x10-3向量函數(shù)的微分.ppt

第10章向量的數(shù)量積和向量積向量函數(shù)微分法 知識(shí)邏輯關(guān)系圖 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義 向量函數(shù)連續(xù)定義 重點(diǎn) 向量函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其幾何意義難點(diǎn) 空間曲線弧微分 設(shè)a ax ay az b bx by bz 且 為常數(shù) 1 a b ax bx ay by az bz 2 a ax ay az 3 4 復(fù)習(xí) 10 3 向量函數(shù)的微分和積分 一 向量函數(shù)1 向量函數(shù)定義 連續(xù)的向量函數(shù)和空間曲線有著密切的聯(lián)系 2 向量函數(shù)的幾何意義向量函數(shù)起點(diǎn)定在O點(diǎn) 當(dāng)t變化時(shí)終點(diǎn)描繪出圖形是一條空間曲線 直線 r t x0 at y0 bt z0 ct 擺線 r t a t sint a 1 cost 0 螺旋線的參數(shù)方程 取時(shí)間t為參數(shù) 解 讓我們欣賞幾個(gè)向量函數(shù)表示的空間曲線 3 向量函數(shù)極限定義 則稱向量r t 的極限為r0或稱向量r t 按模收斂r0 定理 若則稱向量函數(shù)在t t0連續(xù) 例已知螺旋線計(jì)算 連續(xù) 二 向量函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分1 定義 向量函數(shù)在t0處的導(dǎo)數(shù) 向量函數(shù) 2 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分運(yùn)算法則 1 2 3 4 5 證 5 3 注意 1 r t 的幾何意義 2 向量函數(shù)導(dǎo)數(shù)物理意義 設(shè)r t 為沿空間曲線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)位置t 作為質(zhì)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)起時(shí)間 例1求螺旋線 在點(diǎn) 0 2 2 處的切線方程 向上飛行 求 1 滑翔機(jī)速度和加速度 2 滑翔機(jī)t時(shí)刻的速率 3 如果有的話 求滑翔機(jī)的速度正交于加速度的時(shí)刻 例3證明定長(zhǎng)度的向量函數(shù)的導(dǎo)向量與r t 垂直證明 如當(dāng)我們跟蹤以原點(diǎn)為中心的球面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)時(shí) 位置向量有一個(gè)等于球面半徑的固定長(zhǎng)度 如圖 運(yùn)動(dòng)路徑的速度向量與運(yùn)動(dòng)路徑相切 例一質(zhì)點(diǎn)以常角速度w0在半徑為R的圓上運(yùn)動(dòng) 求其速度與加速度 解 r Rcos Rsin 0 Rcos Rsin 0 W02 Rsin Rcos 0 W0 yr 0 xz 起點(diǎn)定在O點(diǎn) 當(dāng)t 變化時(shí)終點(diǎn)描繪出圖形是一條空間曲線弧 三 弧微分 向量函數(shù) 弧微分 設(shè) 在 a b 內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 其圖形為AB 弧長(zhǎng) 或 平面曲線弧 我們已經(jīng)得到了弧微分公式 空間曲線 弧微分 例 求螺旋線 r t cost sint t 0 t 2 弧的長(zhǎng)度 注1 例證明 簡(jiǎn)證 M 注2設(shè)某質(zhì)點(diǎn)在空間中運(yùn)動(dòng)軌道為r t t 其中t被看作為質(zhì)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)起的時(shí)間值則 向上滑行 求滑翔機(jī)的