單位：厘米）4從一個(gè)底面半徑為3厘米，高為4厘米的圓柱中，挖去一個(gè)以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點(diǎn)的圓錐，得到一個(gè)如下圖的幾何體求這個(gè)幾何體的表面積和體積5圓錐形煙囪帽的底的半徑是40厘米，高是30厘米，計(jì)算它的側(cè)面面積若煙囪表面要涂油漆，已知每平方米需要油漆150克，問(wèn)需油漆多少克？6一個(gè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為25厘米，而兩個(gè)底面半徑之比為1：3，已知圓臺(tái)的側(cè)面積等于1000平方厘米，求這個(gè)圓臺(tái)的全面積7把一條導(dǎo)線(xiàn)以螺旋狀繞在圓柱管上，繞成十圈，圓柱管的外圓周長(zhǎng)4厘米，導(dǎo)線(xiàn)的兩端點(diǎn)位于圓柱的同一條母線(xiàn)上，每線(xiàn)長(zhǎng)（兩端點(diǎn)之間的距離）為9厘米試求導(dǎo)線(xiàn)的長(zhǎng)度8在長(zhǎng)為1米的圓筒形管子的橫截面上，最長(zhǎng)直線(xiàn)段為12厘米，求此管子的體積9如下頁(yè)圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB3厘米，BC4厘米，如果以BC為底邊，折成一個(gè)底面為正方形的長(zhǎng)方體，加蓋后其體積為V1；如果以AB為底邊，同樣折成一個(gè)長(zhǎng)方體，其體積為V2 ，求V1V2如果以 BC為底邊，把紙卷成一個(gè)圓柱，其體積為V3；如果以 AB為底邊，把紙片卷成一個(gè)圓柱，其體積為V4，求V3V4（取3.14）這四個(gè)不同形狀的形體，加蓋后其表面積之比又分別是多少（即求S1S2和S3S4）？10一個(gè)幾何體如下圖，求它的表面積習(xí)題七解答一、1m立方厘米；248（平方厘米）；3 57（平方厘米）5設(shè)圓錐母線(xiàn)為l厘米，底面半徑為r厘米，根據(jù)題意有l(wèi)2r故二、三、x5.4（厘米）2設(shè)這段鋼材長(zhǎng)為x厘米，則2023102x，x12厘米 h4.8厘米4因?yàn)榈酌姘霃綖?厘米，高為4厘米，所以挖掉圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)等于3.1420006280（平方厘米）0.628（平方米），0.62815094.2（克）6設(shè)圓臺(tái)上底半徑為x厘米，則（x3x）2