高中數(shù)學(xué)課程團(tuán)隊(duì).doc

江蘇教育學(xué)院附屬高級中學(xué)數(shù)學(xué)教研組教研資料高中數(shù)學(xué)課程團(tuán)隊(duì)高中數(shù)學(xué)新課程中可選內(nèi)容的分析和思考第一課時 主持人張思明北京大學(xué)附屬中學(xué) 特級教師 評論嘉賓王尚志首都師范大學(xué) 教授 博導(dǎo) 高中課標(biāo)研制組負(fù)責(zé)人 評論嘉賓張怡慈首都師范大學(xué) 教授 博導(dǎo) 高中課標(biāo)研制組負(fù)責(zé)人 特邀嘉賓檀晉軒北京第十九中學(xué) 高級教師 特邀嘉賓邵文武北京第八中學(xué) 碩士主持人：各位老師大家好！歡迎大家參加高中數(shù)學(xué)新課程遠(yuǎn)程研修。今天我們非常榮幸的請到了兩位嘉賓，我身邊的這一位是首都師范大學(xué)教授張飴慈教授，那邊那位是首都師范大學(xué)的教授、博士生導(dǎo)師王尚志。他們兩位都是參加了我們高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的研制以及參加了高中新課程標(biāo)準(zhǔn)教材的編寫，都是負(fù)責(zé)人之一。那么我想他們兩個的參加，為我們研討提供了非常好的理論和實(shí)踐的保證。我們這一講的主題是對高中數(shù)學(xué)新課程可選內(nèi)容的分析和思考。在這一講里頭我們要涉及高中數(shù)學(xué)新課程增加了很多選學(xué)的內(nèi)容，如何選擇這些內(nèi)容？選擇了以后，我們要做哪些分析？怎么樣處理在選擇中的一些問題？這里頭我們也會給老師們提供一些案例，也要加上一些分析，特別是我們這一部分內(nèi)容，對很多老師都有特別新或者比較生疏的感覺，怎么來處理這些矛盾？怎么來提高自己對這些選擇性內(nèi)容的認(rèn)識和識別？我想這是一個很重要的問題！我們來看這樣一個采訪，看看老師們是怎樣看的：各位老師好！在我們一起座談的過程中，我們也感受到了高中新課程增加了很多新的內(nèi)容，特別是選三選四有很多新的模塊，作為一個老師，在他自己的學(xué)習(xí)生涯里頭，不可能或者說很難把這些內(nèi)容都學(xué)過。但是我們面臨進(jìn)入新課程以后，每個老師都有這種選擇，要選擇一部分內(nèi)容去教，也要先去學(xué)。我想問大家，如果給了你這個機(jī)會你希望選擇哪些內(nèi)容？畢：我喜歡選數(shù)學(xué)史，我覺得這個數(shù)學(xué)史很容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使他明白數(shù)學(xué)是怎么來的，每一個知識點(diǎn)，每一個過程都是怎么樣得到的，也會培養(yǎng)他一種科學(xué)的精神。李：如果我去選，我可能更會選擇一些與學(xué)生生活更為相關(guān)，或者是更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)價值的一些內(nèi)容。比如說信息安全與密碼、象布爾代數(shù)與開關(guān)電路，這些內(nèi)容更容易去激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的這種興趣，也更有利于學(xué)生去認(rèn)識數(shù)學(xué)在生活當(dāng)中應(yīng)用價值和指導(dǎo)意義。郗：經(jīng)歷過多年的教學(xué)以后，大學(xué)學(xué)的內(nèi)容遺忘的也比較多。因此我在看這些個選修內(nèi)容的時候，我覺得對我來說可能都是比較新的、陌生的，但是我覺著這一輪的課程改革，對每一個年輕教師來說，都存在著一個機(jī)遇和挑戰(zhàn)的問題。這個機(jī)會我想也是促進(jìn)教師專業(yè)化發(fā)展的一個途徑，所以雖然他們都是新的，但是我從中還是選擇了一個。但是在學(xué)的過程當(dāng)中，我發(fā)現(xiàn)其實(shí)一開始感覺難，但是后來覺得也不是特別難，只要自己能夠去鉆研，在教學(xué)過程當(dāng)中不斷地去摸索，實(shí)際上還是可行的。劉：我是比較年輕的教師，我們在年輕教師隊(duì)伍當(dāng)中，有一些是高學(xué)歷的教師，以前很多老師認(rèn)為這樣高學(xué)歷的老師到中學(xué)來教書，是不是就沒有用武之地，我覺得這個新課程的改革恰好給了我們一個很好的一個展現(xiàn)的舞臺。在這里我們通過研究生、甚至是博士生這個階段所學(xué)的內(nèi)容，在中學(xué)當(dāng)中有一些簡單的介紹。這個時候就可以利用我們專業(yè)上的一些優(yōu)勢，把這樣的課程開設(shè)起來，然后讓有這種能力的學(xué)生對咱們數(shù)學(xué)知識更高層次上的內(nèi)容有所了解，這可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。比如說歐拉公式與閉曲線分類，這些可能很多老師在大學(xué)階段是沒有學(xué)到的，而我們在研究生階段學(xué)過這部分內(nèi)容，所以開設(shè)起來可能更容易一些，這個時候就充分發(fā)揮了年輕教師的一些優(yōu)勢。馬：當(dāng)一看到選三選四這16個專題的時候，很容易望文生畏，比如說信息安全與密碼、開關(guān)電子與布爾代數(shù)，大家會提出這樣的質(zhì)疑，說這些課程有的在大學(xué)的數(shù)學(xué)系都不能開出來，我們作為中學(xué)老師怎么可能講給學(xué)生聽呢？在這里我想說一下這16個專題，并不是簡單地把大學(xué)的內(nèi)容的下放，而是利用學(xué)生初三的那個認(rèn)知的基礎(chǔ)上來編寫的這些相關(guān)的教材，如果我要去中學(xué)講這個選修課的話，我想根據(jù)現(xiàn)在咱們經(jīng)濟(jì)生活的這個形勢，大家比較喜歡投資，比較喜歡炒股，所以我想給學(xué)生開設(shè)風(fēng)險與決策這門課，可能學(xué)生會比較感興趣。這門課學(xué)生有可能他學(xué)到的知識，并不能直接運(yùn)用于咱們現(xiàn)在的經(jīng)濟(jì)生活，但是他能夠通過學(xué)這門課使學(xué)生產(chǎn)生對于數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)生對數(shù)學(xué)感興趣了，以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以說就會省很多的勁，很多學(xué)生也就因此開竅了。 陳：我覺得對于我來說，作為一個年輕老師，所有的選修課都應(yīng)該要開，有些課雖然說原來大學(xué)學(xué)得也不是很深甚至沒學(xué)過，但是我們有前面的大學(xué)的數(shù)學(xué)做基礎(chǔ)，可以進(jìn)一步地學(xué)習(xí)，然后去解決這些問題。對于我個人的愛好來說，我偏向于開初等數(shù)論初步和三等分角及數(shù)域的擴(kuò)充、初等數(shù)論。主要是原來我給學(xué)生講數(shù)學(xué)計(jì)算的時候，涉及過這里面的一些東西，覺得這里面它雖然涉及的知識點(diǎn)不是特別多，但是它有很多想法，能夠滲透一些數(shù)學(xué)的智慧在里邊，對于三等分角及數(shù)域擴(kuò)充，因?yàn)檫@個原來我上大學(xué)的時候這塊也挺感興趣，而且覺得這里面有很多能夠體會數(shù)學(xué)的內(nèi)容的一些東西，所以我喜歡開這兩門課。主持人：大家都看到了，在這個采訪中，老師們都有很多的想法，特別是表現(xiàn)出了一種青年教師的一種朝氣。很多老師都說我自己一定要努力，盡快適應(yīng)高中新課程，在這個過程中跟課程一起成長，我覺得這種心態(tài)和這種要求非常值得我們贊賞。我們也可以請嘉賓幫我們分析一下，在新課程中增加了這么多的內(nèi)容，是出于怎樣的考慮？王尚志：我先來說一下，就是首先談一下選擇性的問題。這次高中課程改革的一個最大的一個突破，就是在選擇性上，這個選擇性包括這么幾個層面，一個就是領(lǐng)域的劃分，不同領(lǐng)域的選擇；另一個就是某一個學(xué)科里都提供了一個比較廣泛的一個選擇空間，那么這個選擇性的作用，我想大家都比較清楚，隨著時代的發(fā)展，使我們的社會對于人選擇能力提出了越來越高的要求，過去都是包分配的，現(xiàn)在是要自己找工作的。因此要選擇適合于自己的工作，能夠發(fā)揮自己優(yōu)勢的工作，那么這樣的選擇能力，不是一蹴而就的，需要我們從高中階段就開始培養(yǎng)和樹立選擇的能力和一種選擇的意識，或者我們更進(jìn)一步說叫做把握人生的能力。所以我想這一件事情，是一個非常重要的一個突破。作為數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，在選擇性上也做了一些探討，關(guān)于選修一和選修二系列的內(nèi)容，我們已經(jīng)做了介紹，現(xiàn)在就著重談一下選修三、選修四系列的設(shè)定的一個基本情況。當(dāng)初我們都參加了課程標(biāo)準(zhǔn)的研制。我想這個選擇性內(nèi)容的選擇，經(jīng)歷了這么一個過程，首先大家都知道我們國家的著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生、段學(xué)富先生以及現(xiàn)在著名的數(shù)學(xué)家姜伯駒先生等等，他們都為中學(xué)生在60年代的時候?qū)懗隽艘慌浅：玫男宰?，比如說從祖沖之的圓周率談起、對稱與群、楊輝三角、一筆劃問題等等。那么這些實(shí)際上影響了一代人的成長，我個人也是在這樣的，讀這樣一些書的過程中成長起來的。我們前后屆都是這樣一個過程，我們談?wù)撈疬@些書對于我們影響的時候，都感受到這個書對我們開闊眼界，提高素養(yǎng)起了很重要的作用。另外一個方面，我們當(dāng)時借鑒了俄國和歐洲一些國家為他們的學(xué)生開設(shè)的選課，應(yīng)該說他們開出來的選課是非常豐富的。我們都知道俄國有一個特殊的一些學(xué)校叫做物理學(xué)校。他們就為學(xué)生開設(shè)出了很多和近代數(shù)學(xué)、近代物理學(xué)有關(guān)的許許多多的選擇課程，以此來開拓學(xué)生的眼界，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。那么在歐洲，象在芬蘭和其他一些歐洲的大國也都開出了一些相應(yīng)的選擇課程，所有這些都是我們構(gòu)建選擇課程的基礎(chǔ)。我們廣泛的征求我們國家數(shù)學(xué)界的數(shù)學(xué)家、應(yīng)用數(shù)學(xué)家、還有大學(xué)數(shù)學(xué)老師的意見。張怡慈：我們現(xiàn)在這一次跟60年代華先生那一代他們還不太一樣，就是當(dāng)時他們是主要針對一些對數(shù)學(xué)特別有興趣的人開設(shè)的，而我們需要對廣大的高中生開設(shè)的，比如說包括應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的和更廣一些，甚至數(shù)學(xué)史方面這些內(nèi)容。我們開了很大的一個單子，征求意見，然后再讓這些數(shù)學(xué)家們來發(fā)表意見，對每一個同意開還是不同意開，為什么同意開，做了這樣一個廣泛的調(diào)查，最后我們初步確定了是現(xiàn)在這樣的一些。然后我們就在中學(xué)不同層次的學(xué)校做了試驗(yàn)。王尚志：對，我們開設(shè)了這些課程，向這些學(xué)生征求了一些意見，也有一些中學(xué)老師和我們一起去開了這個課程，并且做了調(diào)整，最后又在我們標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)部，又報告了這些內(nèi)容，然后經(jīng)過了一個反復(fù)的討論，最后又經(jīng)過審查委員會的審查，他們也提出了他們的修改意見。所以大體上經(jīng)歷了這么一個過程。從現(xiàn)在來看，可能我們最近又聽到了新的意見，那么教育部希望采取一個分布推進(jìn)的一個策略來逐步的拓展選擇的空間，比如說現(xiàn)在希望在中學(xué)大概有十個選擇課程，包括幾何論證選講、不等式選講、坐標(biāo)系參數(shù)方程、優(yōu)選法與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、初等數(shù)論、矩陣與變換、風(fēng)險與決策、數(shù)學(xué)史選講、對稱與群、球面幾何大概這十個。對于其他的想經(jīng)過一段時間，再逐步的拓展?，F(xiàn)在也有這么一個想法，也可能會逐步的再拓展個別的也有可能做一些調(diào)換。我想這個是比較客觀的，也是很對的一個做法。而且對于一些學(xué)校來說，也不要求這些學(xué)校一下子把所有這些課程都開齊，也是有一個逐步的過程；對于一個老師來說，也不要求他一下子把所有的課都開齊，也是有一個逐步的過程。就是我想無論是教研室，無論是學(xué)校，都可以訂立一個計(jì)劃逐步的開展選修的課程。目前在實(shí)驗(yàn)區(qū)陸續(xù)的在擴(kuò)大選修的范圍，比如說廣東他們對于選修課程采取了文科是一選一，理科是二選一；寧夏回族自治區(qū)理科是六選一等等。那么北京又提出了新的舉措，希望在示范學(xué)校能夠開出選修課程的60%，并且要求示范學(xué)校一定要帶這個頭，比如說像二中、四中、人大附中、北大附中，都在訂立自己學(xué)校開設(shè)選修課程的計(jì)劃，并且分別要落實(shí)到人，我想有一批中青年老師開設(shè)選修課程的積極性非常高，拿四中來說，這已經(jīng)成為他們學(xué)校發(fā)展的一個傳統(tǒng)，我想其他的學(xué)校也都設(shè)立了不同性質(zhì)的校本課程。我想他們會把選修課程和校本的開發(fā)有機(jī)的結(jié)合起來，不斷地拓展開設(shè)選修課的空間，另外一點(diǎn)就是選修課程的開設(shè)，對于教師的專業(yè)成長的確也是一個非常好的載體，我覺得開和不開還是不一樣的。主持人：我們現(xiàn)在的很多老師也是這樣的，比如我們這個課程組的老師，很多老師都是通過開選修課以后，就形成自己的特色品牌，像我們一會兒來做教材分析的檀晉軒老師，他不僅開了而且參與了教材的編寫。我們還有很多青年老師，在學(xué)校里頭剛分配來一年、兩年，但是他對新的這些內(nèi)容非常熟悉，把這個選修課作為自己在學(xué)校的一個品牌創(chuàng)立起來，同時也通過這個研修形成了自己的一些教學(xué)風(fēng)格，比如說像這個矩陣變換，講數(shù)學(xué)史的老師，他文理交融，能很好的發(fā)揮自己的特長，發(fā)揮自己個性的一些特長領(lǐng)域。王尚志：所以在開設(shè)選修課的過程中，我們還面臨這樣一個挑戰(zhàn)，就是不考的開不開，我想以數(shù)學(xué)史選講為例，那么很多老師確實(shí)有這樣的障礙，認(rèn)為這個高考不考，我們還需不需要開設(shè)。但是也有一部分老師，做了非常好的嘗試，他們通過試一試，愿意開設(shè)這門課程?，F(xiàn)在很多學(xué)校都開出數(shù)學(xué)史選講這門課程，我覺得這是一個很大的發(fā)展，我聽李文林老師說最近他們參加數(shù)學(xué)史教學(xué)研討會的人數(shù)突然的增加了非常多。很多中學(xué)老師都參加了他們的會議，并且介紹自己在開設(shè)數(shù)學(xué)史選講的一些經(jīng)驗(yàn)和體會。我們在下一講希望邀請李文林老師來參與我們的活動，我想開設(shè)數(shù)學(xué)史選講雖然不會考，但它會起到非常好的作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)本質(zhì)。張怡慈：有一些選修課，當(dāng)然功利的看不是高考的問題，但是我想這些課的開設(shè)，對學(xué)生的能力培養(yǎng)還有很大的好處。比如像對稱與群，福州的八中它就還沒有進(jìn)入這個課程它已經(jīng)就開了，北京四中也已經(jīng)開了。他們老師和學(xué)生反映，都是非常非常好的。從培養(yǎng)一個人來說，我想這一次選擇性的設(shè)立，無論對學(xué)生還是對老師都是有非常好的一個作用。當(dāng)然具體的操作的話，將來可以有修訂修改。王尚志：我覺得這是非常好的一個方向。比如說我舉一個例子，首師大附中，雖然還沒有進(jìn)入這個新課程，但是他們一個剛畢業(yè)的老師就開設(shè)了矩陣與變換，效果非常好。開設(shè)課老師跟我說，她說我發(fā)現(xiàn)有些過去對數(shù)學(xué)沒有興趣的同學(xué)，通過上這樣的一個選修課，變得對數(shù)學(xué)有興趣了，學(xué)習(xí)成績也發(fā)生了一定的變化。而這個老師恰恰是畢業(yè)時間不長的一個老師，我們還會邀請她來參加我們的討論。所以我想開設(shè)選修課的過程也可以看作是一個老師成長的過程。主持人：兩位老師對開設(shè)選修課的必要性和可能性、可行性都做了分析。我想很多老師都關(guān)心我們實(shí)驗(yàn)區(qū)對于選修課的評價，怎么考？用什么方案去考？這方面有哪些舉措？我們想請課程中心的馬芳華老師給我們大家做一個介紹。馬芳華：請見附件：41高中新課程實(shí)驗(yàn)省市數(shù)學(xué)高考方案馬芳華.ppt主持人：剛才馬芳華老師把實(shí)驗(yàn)區(qū)里的一些典型省份的高考的對于選修課的這種考法，做了一個初步的介紹。當(dāng)然我們想象隨著實(shí)驗(yàn)區(qū)的擴(kuò)大，更多的省市會拿出更積極的方案，我們也從這個方案中看到這種態(tài)勢，您說呢？王尚志：是的！我想隨著時間的推進(jìn)，選擇的空間會逐步的擴(kuò)大。我們也衷心的希望高考的命題者能夠和我們一線的老師一起來研討，如何在高考中出好選修課專題的考試題。這樣能夠更加積極的推動選修課的開設(shè)。我想這是一個非常重要的，也是我們積極期待的一件事情。主持人：我們很多老師也都認(rèn)為選修課自己上大學(xué)的時候沒有學(xué)過，所以看著這個“選“就覺得和”難“聯(lián)系在一起，其實(shí)未必是這樣。我們下面將通過一些具體的案例，也來解剖兩個具體的麻雀。我們就選了兩個選修課的重點(diǎn)內(nèi)容，就是選的頻率比較高的內(nèi)容，一個是矩陣和變換，還有一個是數(shù)學(xué)史。我們想聽一聽一線的老師在參與這些教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)踐的時候，他們對這兩個選修內(nèi)容的分析和他們的體會。下面請北京的檀晉軒和邵文武兩位老師，來做的矩陣單元的整體教學(xué)分析。檀：對于矩陣與變換，邵老師幫我們來分析一下矩陣與變換在高等數(shù)學(xué)中具有怎樣的地位和作用。邵：應(yīng)該說矩陣的學(xué)習(xí)在代數(shù)學(xué)習(xí)課程中占有舉足輕重的地位。因?yàn)楝F(xiàn)在從大學(xué)的課程安排來看，無論是工科學(xué)生還是理科學(xué)生，都要學(xué)習(xí)線性代數(shù)的知識。特別在現(xiàn)在一些高等院校中，一些文科院系也開展了高等數(shù)學(xué)，那么線性代數(shù)也是其中一個嚴(yán)重內(nèi)容之一。因此實(shí)際上所有學(xué)生如果升入大學(xué)以后很多都要接觸到線性代數(shù)。那么矩陣就是其中一個研究內(nèi)容之一。所以我們現(xiàn)在把這個課程想引入高中課程，另外一個作為抽象的數(shù)學(xué)對象之一，矩陣實(shí)際上是很抽象的，但把矩陣研究清楚之后，學(xué)生如果繼續(xù)想學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)里邊一些知識，那矩陣又將作為一個具體的實(shí)例出現(xiàn)，所以說它具有廣泛的應(yīng)用性，還有一個基礎(chǔ)性作用，是其他學(xué)科一些基礎(chǔ)知識不能替代的。檀：正因?yàn)榫仃囋诟叩葦?shù)學(xué)中具有這樣的地位和作用，因此新課程標(biāo)準(zhǔn)中，就把矩陣作為一個內(nèi)容引入到高中的課程中來，那么一方面是希望學(xué)生能夠在中學(xué)階段就極早的接觸和了解一部分高等數(shù)學(xué)的知識和內(nèi)容，是通過課程改革使學(xué)生能夠開拓數(shù)學(xué)視野。邵：既然這樣看的話，檀老師你怎么認(rèn)為如果在高中開設(shè)這門課程和在大學(xué)開設(shè)這門課有哪些不同，應(yīng)該怎么去處理。檀：我想是不一樣的！在大學(xué)中矩陣主要是以抽象的代數(shù)的角度，那么把矩陣作為一個代數(shù)的運(yùn)算對象從抽象一般的矩陣出發(fā)來研究矩陣的運(yùn)算，以及它相關(guān)的一些運(yùn)算性質(zhì)。而在高中階段，我們只限于二階方陣。對具體的二階方陣研究，主要是研究它與平面向量的乘法以及二階方陣自己的乘法。那么又由于二階方陣與平面向量乘法具有非常明顯的幾何意義，因此我們在中學(xué)階段應(yīng)該突出它這幾何意義，并且從幾何意義的角度來講。希望學(xué)生能夠從幾何上更加直觀的去感受矩陣的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)。邵：說到這里我們想對比一下，矩陣在高中有一個認(rèn)識，在大學(xué)同樣有另外一個認(rèn)識。但現(xiàn)在這門課程既然在高中開設(shè)的話，那我們要認(rèn)識清楚到底怎么來開設(shè)？實(shí)際上這門課程設(shè)置主要目的之一還是想講矩陣，是想講矩陣的相關(guān)運(yùn)算和性質(zhì)，但是因?yàn)槠浔旧矸浅３橄螅鳛楦咧衼碇v它無論在知識，還是接受能力等發(fā)面都有一些欠缺。這樣課標(biāo)要求我們從線性變換角度來講矩陣，所以說實(shí)際上通過二階方陣的幾何背景來了解矩陣，因此自始至終我們?nèi)绻v矩陣的話，都應(yīng)該把矩陣看成一種運(yùn)算，但是把幾何變換看成一種背景。從這個角度去理解，這樣說的話就有一個問題，我們在講授這門課的時候，不能把它認(rèn)為是一門幾何課程。這個和我們現(xiàn)在另外一個分支是不同的，比如說解析幾何，解析幾何是用代數(shù)的方法來研究幾何。矩陣與變換，我們是想研究代數(shù)的知識，而是通過幾何背景來介紹和學(xué)習(xí)。檀：邵老師主要提出來的是矩陣和向量在教學(xué)中的一個定位，和它在整體的教學(xué)中的一個突出的主線。實(shí)際上作為大學(xué)的一個非常抽象的內(nèi)容，它引入到高中作為一個專題來進(jìn)行教學(xué)的話，對于高中的學(xué)生是有一定的困難。這個困難我想可能來自于幾個方面：一個方面首先作為一種非常新的運(yùn)算對象，它的運(yùn)算定義的形式以及它的很多的性質(zhì)，是學(xué)生初次遇到。比方說對于乘法的不交換性，學(xué)生從未見到過，因此學(xué)生在接受這個問題的過程中，他首先有非常大的困惑；另外對于這一門課程它本身，對于在變換中的不變性。比如說在矩陣的特征向量和特征值這個問題上，從概念的理解以及它相關(guān)的運(yùn)用被學(xué)生掌握起來都是非常困難的。那么邵老師對這個方面有什么樣的一些設(shè)想？邵：要想就是解決這個問題的話，因?yàn)榫仃嚤旧砭哂幸恍┳约旱碾y點(diǎn)，所以我們講的時候，首先一個進(jìn)行處理的方法是要分散難點(diǎn)。比如說應(yīng)該在多種場合對同一個知識點(diǎn)進(jìn)行滲透，或者說先給出一些鋪墊。比如說在最開始研究幾何變換的時候，就可以給出特殊向量中一些簡單的例子，讓學(xué)生從感性上加以認(rèn)識，但是并不給出具體的定義，也就是說通過具體在研究反射變換、伸縮變換這樣一些具體的矩陣變換過程中，可以提出一些個相關(guān)的問題，使學(xué)生去初步通過運(yùn)算去感受在這運(yùn)算下的一些不變性質(zhì)，或者說把他們作為其中一些特殊的例題或者例子出現(xiàn)，讓學(xué)生先認(rèn)識。這樣在你真正講這個定義的時候，學(xué)生已經(jīng)有了一個認(rèn)識，然后通過一些大量的感性認(rèn)識，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象概括，這樣講起來可能會更好一些。還有一個比如說我們最后講特征向量到底怎么應(yīng)用，我可以先講應(yīng)用，說這個向量如果講完以后它具有這樣的性質(zhì)。在運(yùn)算過程中我可以簡化很多運(yùn)算，讓學(xué)生先從它的具體的實(shí)際意義來理解，理解以后再反過來講它其他東西，比如說怎么樣求特征向量，這樣可能會更清楚一點(diǎn)。便于學(xué)生把這個難點(diǎn)克服。檀：當(dāng)然另外我們還可以對大量的復(fù)雜的矩陣運(yùn)算，借助一些相關(guān)的運(yùn)算工具，比如一些手持的計(jì)算工具，以及計(jì)算機(jī)中的Excel等等一些程序，我們都可以完成一些復(fù)雜的運(yùn)算。這樣的話在學(xué)生初步掌握了運(yùn)算的規(guī)律基礎(chǔ)上，他可以通過這種結(jié)果去觀察和深入研究運(yùn)算中所蘊(yùn)涵的一些性質(zhì)和運(yùn)算的規(guī)律。邵：因?yàn)樾畔⒓夹g(shù)現(xiàn)在，也是課標(biāo)的一個要求。我們可以把這部分加進(jìn)去更加體現(xiàn)出幾何直觀性，來了解矩陣相關(guān)知識。檀：實(shí)質(zhì)上對于這個專題的內(nèi)容而言，并沒有太大的難度，初中畢業(yè)的學(xué)生就可以能夠開始掌握。所以高一開設(shè)是完全可以的，但是如果要是在高一開設(shè)的話，勢必要補(bǔ)充適當(dāng)?shù)南蛄俊⑵矫嫦蛄康南嚓P(guān)知識，因此要拿出一定的課時在之前對學(xué)生，在平面向量中給予適當(dāng)?shù)匿亯|。邵：如果這個課要是在高二開的話，可能效果會更好一點(diǎn)，這是我們個人認(rèn)為，當(dāng)然不是說非得強(qiáng)求。因?yàn)檫@個時候?qū)W生所需基本知識已經(jīng)具備了。比如說向量我已經(jīng)講過了，另外學(xué)生經(jīng)過一年的高中學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)能力要比高一學(xué)生強(qiáng)得多，這樣接受起來可能更容易一些。同時如果在高二開設(shè)這門課程的話，它實(shí)際還可以幫助學(xué)生理解另外一些概念，比如說我們在這里要求，把矩陣看成一種映射，是平面點(diǎn)到平面的話，這樣可以加強(qiáng)對什么叫映射。給出一個具體實(shí)例，還比如說在這里邊實(shí)際有一個逆矩陣，就可以和函數(shù)里邊的反函數(shù)相對，反函數(shù)雖說課標(biāo)里已經(jīng)降低要求，但你給出具體實(shí)例，理解起來可能更容易一些。當(dāng)然還有一些其他拓展，這樣的話可能就是會更好一些，效果是不一樣的。矩陣作為一個新的課程內(nèi)容，是在以前的學(xué)習(xí)過程，或者說要求是從來沒有的。作為一種現(xiàn)代社會的研究對象，是第一次把它下放高中，而這個實(shí)際上并不是第一次，那我們現(xiàn)在已經(jīng)把微積分的一些知識，還有概率統(tǒng)計(jì)的一些知識下放到高中了。同樣那門課從現(xiàn)在講課效果來看的話，已經(jīng)取得了一定的成果，或者一定進(jìn)步。而我相信如果老師能夠把這部分處理比較好的話，矩陣這門知識同樣可以講的好，而現(xiàn)在根據(jù)我們了解的信息的話，在一些省市實(shí)際上這門課開的情況確實(shí)不錯。檀：北京也有很多的學(xué)校早已經(jīng)在新課程進(jìn)入之前，已經(jīng)嘗試著開設(shè)了這門課程。邵：還有一個問題就是剛才跟一個老師了解的話，就是老師可能在備課過程中要遇到一些困難。因?yàn)檫@門課是新的，但是學(xué)生接受起來是比較容易的。這樣的話可能對學(xué)生從成功感的感覺來說，可能會更好一些。所以我們希望老師能把這門課開好。主持人：好！ 看了兩位老師做的矩陣單元分析。我想請張教授來分析一下，這個矩陣單元的內(nèi)容你覺得應(yīng)該怎么看待把握？張怡慈：我想就我們中學(xué)的矩陣的定位，把它再說一下。我想可能我們要分六個層面來理解這一部分，就它的層次來說，首先第一個層次就是我們要認(rèn)識到矩陣它把平面上每一個點(diǎn)變到了另外一個點(diǎn)，另一個點(diǎn)當(dāng)然可以跟它是一樣的，并且知道是怎么變的，然后從這就提高到，我們矩陣它把平面上每一個點(diǎn)變到了平面上另一個點(diǎn)。王尚志：對于矩陣是平面到平面上的一個變換，希望老師不要一蹴而就，這是需要一個比較長時間的積累，才能幫助學(xué)生形成這樣一個意識。因?yàn)樵诹x務(wù)教育階段，我們常常談的是圖形的運(yùn)動，一個圖形變到另一個圖形。另外一個方面實(shí)際上它是一個變換下完成的這樣一個運(yùn)動，所以我想老師應(yīng)該特別注意這一點(diǎn)，就是要強(qiáng)調(diào)變成整個平面的點(diǎn)。第二個層次的話，我們講的是幾個常見的矩陣表示的變換。這有兩個層次，第一就是加深對前面矩陣變換的理解；第二我們把過去常講的壓伸、旋轉(zhuǎn)、反射等等這些變換，通過在這一段里頭讓學(xué)生對它有一個理解。知道我們矩陣可以表示這樣一些變換，通過對這些變換的理解來掌握第一部分矩陣與變換的問題。我們在這一部分，就是通過幾何的圖形平面的點(diǎn)來體會變換。我們希望學(xué)生、我們的老師都能夠認(rèn)識到。王尚志：在講這個層次的時候，有兩個角度，一個是張老師剛才強(qiáng)調(diào)的幾何的角度，特別是常常有的老師愿意選擇在第一象限的一個正方形，在這個變換下變成一個什么樣的圖形。那么第二個角度，也需要從代數(shù)上來體會，第一個坐標(biāo)變了沒有？第二個坐標(biāo)變了沒有？第一個坐標(biāo)變了多少？第二個坐標(biāo)變了多少？第一個坐標(biāo)的變化？是由第一個坐標(biāo)產(chǎn)生的？還是由第一個和第二個坐標(biāo)混合產(chǎn)生的？等等。我想這一些都是我們老師在教學(xué)的過程中應(yīng)該給予關(guān)注的。而且我們要在這一部分的最后，把我們的變換要總結(jié)起來，實(shí)際上我們希望要認(rèn)識到這個矩陣是一個線性變化，要通過實(shí)例對矩陣是一個線性變換進(jìn)行認(rèn)識，并不是所有的變換都在這表示這個，線變化是能把直線變成直線。張怡慈：第三個層次，我們要討論矩陣和矩陣之間的關(guān)系，也就是變換和變換之間的關(guān)系，也就是在數(shù)學(xué)上表示成矩陣的乘法。我們要讓學(xué)生們清楚矩陣乘矩陣還是一個矩陣，它表示的是連續(xù)實(shí)施兩次變換。面對從代數(shù)的角度來認(rèn)識這樣一個變換，在這里，我們知道這個變換乘法跟我們過去學(xué)的乘法有很大的不同：第一次出現(xiàn)了沒有交換律的乘法，這一點(diǎn)也是對于學(xué)生認(rèn)識理解運(yùn)算有好處的。因?yàn)檫^去總覺得交換律是一個顯然的事情，一直到向量。到這第一次出現(xiàn)了乘法不適合交換律。王尚志：也可以從幾何角度來認(rèn)識，這個矩陣為什么乘法會沒有交換律，也就是選轉(zhuǎn)后壓縮和先壓縮后旋轉(zhuǎn)結(jié)果是不一樣的。張怡慈：第四個層次，我們要講逆變換，也就是逆矩陣，也就是這個變回來的變換是一個什么樣的變換？我們還是用我們前面第二層面講的，常見的壓伸、反射、旋轉(zhuǎn)來講逆變換，那么在逆變換里頭我們在前面鋪墊了一個投影變換，在這里頭我們用這個投影變換來說明有的矩陣沒有逆變換，為什么沒有逆變換，就是它把很多點(diǎn)變到了一個點(diǎn)，沒有一一對應(yīng)的性質(zhì)。通過這樣的例子，來認(rèn)識這個逆變換，另外我們也把逆變換一些性質(zhì)，先做壓縮再旋轉(zhuǎn)，回來的時候一定是后做的要先做，先做的要后做，這是逆變換的性質(zhì)。第五個層次是線性方程組與矩陣的關(guān)系。我們可以把它梳理一下，線性方程組是一個代數(shù)的問題，最早在數(shù)學(xué)上出現(xiàn)方程組，都是解決牛羊分配問題等等。那么我們在學(xué)了高中的幾何以后，我們知道從解析幾何角度，可以認(rèn)識線性方程組，從直線相交平行重合的角度，還可以從向量基本定理來認(rèn)識方程組，那么現(xiàn)在我們從矩陣的角度，就是說我們給了一個變換，和一個變換結(jié)果，問是有沒有一個東西，在這個變化下變到它，是誰變到了它。這一個觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)上，是一個非常重要的觀點(diǎn)。把方程看成一個變換的這樣一個觀點(diǎn)，是一個非常重要的觀點(diǎn)。求解方程組，是不是求一個已知向量的原象，所以就變成這樣一個認(rèn)識。最后我們是講特征值與特征向量。也就是我們還是通過一些具體的例子，比如說通過壓伸變換，來看到有一些向量在這個變化下基本上沒變，或者它根本就沒有動，或者它只是拉伸了一下，就是它還是和原來的向量，是共線的。我們把這樣的向量，通過這樣的例子，然后把它提煉出來，把它稱為它的變換特征向量和特征值。然后我們要講一講它的作用、它的意義。在這一方面來講，我想這是我們最重要的幾個層面。也就是我們老師在給學(xué)生講的時候，要把層次描述清楚。王尚志：但是對于老師來說，我想知道這些還不夠。老師還應(yīng)該多了解一點(diǎn)東西，我想老師應(yīng)該有機(jī)會復(fù)習(xí)一下在大學(xué)里學(xué)習(xí)的線性代數(shù)的課程。我就想在張老師的基礎(chǔ)上，給老師簡單的介紹一下大學(xué)的線性代數(shù)課程和我們中學(xué)的矩陣與變換的課程之間的聯(lián)系和區(qū)別。我們知道在大學(xué)線性代數(shù)的內(nèi)容是主要依托于對這幾個對象的研究。一個是行列式、一個是矩陣、一個是向量空間，當(dāng)然還可以拓展成為一個線性空間、一個是線性變換、一個是線性方程組。那么對這五個內(nèi)容，在我們線性代數(shù)的課程中希望去發(fā)掘它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，就用我的老師的一句話來說，它的本質(zhì)上是一致的，這是丁時孫丁先生說過的一句話，我覺得是很有道理的。比如說我們可以用行列式去討論矩陣的秩，我們用行列式可以去討論向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)的問題，我們又可以用矩陣去表示線性變換，我們又可以用行列式去討論線性方程組的根，我們又可以用矩陣去研究線性方程組的解，我們又可以用向量去表示線性方程組的解，反回來說我們又可以用線性方程組去討論行列式的性質(zhì)、矩陣的性質(zhì)、向量空間的性質(zhì)以及線性變換的性質(zhì)，它們之間有著內(nèi)在的聯(lián)系。而我們高中的矩陣與變換的課程，是依賴于二階矩陣，把這樣一些基本的思想在我們二階矩陣的載體上做