【數(shù)學建模課件@北師大】liu5.pdf

4 例例 例例 4 2 表列數(shù)據為表列數(shù)據為1977年以前六個不同距離的中短距離 賽跑成績的世界紀錄 年以前六個不同距離的中短距離 賽跑成績的世界紀錄 試用這些數(shù)據建模分析賽跑的成績與賽跑距離的關 系 試用這些數(shù)據建模分析賽跑的成績與賽跑距離的關 系 距離距離 x m 100 200 400 800 1000 1500 時間時間 t s 9 95 19 72 43 86 102 4 133 9 212 1 模型模型 t a b x 參數(shù)參數(shù) a 9 99 b 0 145 t 9 99 0 145 x Q1 82 04 檢驗檢驗 當當 x 68 89 m 時時 t 0 當當 x 100 m 時時 t 4 51 s 與實際情形差距較大與實際情形差距較大 中間數(shù)值偏低中間數(shù)值偏低 模型模型 t a xb 令令 z ln t u ln x 則有則有 z ln t ln a b ln x a b u 參數(shù)參數(shù) a 0 734 a ln a 0 48 b 1 145 t 0 48 x1 145 Q2 23 55 x 100 200 400 800 1000 1500 t 9 95 19 72 43 86 102 4 133 9 212 1 I 4 56 19 10 48 20 106 4 135 5 208 2 II 9 39 20 78 45 96 101 68 131 29 208 9 5 討論討論 10 經驗模型是眾多因素作用綜合在因果關系上 的結論 會因時因地發(fā)生變化且不宜在另外的 環(huán)境下套用和從機理作過多的分析 經驗模型是眾多因素作用綜合在因果關系上 的結論 會因時因地發(fā)生變化且不宜在另外的 環(huán)境下套用和從機理作過多的分析 20 前面的最小二乘法實質上是近似求解線性方 程組 前面的最小二乘法實質上是近似求解線性方 程組 a xkb yk k 1 n 或或 nn y y y b a x x x 2 11 2 1 1 1 30 關于最小二乘技術關于最小二乘技術 可以使用計算器計算可以使用計算器計算 使用使用excel計算計算 數(shù)據分析數(shù)據分析 回歸分析回歸分析 使用使用MATLAB計算計算 x 49 5 94 y 5 4 6 6 7 7 8 1 A ones 10 1 x b A y z b 1 b 2 x plot x z b x y r 40 關于誤差關于誤差 yk a bxk k k 縱軸誤差縱軸誤差 yk a b xk k k 橫軸誤差橫軸誤差 距離誤差距離誤差 50 關于精度關于精度 Q i 2 yk a bxk 2 Q i yk a bxk 2 1 iii yab xb 問題問題 1 收集生活中有關的長度面積體積的數(shù) 據 分析它們之間的關系 收集生活中有關的長度面積體積的數(shù) 據 分析它們之間的關系 2 利用賽艇比賽成績的數(shù)據建模分析運 動員的人數(shù) 利用賽艇比賽成績的數(shù)據建模分析運 動員的人數(shù) n 與賽艇成績與賽艇成績 t 的關系的關系 n 1 2 4 8 t 7 125 6 878 6 340 5 835 3 P86 7 8 三 插值模型與樣條插值法 當數(shù)據量不夠 需要補充 且認定已有數(shù)據可信時當數(shù)據量不夠 需要補充 且認定已有數(shù)據可信時 通常通常 利用函數(shù)插值方法建立插值模型 利用函數(shù)插值方法建立插值模型 目標 根據一組觀測數(shù)據目標 根據一組觀測數(shù)據 尋找函數(shù)關系尋找函數(shù)關系 0 1 ii x yin yx 滿足滿足 0 1 ii yxin 1 線性插值線性插值 如果 函數(shù)在每個小區(qū)間如果 函數(shù)在每個小區(qū)間 1 ii x x 上是線性函數(shù) 上是線性函數(shù) 是這組數(shù)據的分段線性插值函數(shù) 是這組數(shù)據的分段線性插值函數(shù) 則稱則稱 x 例例3 6 地形模型 平面區(qū)域上的海拔高程地形模型 平面區(qū)域上的海拔高程 h x y x y 0 400 800 1200 1600 2000 0 370 470 550 600 670 690 400 510 620 730 800 850 870 800650 760 880 970 1020 1050 1200 740 880 1080 1130 1250 1280 1600 830 980 1180 1320 1450 1420 2000 880 1060 1230 1390 1500 1500 給出這個平面區(qū)域內地形的模型 給出這個平面區(qū)域內地形的模型 假設假設 1 觀測點的高程數(shù)值是準確的 觀測點的高程數(shù)值是準確的 2 地形的各觀測點之間沒有劇烈的變化 地形的各觀測點之間沒有劇烈的變化 3 相鄰觀測點之間的高程的變化是線性的 相鄰觀測點之間的高程的變化是線性的 模型 模型 擬合坐標軸方向相鄰觀測點間的高程擬合坐標軸方向相鄰觀測點間的高程 給出 地形變化的等高線圖 給出 地形變化的等高線圖 令令 hij h xi yj 考慮點考慮點 xi yj xi 1 yj 間高 程的變化 記 間高 程的變化 記 hi hij hi 1 hi 1j 則由直線方程 的兩點式 則由直線方程 的兩點式 可得可得 椐此就可在坐標系中畫出平面區(qū)域的地形圖椐此就可在坐標系中畫出平面區(qū)域的地形圖 ii i ii i hh hxh xx xx 11 ii i ii i hh hxh xx xx 11 ii ii ii hxx xx hh xh 1 1 1 ii xxx 2 樣條插值 實質上是指光滑連接起來的分段的多項 式曲線 給定區(qū)間 樣條插值 實質上是指光滑連接起來的分段的多項 式曲線 給定區(qū)間 a b 的一個分劃的一個分劃 a x0 x1 xn 1 xn b 稱函數(shù)稱函數(shù)Sk x 是是 a b 上關于 的上關于 的k次多項式樣條函數(shù)次多項式樣條函數(shù) 如果 它滿足條件 如果 它滿足條件 1 在結點在結點 xi 處等于給定的數(shù)值處等于給定的數(shù)值 yi Sk xi 2 在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間 xi 1 xi 上是上是 k 次多項式次多項式 3 Sk x 及其直到及其直到k 1階導數(shù)在區(qū)間階導數(shù)在區(qū)間 a b 上連續(xù)上連續(xù) k 次樣條多項式的構造次樣條多項式的構造 1 k 次半截冪函數(shù)次半截冪函數(shù) 2 0次樣條函數(shù)次樣條函數(shù) 稱階梯函數(shù)稱階梯函數(shù) S0 x a0 bj x xj 0 為為0次樣條函數(shù)次樣條函數(shù) 3 k 次樣條函數(shù)次樣條函數(shù) 將將S0 x 積分積分k次次 得得k次樣條 函數(shù) 次樣條 函數(shù) 0 0 0 x xx x k k 1 10 n j k jj k j j j k k xxb j xa xS 通常人們多使用三次樣條函數(shù)通常人們多使用三次樣條函數(shù) 式中式中n 3個任意常數(shù)個任意常數(shù) aj bj 可由可由n 1個內結點 的數(shù)值和根據實際問題的要求附加于區(qū)間的端 點四個條件來確定 個內結點 的數(shù)值和根據實際問題的要求附加于區(qū)間的端 點四個條件來確定 1 1 3 3 3 2 2 103 3 3 2 n j jj xxb xaxa xaaxS 3 插值技術插值技術 x 0 4 20 給出給出X軸的坐標軸的坐標 y 0 4 20 給出給出Y軸的坐標軸的坐標 z 37 51 65 74 83 88 47 62 76 88 98 106 69 87 105 128 142 150 給出 給出 x y 點的高程 點的高程 X Y meshgrid 0 1 20 0 1 20 給出新的插值坐標給出新的插值坐標 Z interp2 x y z X Y spline 在新的坐標上進行樣條插值在新的坐標上進行樣條插值 clf 清空圖形坐標系中的內容清空圖形坐標系中的內容 axis xy 設置坐標的單位一致設置坐標的單位一致 mesh X Y Z 用網格畫出插值的結果用網格畫出插值的結果 hold on 打開在同一坐標系中畫圖的功能打開在同一坐標系中畫圖的功能 contour X Y Z 畫平面等高線畫平面等高線 contour3 X Y Z 畫三維等高線畫三維等高線 例例 3 7 一水庫上游河段降暴雨一水庫上游河段降暴雨 根據預報測算上游流入 水庫的流量為 根據預報測算上游流入 水庫的流量為Q t 102立方米立方米 秒秒 t 時時 8 12 16 24 30 44 48 56 60 Q t 36 54 78 92 101 35 25 16 13 利用這個預報值估計利用這個預報值估計14 30 和和 20 30 時上游流入水庫 的流量 時上游流入水庫 的流量 假設假設 1 已知數(shù)據準確 已知數(shù)據準確 2 相鄰兩個時刻之間的流量沒有突然的變化 相鄰兩個時刻之間的流量沒有突然的變化 t 8 12 16 24 30 44 48 56 60 q 36 54 7