淺談微分方程的起源與發(fā)展史.doc

.淺談微分方程的起源與發(fā)展史摘要:微分方程起源于17世紀，簡單的微分方程分別是牛頓、萊布尼茨和伯努利從幾何和力學問題上解決的問題。這些早期發(fā)現(xiàn)開始于1690年，這逐漸導致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的發(fā)展。雖然這些特殊的技術(shù)只適用于相對較少的情況下，但是他們可以解決許多微分方程在力學和幾何中的問題，所以，他們的研究具有非常重要的現(xiàn)實意義。這些特殊的方法和問題，將有助于我們解決很多問題。引言：很多的科學問題是需要人們根據(jù)事物的變化率來確定事物的特征。比如，我們可以試著用已知的速度或加速度來計算粒子的位置，又比如，一些放射性物質(zhì)可能是已知的衰變率，這就要求我們在一個給定的時間內(nèi)確定材料的總量。通過這些例子，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果知道自變量、未知函數(shù)以及函數(shù)的導數(shù)（或者微分）組成的關(guān)系式，得到的就是微分方程。最后再通過微分方程求出未知函數(shù)。關(guān)鍵字：微分方程 起源 發(fā)展史 一、微分方程的思想萌芽 微分方程就是聯(lián)系著自變量，未知函數(shù)以及其導數(shù)的關(guān)系式。微分方程理論的發(fā)展是跟隨著微積分理論的建立發(fā)展起來的，一般地，客觀世界的時間要服從一定的客觀規(guī)律，這種連接，用數(shù)學語言表達，即是抽象為微分方程，一旦獲得或研究的解決方案是明確的空氣動力學行為，變量之間的規(guī)律是一目了然的。例如在物體運動中，唯一的計算就與瞬間速度之間有著緊密的聯(lián)系，其結(jié)果往往形成一個微分方程，一旦求出解或研究清楚氣動力學行為，就明確的掌握了物體的運動規(guī)律。 1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世紀，簡單的微分方程分別是牛頓、萊布尼茨和伯努利從幾何和力學問題上解決的問題。這些早期發(fā)現(xiàn)開始于1690年，這逐漸導致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的發(fā)展。1.2微分方程在實際問題中的應用：運用微分方程理論解決一些實際問題，即根據(jù)生物學，物理學，化學，幾何學等學科的實際問題及相關(guān)知識建立微分方程，討論該方程解的性質(zhì)，并由所得的解或解的性質(zhì)反過來解釋該實際過程。物質(zhì)運動和它的變化規(guī)律在數(shù)學上是用函數(shù)關(guān)系描述的,但是在實際問題中往往不能直接寫出反映運動規(guī)律的函數(shù),卻比較容易建立這些變量與他們的導數(shù)之間的關(guān)系式,即微分方程。只有一個自變量的微分方程稱為常微分方程,簡稱微分方程。例1 傳染病模型傳染?。ㄎ烈撸┙?jīng)常在全世界各地流行，假設傳染病傳播期間其他地區(qū)的總?cè)藬?shù)不變，為常數(shù)，最開始的染病人數(shù)為，在時的健康人數(shù)為，染病人數(shù)為。因為 總?cè)藬?shù)為常數(shù)所以可得到式子 假設單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當時的健康人數(shù)成正比，且比例常數(shù)為，稱為傳染系數(shù)，于是即可得到式子 由和可得 這個模型就是SI模型，即易感染者模型和已感染者模型。對于無免疫的傳染性疾病如痢疾、傷風等等，病人在治愈以后還會有再次被感染的危險。所以我們可以假設單位時間內(nèi)的治愈率為，那么方程就應該修改為 由和可得 ， 這個模型稱為SIS模型，就是這個傳染病的平均傳染期，為整個傳染期內(nèi)每個病人有下接觸的平均人數(shù)（平均接觸數(shù)）。對于很強免疫性的傳染性疾病例如天花、流感等等，病人治愈以后不會有再被傳染的機會。我們就可以假設在時刻的治愈后的免疫人數(shù)為，稱為移出者，且治愈率為常數(shù)，所以可得 根據(jù)、和可得 這個模型稱為SIR模型，綜上所述三個類型的傳染病模型、和均為微分方程微分方程就是根據(jù)此種生物類型的實際問題和其他的物理、幾何、化學等的實際問題所受到的啟發(fā)。2、 微分方程的推導 1.1術(shù)語和記號當我們用微分方程處理問題時，習慣性地用替代，用替代，更高階的導數(shù)可以記為、等。當然其他字母，如,等等都可以用來代替.微分方程的階，意思是出現(xiàn)在其中的導數(shù)的最高階數(shù)。例如，是一階，微分方程就是一個二階方程。 1.2 微分方程的推導 三、微分方程有哪些類型微分方程的類型：常微分方程（自變量的個數(shù) 1個）；偏微分方程（自變量的個數(shù)2或2個以上） 1.1 常微分方程（自變量的個數(shù)只有1個）： 上述兩個常微分方程（自變量： 未知函數(shù)：） 常微分方程的發(fā)展階段： 發(fā)展初期就是對具體的常微分方程希望能用初等函數(shù)或超越函數(shù)表示其解，屬于“求通解”時代。萊布尼茨（Leibniz）曾經(jīng)專門有研究利用變量變換解決一階微分方程的求解問題。 早期的常微分方程的求解熱潮被劉維爾（Liouville）于1841年證明里卡帝方程不存在一般的初等解而中斷。再加上柯西（Cauchy）初值問題的提出，常微分方程從“求通解”轉(zhuǎn)向了“求定解”時代。首先是對常微分方程定解問題包括初值和邊值問題的解的存在性、唯一性等解的性質(zhì)的研究；其次，是針對線性微分方程，特別是二階線性微分方程，通過專門定義一些特殊函數(shù)以求解特殊方程，比如貝塞爾（Bessel）函數(shù)、勒讓德（Legendre）多項式等，這就促成了微分方程與復變函數(shù)論結(jié)合產(chǎn)生微分方程解析理論。最后，因為天文計算的需要促進了常微分方程攝動理論以及小參數(shù)、冪級數(shù)等近視方法的研究。 19世紀末，天體力學中的太陽系穩(wěn)定性問題需要研究常微分方程解的大范圍形態(tài)，從而使常微分方程的研究從“求定解問題”轉(zhuǎn)為“求所有解”的新時代。 首先，龐加萊創(chuàng)立了定性理論和方法研究常微分方程解的大范圍性態(tài)。因為希爾伯特（Hilbert）提出20世紀23個數(shù)學問題中關(guān)于極限環(huán)個數(shù)的第16問題，大大促進了定性理論的發(fā)展。 然后，就是李雅普諾夫（Lyapunov）提出的運動穩(wěn)定性理論，用于解決方程解的初值擾動不影響原方程解得趨勢問題，在工程技術(shù)、天文、以及物理中得到廣泛應用，先后在前蘇聯(lián)，美國都受到了很大的重視。 最后，20世紀初，伯克霍夫（Birkhoff）在動力系統(tǒng)方面開創(chuàng)了一個新的領域，因為拓撲方法的滲入，20世紀50年代后經(jīng)阿諾的（Arnold）、斯梅爾（Smale）等數(shù)學界的加入和參與，從而得到了蓬勃發(fā)展。 20世紀六七十年代以后，常微分方程由于計算機技術(shù)的發(fā)展從而迎來了一個新的時期，從“求所有解”轉(zhuǎn)化為“求特殊解”的一個時代，還發(fā)現(xiàn)了具有新性質(zhì)的特殊的解和方程。在20世紀60年代洛倫茲發(fā)現(xiàn)了成為Lorenz方程的常微分方程，對初值敏感的特性導致了混沌現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)引起了科學界的巨大震動，斯梅爾稱之為“利用牛頓的定律推翻了牛頓決定論”。 常微分方程的研究還跟其他領域和學科相結(jié)合，從而出現(xiàn)各種新的研究分支，比如說時標微分方程、脈動微分方程、分支理論、控制論、泛函微分方程、種群生態(tài)學、廣義微分方程等。例2 化學動力模型 1972年，化學家Schlogt提出了分子反省的化學動力學模型。設想一個化學反應體系內(nèi)部包含三種化學成分、和，、是反應物，為中間產(chǎn)物，進行這樣一組化學反應： , 即類的一個分子反應后變?yōu)轭惖囊粋€分子；類得一個分子與類的兩個分子反應后變成3個類分子，相應的反應率分別為和；同時假定反應是可逆的，相應的反應率分別為和，此處、均為正常數(shù)；、分別代表類、類和類的分子數(shù)。 既定反應過程不涉及任何熱效應，所有成分組成一個理想溶液，反應動力學滿足質(zhì)量作用定律，于是有反應引起的各組成成分濃度的變化速率為 當反映的條件是固定時，所有速率系數(shù)都是恒定的，設除了由于化學反應以外各成分的濃度還是可以通過和外界環(huán)境的交換而變化，其中成分與外界的交換速率為，于是各成分濃度的變化方程為 如果只有成分和成分可以和外界交換，并通過交換而維持它們在體系中的濃度恒定，成分并不能和外界交換，它的濃度完全決定與體系內(nèi)部的動力學，所以就有方程 在這種情況下體系的狀態(tài)僅有單個變量來表征，并且有 這就是Schlogt單分子化學動力學模型。 考慮有兩個中間變量的化學反應體系 但這些發(fā)行步驟的總結(jié)果是 其中和是反應物和產(chǎn)物，假定他們的濃度可由外界控制為恒定，和是兩種反應中的中間產(chǎn)物，他們的濃度可以自由發(fā)展，逆反應過程可以完全忽略（自催化），則有反應方程 這是一類雙分子化學動力學模型。 現(xiàn)設一開放的體系中進行著下面一系列化學反應 假定反應過程是恒定和均勻的，產(chǎn)物，一經(jīng)產(chǎn)生即可除去，反應物濃度很高，無擴散，此時對和的反應動力學方程為 化簡上述式子可得： 此式子是3分子化學動力學模型。 終上所述、和分子的化學反應模型均為常微分方程。 1.2偏微分方程：偏微分方程是微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個自變量，如果一個微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導數(shù)，或者說如果未知函數(shù)和幾個變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對應幾個變量的導數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程（自變量的個數(shù)為2個或2個以上）。 上述微分方程的自變量：、 未知函數(shù)： 因為上述微分方程的自變量個數(shù)為3，所以該微分方程為偏微分方程。 此微分方程的自變量：、 未知函數(shù)：因為此微分方程的自變量個數(shù)為2，所以該微分方程為偏微分方程。1.2.1 偏微分方程為題的來源 偏微分方程是由最初研究直接來源于幾何和物理的問題最后發(fā)展到一個獨立的數(shù)學分支，它的內(nèi)容比較龐大復雜，方法多種多樣。偏微分方程所討論的問題也不僅僅是來源于幾何、化學、物理、生物、力學等學科的問題，而且再解答這些問題是運用到了現(xiàn)代數(shù)學的許多工具。近幾十年來，在這個領域研究的工作，特別是對非線性方程的理論、運用以及計算方法的研究都能起到了極大的推動作用，十分活躍。 自然界中的各種運輸現(xiàn)象，比如分子擴散過程和熱傳導過程等等，都是可以用票無形偏微分方程的。自然界中各種穩(wěn)定的物理現(xiàn)象，比如濃度分布、穩(wěn)定的溫度分布、無旋穩(wěn)定恒電流場、靜電場等與時間無關(guān)的自然現(xiàn)象，那么這就可以建立位勢方程這樣的數(shù)學模型了，這就是純正的數(shù)學中橢圓型微分方程進入穩(wěn)定的物理現(xiàn)象的中間橋梁。自然界是一個特別大的系統(tǒng)，所以必然現(xiàn)象不過只是他其中的一個子系統(tǒng)。然而波動系統(tǒng)、運輸現(xiàn)象和穩(wěn)定的物理現(xiàn)象又是必然現(xiàn)象的下一層次的三個子系統(tǒng)。與之相對應的用來描述必然現(xiàn)象的數(shù)學模型的經(jīng)典數(shù)學，它們分別是雙曲型、拋物型以及橢圓型偏微分方程這三個字系統(tǒng)。所以，同樣是自然界中的必然現(xiàn)象，但還是存在著層次上的差別。我們最后在建立數(shù)學模型的時候，應該建立那種模型，這就需要我們具體問題具體分析了。1.2.2偏微分方程的發(fā)展過程 在十八世紀，歐拉在他的著作中最早的提出了弦振動的而解方程而后不就，法國數(shù)學家達朗貝爾也在他的著作論動力學中提出了特殊的偏微分方程。在1747年的時候，達朗貝爾又在他的論文張緊的弦振動時形成的曲線的研究中有明確的說出弦的震動所滿足的偏微分方程，并且還給出了其通解。而且還提議說證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。就這樣由對弦振動的研究開創(chuàng)了偏微分方程這門學科。所以說，達朗貝爾那次所發(fā)表的論文張緊的弦振動時形成的曲線的研究就被看作為偏微分方程論的開端。不僅如此，丹尼爾貝努利也有研究數(shù)學物理方面的問題，并且還提出了了解彈性系振動問題的一般方法，這對偏微分方程的發(fā)展也起了比較大的作用。還有拉格朗日也有討論一階偏微分方程，更加豐富了這門學科的內(nèi)容。 偏微分方程是在十九世紀得到了迅速的發(fā)展，因為那時候有許多的數(shù)學物理問題的研究都多了起來，而且也有許多的數(shù)學家對那些問題的解決都做出了貢獻。現(xiàn)在我們就談一談這其中的一位，他就是法國的數(shù)學家傅里葉，在他年輕的時候，他就是一個很出色的數(shù)學學者。他在對熱流動的研究中，寫出了熱的解析理論，并且他在文章中提出了三維空間的熱方程，而且他還解決它特殊條件下的熱傳導問題，也就是滿足邊界條件和初始條件的偏微分方程的求解。這種熱方程就是一種偏微分方程。他的研究對于偏微分方程的發(fā)展有著非常大的影響。1.2.3 偏微分方程的發(fā)展趨勢 隨著物理學研究現(xiàn)象的廣度和深度的拓展，偏微分方程的運用范圍就更加的廣泛。我們從數(shù)學自身的角度看，可以發(fā)現(xiàn)偏微分方程的求解促使著數(shù)學在函數(shù)論、常微分方程、微分幾何、變分法、代數(shù)、級數(shù)展開的方面進行發(fā)展。由此可見，偏微分方程就變成了數(shù)學的中心。 20世紀很多數(shù)學家和物理學家在關(guān)于數(shù)學物理方程的研究有著前所未有的發(fā)展，這些發(fā)展有著如下的特點以及趨勢： 1.在很多大自然科學以及工程技術(shù)中所提及的數(shù)學問題大多都是非線性偏微分方程，即使是有部分的線性偏微分方程的問題，但是由于最后研究的深入，我們還是要考慮非線性偏微分方程的問題，而且研究非線性偏微分方程難度很大，但是對線性偏微分方程的已有結(jié)論很有啟示。 2.實踐中的問題大多數(shù)都是由多種因素相互影響、相互作用的。所以有很多數(shù)學模型都是由非線性偏微分方程組成的。比如說：電磁流體力學方程組、反應擴散方程組、輻射流體方程組、流體力學方程組等等，這在數(shù)學上稱之為雙曲-拋物線方程組。 3.偏微分方程現(xiàn)在不僅僅只是描述力學、物理等的數(shù)學模型，而且還能描述生物學、化學、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學以及環(huán)保領域，甚至還在經(jīng)濟等社會科學領域都能不斷的提出一些重要的偏微分方程。 4.隨著科技的不斷發(fā)展，偏微分方程也在不斷的發(fā)展、進步和完善。 例3馬爾薩斯模型(偏微分方程在人口問題中的應用)人口問題是大家都很感興趣的問題(這里所說的人口是廣義的，并不一定限于人，可以是任何一個與人有類似性質(zhì)的生命群體)。對人口的發(fā)展進行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。設想表示時刻的人口總數(shù)，為初始時刻時人口總數(shù)，表示人口凈增長率。馬爾薩斯模型只在群體總數(shù)不太大時才合理。因為當生物群體總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間、有限的自然資源及食物等原因，就要進行生存競爭。而馬爾薩斯模型僅考慮了群體總數(shù)的自然線性增長項，沒有考慮生存競爭對群體總數(shù)增長的抵消作用。因此在群體總數(shù)大了以后，馬爾薩斯模型就不再能預見群體發(fā)展趨勢，這時就要采用威爾霍斯特模型： 其中，稱為生命系數(shù)，而且比要小很多。就是考慮到生存競爭而引入的競爭項。當群體總數(shù)不太大時，由于比小很多，則可以略去上面方程中右端的第二項而回到馬爾薩斯模型。但是當群體總數(shù)增大到一定的程度時，上面方程中右端的第二項所產(chǎn)生的影響就不能忽略。 不論是馬爾薩斯模型還是維爾霍斯特模型，它們都是將生物群體中的每一個個體視為同等地位來對待，這個則只適用于低等動物。對于人類群體來說，必須考慮不同個體之間的差別，特別是年齡因素的影響。人口的數(shù)量不僅和時間有關(guān)，還應該和年齡有關(guān)，而且人口的出生、死亡等都和年齡有關(guān)。不考慮年齡因素就不能正確的把握人口的發(fā)展動態(tài)。這時，就必須給出用偏微分方程描述的人口模型： 其中，表示任意時刻按年齡的人口分布密度，表示年齡為的人口死亡率，表示年齡為的人的生育率，表示可以生育的最低年齡，表示人的最大年齡。 對于上述偏微分方程模型成立如下結(jié)論：定理1：對偏微分方程的處置問題，如果下列條件成立：A. 在區(qū)間上，且適當光滑；B. 在區(qū)間上，且適當光滑，并且當時，及；C. ；D. 。則該初邊值問題存在唯一的整體解并且滿足且。 該模型在經(jīng)過適當?shù)暮喕僭O后，例如假設，就可以回到前面的常微分方程模型。但在偏微分方程模型中、均與年齡有關(guān)，這與現(xiàn)實情況相符。因此，片微分方程模型確實更進一步、更能精確地描述人口分布的發(fā)展過程。四求微分方程的解1.1 基本概念 微分方程的解：代入微分方程能使其兩端成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解（這個函數(shù)的圖形，稱為該微分方程的積分曲線）。微分方程的通解：如果微分方程的解中含有獨立的任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，則這樣的解稱為微分方程的通解。附注：所為函數(shù)含有個獨立常數(shù)、，是指存在（）的某個鄰域，使得行列式，其中表示對的階導數(shù)。微分方程的初始條件：確定微分方程通解中任意常數(shù)所給出的條件，稱為定解條件. 如果這樣的定解條件是在同一時刻給出的，稱為微分方程的初始條件。 微分方程的特解：由初始條件定出通解中的任意常數(shù)后得到的解，稱為微分方程的特解. 附注：有的參考書上將微分方程的特解定義為：由初始條件定出通解中的任意常數(shù)后得到的解或不含任意常數(shù)的解，稱為微分方程的特解. 這個定義比教材上更廣泛些. 例如，對于微分方程，其通解為.易證函數(shù)也是該方程的解，但他不能由通解中去適當?shù)某?shù)得到。按照教材的定義，他就不是特解。1.2 微分方程的類型及解法1.2.1一階微分方程 .可變量分離的微分方程。 形如 或 的微分方程，稱為可變量分離的微分方程。這里可假設，分別是，的連續(xù)函數(shù)。 當時，方程可寫成 兩端分別積分可以得到原方程的通解 如果存在使得，則也是該方程的解。附注：這種形式的解，有時可能包含在通解中（即可在通解中取適當?shù)某?shù)得到），有時不包含在通解中（即在通解中取任意常數(shù)都得不到這種解）. 另一方面，若只求方程的通解，可不考慮這種形式的解。例4.求解方程解： 將變量分離，得到 兩邊同時積分，可得 因而，通解可得 這里為任意正常數(shù)?；蛘呓獬?，寫出顯函數(shù)形式的解 例5.求解人口增長的logistic模型 解：應用變量方法并對分式分解化為 兩邊積分可得 其中為任意常數(shù)，化解方程可得 解得 其中將初值條件時，,代入得 最后得解 .齊次微分方程 如果一階微分方程中的可以寫成的函數(shù)，即 則稱這方程為齊次微分方程。求解方法是作變量代換后將其化為可分離變量方程，然后求解。令，即，于是將此代入可得 ，即 ，兩邊同時積分，可得 ，求出積分后，再用代替便可以得到齊次微分方程的通解。例6.求解方程解： 這是齊次微分方程，以及代入，則原微分方程變?yōu)?即 將上式分離變量，既有 兩邊積分可得 這里是任意常數(shù)，化簡方程可得 令，可得 此外方程還有解 即 如果在中允許，則也就包括在中，這就是說，方程的通解為。 帶回原來的變量，得到原微分方程的通解為 例7.探照燈反射鏡面的形狀。 在制造探照燈的反射鏡面時，總是要求將點光源射出的光線平行地反射出去，以保證探照燈有良好的方向性，試求反射鏡面的幾何形狀。解：取光源所在處為坐標原點，而軸平行于光的反射方向，如圖（1），設所求曲面有曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)而成，則求反射鏡面的問題歸結(jié)為求平面上的曲線的問題。過曲線上任一點做切線，則由光的反射定律：入射角等于反射角，可推出 從而 注意到 及，就得到函數(shù)所應滿足的微分方程式為 這是齊次線性方程組。令可將它化為變量分離方程，以和代入，則原微分方程可變?yōu)?于是 經(jīng)化簡后可得 其中為任意正常數(shù)。微分方程就是所求的平面曲線，它就是拋物線，所以反射鏡面的形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面 .一階線性微分方程 形如 的方程，稱為一階線性微分方程。其中，在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù)。若，則式可變?yōu)?則式稱為一階齊次線性微分方程。式是變量分離方程，并且它的通解為 這里的為任意常數(shù)。若，則式就稱為一階非齊次線性微分方程。不難看出，是的特殊情形，所以可以設想：在中，將常數(shù)變易為的待定函數(shù)。令 微分后可得 將和代入可得 即 積分后可得 這里的為任意的常數(shù)，將代入，得到方程的通解： 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們通常稱為常數(shù)變易法。附注：與非線性方程不同，線性方程的通解包含了方程的所有解。求方程例8.求方程的通解，這里為常數(shù)。 解：將原方程改寫為 首先，求齊次線性微分方程 的通解，由，經(jīng)變量分離后得到此齊次線性微分方程的通解為 其次應用常數(shù)易變法求非齊次線性微分方程的通解，為此，在上式中把看成為的待定函數(shù)，即 微分后可得 把和代入可得 因此將所求的代入，即可得原方程的通解 這里為任意常數(shù)。.伯努利微分方程形如 的方程稱為伯努利微分方程，這里，為的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)。利用變量變化可將伯努利微分方程化為線性微分方程。事實上，對于，用乘以公式可得 引入變量變換 從而 將和代入可得 例9.求方程的通解。解：這是時的伯努利微分方程，令 算得 代入原微分方程可得 這是線性微分方程，求得它的通解為 或這就是原方程的通解。此外，方程還有解.恰當微分方程形如 寫成微分的形式 或把，平等看待，寫成下面具有對稱形式的一階微分方程 這里假設，在某矩形域內(nèi)，的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導數(shù)。如果方程的左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分，即 則稱為恰當微分方程。例10.求的通解。 解：令,，這時 ，因此方程是恰當微分方程?，F(xiàn)在求，是它同時滿足如下兩個方程： 由對積分，得到 為了確定，將對求導數(shù)，并使它滿足，既得 于是 積分后可得 將代入，得到 因此，方程的通解為 這里是任意函數(shù)。5 定性理論和穩(wěn)定性理論.定性理論：幾何方法研究微分方程，在不求解的情況下，直接考察微分方程的系數(shù)和方程本身的結(jié)構(gòu)，從而研究解的性質(zhì)（比如曲線的形狀、結(jié)構(gòu)與趨勢等）。由法國數(shù)學家龐加萊(Poincar,1854-1912)在19世紀80年代所創(chuàng)立.穩(wěn)定性理論：定性理論的延伸和發(fā)展。由俄國數(shù)學家李雅普羅夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所創(chuàng)立，所以也稱為李雅普諾夫。讓我們從一個簡單的方程談起，考慮一階非線性微分