小學(xué)四年級(jí)寒假奧數(shù)班講義.doc

小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)目錄第一講 圖形的計(jì)數(shù)（一）第二講 圖形的計(jì)數(shù)（二）第三講 速算與巧算（一）第四講 速算與巧算（二）第五講 和差倍問(wèn)題 第六講 還原問(wèn)題 第七講 年齡問(wèn)題 第八講 盈虧問(wèn)題 第九講 最佳方案第十講 平均數(shù)問(wèn)題 第十一講 長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)和面積 第十二講 綜合測(cè)試 第一講 圖形的計(jì)數(shù)（一）1 知識(shí)點(diǎn)回顧1. 弄清圖形中所包含的基本圖形，圖形的特征和變化規(guī)律。2. 從各圖中所包含基本圖形的個(gè)數(shù)多少出發(fā)，依次數(shù)出它們的個(gè)數(shù)，并求出它們的和。3. 被分成幾個(gè)部分的圖形，可以先從各部分的基本圖形出發(fā)，數(shù)出所含圖形的個(gè)數(shù)，再求各部分的總和，做到不重復(fù)、不遺漏，正確地解答較復(fù)雜的圖形個(gè)數(shù)問(wèn)題，有助于培養(yǎng)同學(xué)們思維的有序性和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。2 典型例題例1. 數(shù)出下面圖中有多少條線段。思路導(dǎo)航：要正確解答這類問(wèn)題，需要我們按照一定的順序來(lái)數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。從圖中可以看出，從A點(diǎn)出發(fā)的不同線段有3條：AB、AC、AD；從B點(diǎn)出發(fā)的不同線段有2條：BC、BD；從C點(diǎn)出發(fā)的不同線段有1條：CD。因此，圖中共有3+2+1=6條線段。數(shù)線段的規(guī)律：線段上有n個(gè)點(diǎn)（包括兩個(gè)端點(diǎn)），n個(gè)點(diǎn)把這條線段共分成線段總數(shù)為：1+2+3+(n-1)。解：這條線段有4個(gè)點(diǎn)，所以線段的總和為1+2+3=6（條）答：圖中的線段有6條。練一練：數(shù)出下列圖中有多少條線段。（2） 例2.數(shù)出下面圖中有多少個(gè)角。思路導(dǎo)航：在AOB內(nèi)有三條角分線OC1、OC2、OC3，AOB被這三條角分線分成4個(gè)基本角，那么AOB內(nèi)總共有多少個(gè)角呢？首先有這4個(gè)基本角，其次是包含有2個(gè)基本角組成的角有3個(gè)（即AOC2、C1OC3、C2OB），然后是包含有3個(gè)基本角組成的角有2個(gè)（即AOC3、C1OB），最后是包含有4個(gè)基本角組成的角有1個(gè)（即AOB），所以AOB內(nèi)總共有角：432110（個(gè)）數(shù)角的規(guī)律：數(shù)角的方法和數(shù)線段的方法類似，圖中共有幾條射線組成若干個(gè)角，角的總個(gè)數(shù)為1+2+3+（n-1）。解：圖中有5條射線，所以角的個(gè)數(shù)為：1+2+3+4=10（個(gè)）答：共有10個(gè)角。練一練：數(shù)出下列圖中有多少個(gè)角。例3. 數(shù)一數(shù)圖中共有多少個(gè)三角形？ 思路導(dǎo)航：要數(shù)有多少個(gè)三角形，先看在AGH中，在GH上有3個(gè)分點(diǎn)，分成基本小三角形有4個(gè).所以在AGH中共有三角形4+3+2+1=10（個(gè)）.在AMN與ABC中，三角形有同樣的個(gè)數(shù)，所以在ABC中三角形個(gè)數(shù)總共：（4+3+2+1）2=30（個(gè)）.解：在ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）3=103=30（個(gè)）答：在ABC中共有線段60條，共有三角形30個(gè)。練一練：數(shù)出下列圖中有多少個(gè)三角形。三.鞏固提高（一） 填空題。 1.下列圖形各有幾條線段 ( )條 ( )條 ( )條 2一條直線上共有50個(gè)點(diǎn),可以數(shù)出( )條線段.3. （1）數(shù)角。 （2）數(shù)三角形。 （2）數(shù)三角形。 （ ） （ ） （ ）（二）簡(jiǎn)答題.1. 數(shù)一數(shù)下圖中共有多少個(gè)角？ 5. 數(shù)一數(shù)共有多少個(gè)三角形？四. 選做題數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有多少個(gè)三角形？ 第二講 圖形的計(jì)數(shù)（二）例4.數(shù)一數(shù)下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？思路導(dǎo)航：圖中的AB邊上有線段1+2+3=6條，把AB邊上的每一條線段作為長(zhǎng)，AD邊上的每一條線段作為寬，每一個(gè)長(zhǎng)配一個(gè)寬，就組成一個(gè)長(zhǎng)方形，所以，圖中共有63=18個(gè)長(zhǎng)方形。數(shù)長(zhǎng)方形可以用下面的公式：長(zhǎng)邊上的線段短邊上的線段=長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)解：共有長(zhǎng)方形：（3+2+1）（2+1）= 63= 18（個(gè)）答：共有長(zhǎng)方形18個(gè)。練一練：數(shù)出下列圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形。例5.數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)正方形？（每個(gè)小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形）思路導(dǎo)航：圖中邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有33=9個(gè)，邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有22=4個(gè)，邊長(zhǎng)為3個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有11=1個(gè)。所以圖中的正方形總數(shù)為：1+4+9=14個(gè)。經(jīng)進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，由相同的nn個(gè)小方格組成的幾行幾列的正方形其中所含的正方形總數(shù)為：1122nn。解： 正方形總數(shù)為：112233=14（個(gè)）答：共有正方形14個(gè)。練一練：數(shù)出下列各圖中有多少個(gè)正方形。例6.數(shù)一數(shù)下圖中有多少個(gè)正方形？（其中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形）思路導(dǎo)航：邊長(zhǎng)是1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有32=6個(gè)，邊長(zhǎng)是2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有21=2個(gè)。所以，圖中正方形的總數(shù)為：6+2=8個(gè)。經(jīng)進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，一般情況下，如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)被分成m等份，寬被分成n等份（長(zhǎng)和寬的每一份都是相等的）那么正方形的總數(shù)為：mn+(m1)(n1)(m2)(n2)(mn1)n.練一練：數(shù)一數(shù)下列各圖中分別有多少個(gè)正方形。四鞏固提高（一）填空題。1數(shù)一數(shù)下圖有（ ）個(gè)長(zhǎng)方形.2下圖共有( )個(gè)平行四邊形.(二)簡(jiǎn)答題 (每小題10分)1 圖共有幾個(gè)正方形?2數(shù)一數(shù)下列各圖中分別有多少個(gè)正方形。答四. 選做題下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形，其中有多少個(gè)是正方形？答的練習(xí)練習(xí)第三講 速算與巧算（一）1 知識(shí)點(diǎn)回顧1. 在加、減、乘、除四則運(yùn)算中，要想算得快，算得準(zhǔn)，其實(shí)有些“小竅門”，首先要觀察算式和數(shù)字的特點(diǎn)和規(guī)律，然后再選擇合適的巧算方法，運(yùn)用數(shù)的組成與分解，運(yùn)用定律以及和、差、積、商的變化規(guī)律，把按常規(guī)較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)便、迅速的計(jì)算。2. 加、減法的巧算方法有：配對(duì)求和法、湊整法、分組法、借來(lái)法和加減法的運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算定律等；3. 常用的運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)用字母表示為：加法交換律：a + b = b + a加法結(jié)合律：a + b + c= a +( b + c)減法的性質(zhì)：a - b c = a (b + c) a (bc)=a - b+c4. 速算與巧算是計(jì)算中的一個(gè)重要組成部分，掌握一些速算與巧算的方法，有助于提高我們的計(jì)算能力和思維能力。二經(jīng)典例題例1.用巧算的方法計(jì)算下列各式。 29+299+2999+29999 30-29+28-27+26-25+4-3+2-1 638-(456-62)思路導(dǎo)航：第小題計(jì)算中運(yùn)用湊整的方法計(jì)算比較簡(jiǎn)便；第小題可以將相鄰兩個(gè)數(shù)看成一組，進(jìn)行分組分解法來(lái)計(jì)算比較簡(jiǎn)便；第小題根據(jù)減法的性質(zhì)去括號(hào)，再移位湊整。解：29+299+2999+29999 =30+300+3000+30000-4 =33326 30-29+28-27+26-25+4-3+2-1 =（30-29）（302） =15 638-(456-62) =638-456+62 =（638+62）-456 =700-456 =244練一練：用巧算的方法計(jì)算下列各式。 53+874+47-174+63 543-（138-57）-3622345+1256-3056-145 627-（185+127）例2.計(jì)算199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18思路導(dǎo)航：通過(guò)觀察我們可以運(yùn)用分組湊整法，十個(gè)加數(shù)可以分成五組，每組第一個(gè)加數(shù)補(bǔ)1，第二個(gè)加數(shù)補(bǔ)2都可以湊整。解：199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18 =2000002+200002+20002+2002+202-35 =400000+40000+4000+400+40-15 =444440-15 =444425練一練：用巧算的方法計(jì)算下列各式。19+199+1999+19999 999998+99997+9996+995+94 三.鞏固提高1. 347+362+453+338 2. 2345+6789+7655+3211 3. 9979+994+127 4. 1371289371 5. 846163+1154 6. 1643+296+72+4357+128 7. 48+326+5217+274 8. 1756（756+498） 9. 368+（13468） 10. 26638741126+337 4. 選做題。1. 534+467334267+111 2. 1839（56161） 3. 15873346873654 4. 2380（167+380）333 5. 218+573136+1826473 6. 127+125+126+123+129+1227. 112+111110109+108+107106105+104+103102101+100+999897第四講 速算與巧算（二）一知識(shí)點(diǎn)回顧 乘、除法的巧算方法有：湊整法、分組分解法、巧妙變形法、乘除法的運(yùn)算定律和性質(zhì)，以及商的變化規(guī)律，積的不變性質(zhì)等。 常用的運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)用字母表示為：除法的性質(zhì)：abc = a(bc) a（bc）= abc乘法交換律：ab = ba乘法結(jié)合律：(ab)c = a( bc)乘法分配律：(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc積不變性質(zhì)：ab = (ac)(bc) =(ac)(bc)商不變性質(zhì)：ab = (ac)(bc) = (ac)(bc)二經(jīng)典例題例1.計(jì)算下列各式。 375480+625048 72002536 16125 230025思路導(dǎo)航：第小題是根據(jù)積的不變規(guī)律進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成能應(yīng)用乘法分配律，計(jì)算起來(lái)比較簡(jiǎn)便；第小題根據(jù)在連除中交換除數(shù)的位置商不變的性質(zhì)來(lái)解題；第小題因?yàn)?25乘8得1000，運(yùn)用分解法將16按照16=28分解；第小題，根據(jù)商的不變性質(zhì)，將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大4倍，把除數(shù)變成整百的數(shù)來(lái)計(jì)算。解： 375480+625048=375480+625480=480（375+625）=4801000=480000 72002536= 72003625=20025=8 16125=2（8125）=21000=2000 230025=（23004）（254）=9200100=92練一練：用巧算的方法計(jì)算下列各式。 369123-1239-360123 12532250 98002549 1999+999999例2.計(jì)算1（23）（34）（45）（56）（67）（78）思路導(dǎo)航：通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)括號(hào)里的除法算式不能得到一個(gè)整數(shù)的商，所以我們要根據(jù)a（bc）= abc這一性質(zhì)去掉括號(hào)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)一個(gè)數(shù)擴(kuò)大若干倍，同時(shí)又縮小相同的倍數(shù)時(shí)結(jié)果不變。解：1（23）（34）（45）（56）（67）（78） =1233445566778 =128 =4練一練：計(jì)算9（98）（87）（76）（65）（54）（43） 三鞏固提高用巧算的方法計(jì)算下列各式。1.7516 318125 20081252. 199245 1001134 6754+67+4567 3.199+9999 21380+38790 123235-24235+2354.2800254 562397（281397） 7000（14050）5.20082006+20072005-20072006-20082005四選做題計(jì)算55555666667+44445666666-155555第五講 和差倍問(wèn)題一知識(shí)點(diǎn)回顧1. “和差問(wèn)題”是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差，求這兩個(gè)數(shù)。和差問(wèn)題基本公式：（和+差）2=大數(shù) （和-差）2=小數(shù) 小數(shù)+差=大數(shù) （或者：大數(shù)-差=小數(shù)） 和-小數(shù)=大數(shù) （或者：和-大數(shù)=小數(shù)）2. “和倍問(wèn)題”是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)。和倍問(wèn)題基本公式：和（倍數(shù)+1）=小數(shù)大數(shù)=和-小數(shù) （或者：大數(shù)=小數(shù)倍數(shù)）3.“差倍問(wèn)題”就是已知兩個(gè)數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)。差倍問(wèn)題基本公式：差（倍數(shù)-1）=小數(shù)二經(jīng)典例題例1. 一個(gè)學(xué)校四年級(jí)共有學(xué)生400名，其中男生比女生多40名，四年級(jí)男女生共有多少人？ 分析：女生： 多40人 400人男生： 從圖中可以看出男生人數(shù)是較大的數(shù)，要比女生多40人，即男生與女生的人數(shù)差是40，且男生女生一共有400名。所以我們有較大的數(shù)（男生數(shù)）= （兩數(shù)之和+兩數(shù)之差）2 ，較小的數(shù)（女生人數(shù)）=（兩數(shù)和-兩數(shù)之差）2解：男生：（400+40）2=220（人） 女生：（400-40）2=180（人）答：男生有220人，女生有180人。練一練：希望小學(xué)四年級(jí)有學(xué)生42人，其中女生比男生少2人，那么這個(gè)班級(jí)男女生共有多少人？例2. 甲桶裝有汽油是乙桶的三倍，甲桶又倒入20升，乙桶又倒入80升，這時(shí)乙桶汽油比甲桶多20升，求原來(lái)甲、乙兩桶汽油各多少升？ 分析： 20升 甲桶： 多20升 乙桶： 80升從圖可以發(fā)現(xiàn)，如果乙桶只倒入40升，則甲、乙兩桶汽油同樣多，這說(shuō)明原來(lái)甲桶比乙桶多80-20-20=40（升）汽油，且甲桶汽油是乙桶的3倍，則甲桶比乙桶汽油多兩倍，這樣就找到了2倍數(shù)對(duì)應(yīng)量是40升，可以求出乙桶汽油（1倍數(shù)）。 解：乙桶原來(lái)汽油：（80-20-20）（3-1）=20（升） 甲桶原來(lái)汽油：203=60（升）答：甲桶原來(lái)有汽油60升， 乙桶原來(lái)有汽油20升。練一練：A桶裝油470千克，B桶裝油190千克，從A桶倒多少千克油給B桶才能使A桶油是B桶的2倍？例3.甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三個(gè)數(shù)各是多少？ 1倍數(shù)分析： 丙數(shù)： 少4乙數(shù)： 183 2倍 多7丙數(shù)： 3倍我們發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個(gè)數(shù)都是以丙為標(biāo)準(zhǔn)的，所以丙就是1倍數(shù)，乙比丙的2倍少4，即：乙=丙2-4；甲是丙的3倍多7，即：甲=丙3+7；丙數(shù)為丙1，且甲、乙、丙三數(shù)之和為183，所以丙3+7+丙2-4+丙=183，從而丙的（3+2+1）倍對(duì)應(yīng)為183+4-7。解：丙數(shù)=（183+4-7）（3+2+1）=30 乙數(shù)=302-4=56 甲數(shù)=303+7=97答：甲數(shù)是97，乙數(shù)是56，丙數(shù)是30。例4.哥哥與弟弟沒人都有一些鉛筆，如果哥哥給弟弟1支，兩人就一樣多，如果弟弟給哥哥1支，哥哥就是弟弟的5倍，哥哥和弟弟原來(lái)各有多少支鉛筆？分析：此題是兩次轉(zhuǎn)化的差倍應(yīng)用題，根據(jù)“哥哥給弟弟1支，兩人同樣多”，說(shuō)明哥哥比弟弟多1+1=2（支）；根據(jù)“弟弟給哥哥一支，哥哥就是弟弟的5倍”，我們可先知弟弟給哥哥一支，那哥哥比弟弟一共要2+1+1=4(支)，且此時(shí)哥哥是弟弟的五倍，即：哥哥比弟弟多4倍。解：弟弟的支數(shù)：（1+1+1+1）（5-1）+1=2（支） 哥哥的支數(shù)： 2+2=4（支） 答：哥哥有4支鉛筆，弟弟有2支鉛筆。練一練：兩個(gè)書架原來(lái)共有圖書300本，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)書架借走30本，第二個(gè)書架又購(gòu)進(jìn)40本后，第一個(gè)書架比第二個(gè)書架少20本，原來(lái)兩個(gè)書架各有多少本？四鞏固提高1.長(zhǎng)方形操場(chǎng)的長(zhǎng)與寬相差80米，沿操場(chǎng)跑一周是400米，求這個(gè)操場(chǎng)的長(zhǎng)與寬是多少米？2.丁丁在期中考試時(shí)，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科平均分是91分，數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多2分，那么丁丁的語(yǔ)文和數(shù)學(xué)各得了多少分？3. 師、徒兩人共加工個(gè)零件，師傅加工的個(gè)數(shù)比徒弟的倍還多個(gè)，師傅和徒弟各加工零件多少個(gè)？4. 實(shí)驗(yàn)小學(xué)共有學(xué)生人，男生比女生倍少人.問(wèn)：實(shí)驗(yàn)小學(xué)男學(xué)生和女學(xué)生各有多少人？5. 甲班的圖書本數(shù)比乙班多80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？6.有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時(shí)第二根長(zhǎng)度是第一根長(zhǎng)的3倍，兩根繩子原來(lái)各長(zhǎng)多少米？五.選做題1. 有大小兩個(gè)桶原來(lái)水一樣多，如果從小桶倒千克水到大桶，則大桶中水是小桶的倍，求原來(lái)大桶有水多少千克？ 2. 光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？3. 小勇家養(yǎng)的白兔和黑兔一共有22只，如果再買4只白兔，白兔和黑兔的只數(shù)一樣多小勇家養(yǎng)的白兔和黑兔各多少只？第六講 還原問(wèn)題一. 知識(shí)點(diǎn)回顧有些問(wèn)題，當(dāng)順著題目條件的敘述去尋找解法時(shí)，往往有一定的困難，但是，如果改變思考順序，從問(wèn)題敘述的最后結(jié)果出發(fā)，一步一步倒著思考，一步一步往回算，原來(lái)加的用減，減的用加，原來(lái)乘的用除，除的用乘，那么問(wèn)題便容易解決。這種解題方法叫做還原法或逆推法，用還原法解題的問(wèn)題叫做還原問(wèn)題。1. 從最后得數(shù)出發(fā)，采用與原題相反的逆運(yùn)算，向前一步一步倒推。2. 原題加的用減，原題減的用加，原題是乘的用除，原題是除的用乘。3. 根據(jù)原題的敘述順序，在下面列出數(shù)量關(guān)系式，再用逆運(yùn)算的方法得出原數(shù)。二. 經(jīng)典例題例1.有一個(gè)數(shù)，把它加上37，再乘以18，減去323，得到的結(jié)果用23 去除，商是16，余數(shù)是11這個(gè)數(shù)是多少？分析：我們把一個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)的四步計(jì)算過(guò)程用下面的示意圖來(lái)表示，看看能先算出哪個(gè)數(shù)呢？ 加上37 乘以18 減去323 除以23 ？ ？ ？ ？ 商16余11解：我們采用與原題相反的逆運(yùn)算，向前一步一步倒推。原題加的用減，原題減的用加，原題是乘的用除，原題是除的用乘。從后面數(shù)第一個(gè)問(wèn)號(hào)：1623+11=368+11=379從后面數(shù)第二個(gè)問(wèn)號(hào)：379+323=702從后面數(shù)第三個(gè)問(wèn)號(hào)：70218=39從后面數(shù)第四個(gè)問(wèn)號(hào)即所求的數(shù)：39-37=2答：這個(gè)數(shù)是2.練一練：一個(gè)數(shù)擴(kuò)大3倍，再增加70，然后減少50，得80.這個(gè)數(shù)是多少？例2. 四年級(jí)的四個(gè)班共有學(xué)生168人，到了第二學(xué)期，學(xué)校把班級(jí)學(xué)生作如下調(diào)整：把四班的3名學(xué)生調(diào)到三班，三班的6名學(xué)生調(diào)到二班，二班又調(diào)6名學(xué)生到一班，一班再調(diào)2名學(xué)生到四班，這時(shí)四個(gè)班的學(xué)生同樣多，求四個(gè)班原來(lái)各有學(xué)生多少人？分析：知道四個(gè)班最后學(xué)生一樣多，且四個(gè)班的總?cè)藬?shù)是168，則可求出四個(gè)班最后學(xué)生人數(shù)：1684=42 四班調(diào)到三班3名：減少3名四班從一班調(diào)來(lái)2名：增加2名 四班的人數(shù) 42名三班從四班調(diào)來(lái)3名：增加3名三班調(diào)到二班6名：減少6名三班的人數(shù) 42名 二班從三班調(diào)來(lái)6名：增加6名二班調(diào)到一班6名：減少6名二班的人數(shù) 42名一班從二班調(diào)來(lái)6名：增加6名一班調(diào)到四班2名：減少2名一班的人數(shù) 42名所以：1684=42四班：42+3-2=43（人）三班：42-3+6=45（人）二班：42-6+6=42（人）一班：42-6+2=38（人）答：一班原有學(xué)生38人，二班原有學(xué)生42人，三班原有學(xué)生45人，四班原有學(xué)生43人。練一練：三個(gè)小朋友共有賀年卡75張，如果甲給乙4張，乙又給丙3張，那么三個(gè)人的賀年卡剛好相等，求甲、乙、丙三個(gè)小朋友原來(lái)各有賀年卡多少?gòu)?？?. 一根鐵絲，第一次用去它的一半少一米，第二次用去剩下的一半多1米，最后剩5米，求這根鐵絲原有多長(zhǎng)？分析：第一次 第二次 5米 1米 1米 總數(shù)的一半 剩下的一半 ？從上圖分析可知： 剩下的一半：5+1=6（米） 那第一次用完一共剩下： 62=12（米）總數(shù)的一半：12-1=11（米）總長(zhǎng)：112=22（米）即：(5+1)2-12=22(米)答：這根鐵絲原來(lái)長(zhǎng)22米。練一練：籃子里有雞蛋，第一天拿走一半多兩個(gè)，第二天拿走余下的一半多4個(gè)，這時(shí)剛好拿完，求籃子里原來(lái)有多少個(gè)雞蛋？ 四.鞏固提高1.某數(shù)加上11，減去12，乘以13，除以14，其結(jié)果等于26，這個(gè)數(shù)是多少？2.某數(shù)加上6，乘以6，減去6，其結(jié)果等于36，求這個(gè)數(shù)。3.小樂(lè)爺爺今年的年齡數(shù)減去15后，除以4，再減去6之后，乘以10，恰好是100。問(wèn)：小樂(lè)爺爺今年多少歲？4.糧庫(kù)內(nèi)有一批面粉，第一次運(yùn)出總數(shù)的一半多3噸，第二次運(yùn)出剩下的一半多7噸，還剩4噸。問(wèn)：糧庫(kù)里原有面粉多少噸？5.有一筐梨，甲取一半又一個(gè)，乙取余下的一半又一個(gè)，丙再取余下的一半又一個(gè)，這時(shí)筐里只剩下一個(gè)梨。這筐梨共值8.80元，那么每個(gè)梨值多少錢？6. 某人去銀行取款，第1次取了存款的一半還多5元，第二次取了余下的一半還多10元，這時(shí)存折上還剩125元。問(wèn)：此人原有存款多少元？五.選做題1.甲、乙、丙三組共有圖書90本，乙組向甲組借3本后，又送給丙組5本，結(jié)果三個(gè)組擁有相等數(shù)目的圖書。問(wèn)：甲、乙、丙三個(gè)組原來(lái)各有多少本圖書？2. 一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩7米，這捆電線原有多少米？第七講 年齡問(wèn)題一. 知識(shí)點(diǎn)回顧1. 兩個(gè)人的年齡差總是不變的。2. 兩個(gè)人的年齡隨著時(shí)間、年份的變化而增加（減少）同一個(gè)自然數(shù)。3. 兩個(gè)人年齡的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的變化而變化，一般是隨著年齡的增加倍數(shù)關(guān)系反而變小。4. 年齡問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為和倍、差倍、和差問(wèn)題解答。大年齡=（兩人年齡和+兩人年齡差）2小年齡=（兩人年齡和-兩人年齡差）2知道今年大小年齡各是多少幾年前，大年齡是小年齡的幾倍年數(shù)=小年齡-兩人的年齡差（倍數(shù)-1）幾年后，大年齡是小年齡的幾倍年數(shù)=兩人年齡差（倍數(shù)-1）-小年齡二. 經(jīng)典例題例1. 兒子今年16歲，父親今年48歲，幾年前父親的年齡是兒子年齡的9倍？ 分析：要抓住父親與兒子年齡差不變，以此來(lái)解決問(wèn)題。 可知父親與兒子的年齡差：48-16=32（歲）小數(shù)=兩數(shù)差（倍數(shù)-1）當(dāng)父親的年齡是兒子的9倍時(shí)， 那時(shí)兒子的年齡是 32（9-1）=4（歲）今年兒子16歲，那年兒子4歲，所以16-4=12（年）即：16-（48-16）（9-1）=12（年）答：12年前父親的年齡是兒子的9倍。練一練：父親今年47歲，兒子21歲，多少年前父親的年齡是兒子年齡的3倍？例2. 5年前，爺爺?shù)哪挲g比孫子大60歲，今年祖孫年齡和是100歲，求爺爺今年是多少歲？注意年齡差不變哦分析：5年前爺爺年齡比孫子大60，即年齡差是60歲，那5年后的今年，祖孫的年齡差：60歲 今年祖孫的年齡和是100歲， 大年齡=（年齡和+年齡差）2 則爺爺今年的年齡： （100+60）2=80（歲） 答：爺爺今年80歲。練一練：現(xiàn)在父親的年齡是兒子年齡的3倍，5年后，父子共58歲，父子現(xiàn)在各多少歲？例3. 今年?duì)敔?8歲，三個(gè)孫子分別是27歲、23歲、16歲，那么多少年后，爺爺?shù)哪挲g等于三個(gè)孫子年齡之和？分析：每過(guò)一年，三個(gè)孫子分別增長(zhǎng)1歲，三個(gè)孫子的年齡和就增長(zhǎng)了3歲，而爺爺?shù)哪挲g只增長(zhǎng)1歲，所以，每過(guò)一年?duì)敔數(shù)哪挲g和三個(gè)孫子年齡和的差就減少2歲。今年?duì)敔敽腿齻€(gè)孫子年齡和的差是：78-（27+23+16）=12（歲）；12（3-1）=6（年）所以，6年后，爺爺?shù)哪挲g等于三個(gè)孫子年齡之和。三. 鞏固提高1.父親今年比兒子大30歲，3年后，父親的年齡是兒子的4倍，兒子今年幾歲？ 2. 3年前，父親與兒子的年齡和是49歲，現(xiàn)在父親的年齡是兒子的4倍，父子今年各是多少歲？3. 6年前，母親的年齡是兒子的5倍，6年后，母子的年齡和是78歲，問(wèn)母親今年多少歲？ 4. 小明與小強(qiáng)三年后的年齡之和是27歲，小明比小強(qiáng)大3歲，問(wèn)小明和小強(qiáng)今年各多少歲？四.選做題今年媽媽和兒子的年齡和是34歲，媽媽比兒子大28歲，那么今年媽媽和兒子各多少歲？第八講 盈虧問(wèn)題一. 知識(shí)點(diǎn)回歸盈虧問(wèn)題，故名思意有剩下就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物品時(shí)，經(jīng)常會(huì)產(chǎn)程這種盈虧現(xiàn)象。鍵是專注兩次分配時(shí)盈虧總量的變化。我們把盈虧問(wèn)題分為三類：“一盈一虧”、“兩盈”“兩虧”。盈虧問(wèn)題的基本關(guān)系式：(盈虧)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)(盈盈)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)(虧虧)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)二.經(jīng)典例題例1. 四年級(jí)的同學(xué)分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒則少6粒，問(wèn)：有多少位同學(xué)分多少粒糖果？分析:由題目條件知道，同學(xué)的人數(shù)與糖果的粒數(shù)不變，比較兩種分配方案，第一種沒人分4粒就多9粒，第二種每人分5粒則少6粒，兩種不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原理在于兩種方案分配數(shù)不同，兩次分配數(shù)之差為15（位），糖果的粒數(shù)為：（粒）。練一練：某校同學(xué)排隊(duì)上操.如果每行站9人，則多37人；如果每行站12人，則少20人.一共有多少學(xué)生？例2. 老猴子給小猴子分桃，每只小猴10個(gè)桃，就多出9個(gè)桃，每只小猴分11個(gè)桃則多出2個(gè)桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少個(gè)桃子？分析：老猴子的第一種方案盈9個(gè)桃子，第二種方案盈2個(gè)，所以盈虧綜合是9-2=7（個(gè)），兩次分配之差是11-10-1（個(gè)）有盈虧問(wèn)題公式得，有小猴子：（只），老猴子有7（個(gè)）桃子。練一練：在橋上用繩子測(cè)橋離水面的高度。若把繩子對(duì)折垂到水面，則余8米；若把繩子三折垂到水面，則余2米。問(wèn)：橋有多高？繩子有多長(zhǎng)？例3.四(1)班給三好學(xué)生1獎(jiǎng)練習(xí)本,如果每人獎(jiǎng)5本,則差9本, 如果每人獎(jiǎng)3本, 則差1本,這個(gè)班有多少名三好學(xué)生?要獎(jiǎng)練習(xí)本?分析:這是兩次分配方案都是虧的盈虧問(wèn)題,解題的基本思路是: (大虧小虧)兩次分得之差人數(shù), 三好學(xué)生數(shù)和練習(xí)本數(shù)是不變的,但兩次每人獎(jiǎng)的本數(shù)發(fā)生了變化,結(jié)果相差9-1=8(本)，所以三好學(xué)生：8（5-3）=4（人）, 練習(xí)本：54-9=11（本）三. 鞏固提高1. 某中學(xué)安排學(xué)生宿舍，每間住6人，則有34人沒有床位，每間住7人，則多出4間宿舍，那么有多少宿舍？多少學(xué)生？2. 幼兒園老師給小朋友發(fā)小紅花，每人發(fā)4朵，則剩下20朵，每人發(fā)5朵，則剩下5朵，那么有多少小朋友？分多少小紅花？3. 在橋上用繩子測(cè)橋離水面的高度。若把繩子對(duì)折垂到水面，則余5米；若把繩子三折垂到水面，則余4米。問(wèn)：橋有多高？繩子有多長(zhǎng)？4. 明明過(guò)生日，同學(xué)們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元那么有多少個(gè)同學(xué)去買蛋糕？這個(gè)蛋糕的價(jià)錢是多少？5. 實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，恰好多出一輛車.問(wèn)一共有幾輛車，多少個(gè)學(xué)生？四.選做題1.媽媽買來(lái)一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個(gè)，其余人每人分2個(gè)，則多出4個(gè)；如果其中一人分6個(gè)，其余人每人分4個(gè)，則缺少12個(gè)，媽媽買來(lái)橘子多少個(gè)?全家共有多少人?2. 王老師由家里到學(xué)校，如果每分鐘騎車500米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘騎車600米，就可以比上課時(shí)間提前2分鐘到校.王老師家到學(xué)校的路程是多少米？第九講 最佳方案一. 知識(shí)點(diǎn)回歸在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到下面的問(wèn)題：完成一件事情，怎樣合理安排才能做到用的時(shí)間最少，效果最佳。這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)中稱為統(tǒng)籌問(wèn)題。統(tǒng)籌方法是生活和生產(chǎn)中合理安排工作的一種科學(xué)方法。我們的學(xué)習(xí)、生活都離不開時(shí)間，要完成一件事，如果我們能夠合理安排，選擇最佳方案，往往會(huì)收到事半功倍的效果。應(yīng)用統(tǒng)籌方法解決實(shí)際問(wèn)題，一般要做好三項(xiàng)調(diào)查：1.要做哪些工作；2.每項(xiàng)工作需要多少時(shí)間：3.弄清所做事情的程序，即先做什么，后做什么，哪些工作可以同時(shí)做，從而根據(jù)題意選擇最佳方案。二.經(jīng)典例題例題1. 用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個(gè)，剪一個(gè)餅需要2分鐘（規(guī)定正反面各需要1分鐘）。問(wèn)煎3個(gè)餅至少需要多少分鐘？思路導(dǎo)航：先將兩個(gè)餅同時(shí)放入鍋中一起煎，一分鐘后兩個(gè)餅都熟了一面，這時(shí)可將一個(gè)取出，另一個(gè)翻過(guò)去，再放入第三個(gè)。又煎了一分鐘，將兩面都熟的那個(gè)取出，把第三個(gè)翻過(guò)去，再將第一個(gè)放入煎，再煎一分鐘就會(huì)全部煎好。所以，煎3個(gè)餅至少需要3分鐘。練一練：用一只平底鍋烙大餅，鍋里只能同時(shí)放兩個(gè)。烙熟大餅的一面需要3分鐘，現(xiàn)在要烙3個(gè)大餅，最少要用幾分鐘？例題2. 媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開水需要15分鐘，洗茶壺需要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘？思路導(dǎo)航：經(jīng)驗(yàn)表明，能同時(shí)做的事，盡量同時(shí)做，這樣可以節(jié)省時(shí)間。水壺不洗，不能燒開水，因此，洗水壺和燒開水不能同時(shí)進(jìn)行。而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開水可以同時(shí)進(jìn)行。根據(jù)以上的分析，可以這樣安排：先洗水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，同時(shí)洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水開了就沏茶，共需要16分鐘。練一練：在早晨起床后的1小時(shí)內(nèi)，小萱要完成以下事情：疊被3分鐘，洗臉?biāo)⒀?分鐘，讀外語(yǔ)30分鐘，吃早餐10分鐘，收碗擦桌5分鐘，收聽廣播30分鐘。最少需要多少分鐘？例題3. 五（1）班趙明、孫勇、李佳三位同學(xué)同時(shí)到達(dá)學(xué)校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點(diǎn)眼藥水需要1分鐘。衛(wèi)生室只有一位校醫(yī)，校醫(yī)如何安排三位同學(xué)的治病次序，才能使三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短？思路導(dǎo)航:校醫(yī)應(yīng)該給治療時(shí)間最短的先治病，治療時(shí)間長(zhǎng)的最后治療，才能使三位同學(xué)在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短。這樣，三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間分別是：李佳1分鐘，趙1+3=4分鐘，趙明1+3+5=9分鐘。時(shí)間總和是1+4+9=14分鐘。練一練：甲、乙、丙三人分別拿著2個(gè)、3個(gè)、1個(gè)熱水瓶同時(shí)到達(dá)開水供應(yīng)點(diǎn)打熱水。熱水龍頭只有一個(gè)，怎樣安排他們打水的次序，可以使他們打熱水所花的總時(shí)間最少？例題4. 用18厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成各種長(zhǎng)方形，要求長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)。圍成的長(zhǎng)方形的面積最大是多少？思路導(dǎo)航:根據(jù)題意，圍成的長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬的和是182=9厘米。顯然，當(dāng)長(zhǎng)與寬的差越小，圍成的長(zhǎng)方形的面積越大。又已知長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)，因此，當(dāng)長(zhǎng)是5厘米，寬是4厘米時(shí)，圍成的長(zhǎng)方形的面積最大：54=20平方厘米。練一練：用長(zhǎng)26厘米的鐵絲圍成各種長(zhǎng)方形，要求長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)，圍成的長(zhǎng)方形的面積最大是多少？三. 鞏固提高1. 媽媽早上起來(lái)要完成如下幾件事：洗水壺1分鐘，電水壺?zé)_水要12分鐘，擦桌椅要6分鐘，把水灌入水瓶要2分鐘，去買油條要10分鐘，煮牛奶要8分鐘，媽媽怎樣安排才能使所用時(shí)間最短？2. 星期天，只有王師傅1人在中藥柜值班，現(xiàn)在有ABCDEFG7人排隊(duì)等候抓藥，王師傅估算一下這7個(gè)人時(shí)間分別是11分4分5分10分9分8分6分，請(qǐng)問(wèn)王師傅應(yīng)該如何安排這7個(gè)人抓藥的先后順序，才能使大家等候的總時(shí)間盡量短？3. 一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是40厘米，要求長(zhǎng)和寬都是整厘米數(shù)，圍成長(zhǎng)方形面積最大是多少平方厘米？4. .用一只平底鍋烙大餅，鍋里只能同時(shí)放兩個(gè)。烙熟大餅的一面需要3分鐘，現(xiàn)在要烙3個(gè)大餅，最少要用幾分鐘四.選做題1. 烤面包時(shí)，第一面需要2分鐘，第二面只要烤1分鐘，即烤一片面包需要3分鐘。小麗用來(lái)烤面包的架子，一次只能放兩片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分鐘？2. 在早晨起床后的1小時(shí)內(nèi)，小欣要完成以下事情：疊被3分鐘，洗臉?biāo)⒀?分鐘，讀外語(yǔ)30分鐘，吃早餐10分鐘，收碗擦桌5分鐘，收聽廣播30分鐘。最少需要多少分鐘？第十講 平均數(shù)問(wèn)題一. 知識(shí)點(diǎn)回顧1. 平均數(shù)問(wèn)題就是把幾個(gè)已知不相等的數(shù)，在總量不變的情況下，通過(guò)移多補(bǔ)少，使它們成為相等的幾份數(shù)，求其中一份數(shù)。2. 解答平均數(shù)問(wèn)題必須注意兩點(diǎn)：第一，總數(shù)量與總份數(shù)之間必須互相對(duì)應(yīng)；第二，必須明確總數(shù)量和總份數(shù)各是由幾個(gè)部分合并而成的。3. 解答平均數(shù)問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系式是： 總數(shù)量總份數(shù)=平均數(shù)平均數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量總數(shù)量平均數(shù)=總份數(shù)二. 經(jīng)典例題例1.在一次登山比賽中，小剛上山時(shí)每分走40米，18分 到達(dá)山頂。然后按原路下山，12分鐘到達(dá)了山底，問(wèn)小剛上、下山平均每分鐘走多少米？ 分析：這是一道典型的求均數(shù)問(wèn)題。求平均每分鐘走了多少米，那我們根據(jù)解決平均數(shù)問(wèn)題的方法：總數(shù)總份數(shù)=平均數(shù)。可知要先求出一共走了多少米即總數(shù)量和一共走了多長(zhǎng)時(shí)間即總份數(shù)，這樣就可以求出每分鐘走了多少米即平均數(shù)。 解：總數(shù) 總份數(shù) = 平均數(shù) （40182 ）（18+12）= 48（米） 答：小剛上、下山平均每分鐘走48米。練一練：一輛小汽車從甲城開往乙城，速度是60千米/時(shí)，12小時(shí)到達(dá)乙城，又順原路返回甲城，速度為40千米/時(shí)，求這輛小汽車往返的平均速度？例2.期末考試結(jié)束了，小輝去班主任那了解他的考試成績(jī)，班主任告訴他，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)的總分是190分，語(yǔ)文、英語(yǔ)的總分是185分，數(shù)學(xué)、英語(yǔ)的總分是189分，請(qǐng)你幫忙算一算，小輝三科的平均成績(jī)是多少？分析：根據(jù)“總成績(jī)總份數(shù)=平均成績(jī)”來(lái)解答，這里的總成績(jī)可以求出6科的成績(jī)，也就是190+185+189的和，這里有2倍的語(yǔ)文、2倍的數(shù)學(xué)、2倍的英語(yǔ)成績(jī)，除以2后就得三科的總分，再除以3就是他的=平均成績(jī)。解：（190+185+189）23=94（分）答：他三科的平均成績(jī)是94分。練一練：某班有40名學(xué)生，期中數(shù)學(xué)考試，有兩名同學(xué)因故缺考，這時(shí)班級(jí)平均分為89分，缺考的同學(xué)補(bǔ)考各得99分，這個(gè)班期中考試平均分是多少分？例3.有七個(gè)數(shù)排成一列，它們的平均數(shù)是14，前四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是13，后四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是15，你知道第四個(gè)數(shù)是多少嗎？分析：根據(jù)“平均數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量”來(lái)解答，前四個(gè)數(shù)，后四個(gè)數(shù)一共是8個(gè)數(shù)，中間（第四個(gè)數(shù)）這個(gè)數(shù)計(jì)算了兩次，所以它們的和一定比七個(gè)數(shù)的總數(shù)多，多出的數(shù)就是第四個(gè)數(shù)。解：(134+154)-147=14答：第四個(gè)數(shù)是14。練一練：有五個(gè)數(shù)排成一列，它們的平均數(shù)是46，前三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是38，后三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是50，你知道第三個(gè)數(shù)是多少嗎？三. 鞏固提高1.10位同學(xué)在一次考試中，最高得分是95分，最低得分是75分，總平均分是81分，去掉最高分和最低分，其余8位同學(xué)的平均分是多少？2.明明家共有5個(gè)人，如果不算明明，其余4個(gè)人平均體重是56千克。當(dāng)明明加入后，全家人的平均體重減少了2.6千克。明明的體重是多少千克？3.一輛汽車從A地到B地，前3小時(shí)每小時(shí)行90千米，后2小時(shí)由于道路原因，每小時(shí)少行5千米。汽車從A地到B地的平均速度是多少？4.四（1）班學(xué)生中，9歲的有15人，10歲的有17人，11歲的人18人。四（1）班的平均年齡是多少？5.李師傅前4天平均每天加工30個(gè)零件，改進(jìn)技術(shù)后，第五天加工零件55個(gè)，李師傅5天中平均每天加工多少零件？四.選做題1.李冰期中考試語(yǔ)文、英語(yǔ)、自然的平均成績(jī)是76分，數(shù)學(xué)成績(jī)公布后，他的平均成績(jī)提高了3分。李冰的數(shù)學(xué)成績(jī)是多少分？2.五年級(jí)同學(xué)進(jìn)行達(dá)標(biāo)抽測(cè)，10名同學(xué)的跳高成績(jī)（單位：厘米）分別是99，100，110，97，96，95，88，90，92，93。求他們跳高的平均成績(jī)。第十一講 長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)和面積 一. 知識(shí)點(diǎn)回顧解答有關(guān)“圖形的周長(zhǎng)、面積”問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1.細(xì)心觀察，把握?qǐng)D形特點(diǎn)，合理地進(jìn)行切拼，從而使問(wèn)題得以順利地解決；2.從整體上觀察圖形特征，掌握?qǐng)D形本質(zhì)，結(jié)合必要的分析推理和計(jì)算，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。3.基本公式：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=(長(zhǎng)+寬)2 正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)4 長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)寬 正方形的面積=邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)二. 經(jīng)典例題例題1.下圖是一個(gè)養(yǎng)禽專業(yè)戶用一段16米的籬笆圍成的一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，求它的占地面積。思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，因?yàn)橐幻胬弥鴫?，所以兩條長(zhǎng)加一條寬等于16米。而寬是4米，那么長(zhǎng)是（164）2=6米，占地面積是64=24平方米。解: （164）2=6(米) 64=24（平方米）答：它的占地面積為24平方米。練一練：右圖是某個(gè)養(yǎng)禽專業(yè)戶用一段長(zhǎng)13米的籬笆圍成的一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，求養(yǎng)雞場(chǎng)的占地面積。例題2.街心花園中一個(gè)正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12平方米，中間花壇的面積是多少平方米？思路導(dǎo)航：把水泥路分