積分變換第7講.ppt

1 積分變換第7講 2 拉氏逆變換 3 前面主要討論了由已知函數(shù)f t 求它的象函數(shù)F s 但在實(shí)際應(yīng)用中常會(huì)碰到與此相反的問(wèn)題 即已知象函數(shù)F s 求它的象原函數(shù)f t 本節(jié)就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題 由拉氏變換的概念可知 函數(shù)f t 的拉氏變換 實(shí)際上就是f t u t e bt的傅氏變換 4 因此 按傅氏積分公式 在f t 的連續(xù)點(diǎn)就有 等式兩邊同乘以ebt 則 5 右端的積分稱(chēng)為拉氏反演積分 它的積分路線是沿著虛軸的方向從虛部的負(fù)無(wú)窮積分到虛部的正無(wú)窮 而積分路線中的實(shí)部b則有一些隨意 但必須滿(mǎn)足的條件就是e btf t u t 的0到正無(wú)窮的積分必須收斂 計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分通常比較困難 但是可以用留數(shù)方法計(jì)算 6 定理若s1 s2 sn是函數(shù)F s 的所有奇點(diǎn) 適當(dāng)選取b使這些奇點(diǎn)全在Re s b的范圍內(nèi) 且當(dāng)s 時(shí) F s 0 則有 7 什么叫一個(gè)復(fù)變函數(shù)f s 的奇點(diǎn) 那就是此函數(shù)沒(méi)有定義的點(diǎn) 或者說(shuō)是取值無(wú)窮大的點(diǎn) 例如函數(shù) 在0 2 3處有三個(gè)奇點(diǎn) 可記為s1 0 s2 2 s3 3 8 假設(shè)s0是f s 的一個(gè)奇點(diǎn) 則f s 總可以在s0處展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù) 形式為 其中 1次方項(xiàng) s s0 1的系數(shù)c 1就稱(chēng)為f s 在s0點(diǎn)處的留數(shù) 記作Res f s s0 c 1或 9 圍繞著f s 的奇點(diǎn)s0的附近繞一圈環(huán)的積分就等于 其中C是只圍繞s0轉(zhuǎn)一圈的任意閉合曲線 10 如果函數(shù)f s 有s1 s2 sn共n個(gè)奇點(diǎn) 閉合曲線C包圍了這n個(gè)奇點(diǎn) 則 11 定理的證明作下圖 閉曲線C L CR CR在Re s b的區(qū)域內(nèi)是半徑為R的圓弧 當(dāng)R充分大后 可以使F s est的所有奇點(diǎn)包含在閉曲線C圍成的區(qū)域內(nèi) R O 實(shí)軸 虛軸 L CR b jR b jR b 12 根據(jù)留數(shù)定理可得 13 在上式左方取R 的極限 并根據(jù)Jordan引理 當(dāng)t 0時(shí) 有 14 最常見(jiàn)的情況 是函數(shù)F s 是有理函數(shù) 即 其中A s 和B s 是不可約的多項(xiàng)式 B s 的次數(shù)是n A s 的次數(shù)小于B s 的次數(shù) 這時(shí)F s 滿(mǎn)足定理所要求的條件 15 如果一元n次方程B s 0只有單根 這些單根稱(chēng)作B s 的一階零點(diǎn) 也就是 16 17 18 19 如方程B s 0有一個(gè)二重根s1 稱(chēng)s1為B s 的二階零點(diǎn) 也是F s est的二階極點(diǎn) 這時(shí)F s est在s s1處可展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù) 其形式為 20 21 22 還可以用部分分式和查表的辦法來(lái)求解拉氏反變換 根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)以及 23 24 最后得 25 卷積 26 1 卷積的概念在第一章討論過(guò)傅氏變換的卷積的性質(zhì) 兩個(gè)函數(shù)的卷積是指 如果f1 t 與f2 t 都滿(mǎn)足條件 當(dāng)t 0時(shí) f1 t f2 t 0 則上式可以寫(xiě)成 27 今后如不特別聲明 都假定這些函數(shù)在t 0時(shí)恒等于零 它們的卷積都按 2 20 式計(jì)算 t O f1 t f2 t t O f1 t t 28 按 2 20 計(jì)算的卷積亦有 f1 t f2 t f1 t f2 t 它也滿(mǎn)足交換律 f1 t f2 t f2 t f1 t 同樣 它還滿(mǎn)足結(jié)合律與對(duì)加法的交換律 即f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f1 t f3 t 29 30 例1求t sint 31 卷積定理假定f1 t f2 t 滿(mǎn)足拉氏變換存在定理中的條件 且L f1 t F1 s L f2 t F2 s 則f1 t f2 t 的拉氏變換一定存在 且 32 t t t O t 33 由于二重積分絕對(duì)可積 可以交換積分次序 令t t u 則 34 不難推證 若fk t k 1 2 n 滿(mǎn)足拉氏變換