小學(xué)數(shù)學(xué)培養(yǎng)推理能力.doc

專題講座小學(xué)數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的教學(xué)策略 周愛(ài)東 順義區(qū)教育研究考試中心小學(xué)生在數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)一點(diǎn)有關(guān)推理的知識(shí)，是課標(biāo)指定的一個(gè)重要教學(xué)內(nèi)容。在課標(biāo)（修改稿）的第三頁(yè)倒數(shù)第一行，就有明確的規(guī)定：“ 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直覺(jué)、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。”課標(biāo)還具體地作出了解釋“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。在小學(xué)階段，主要學(xué)習(xí)合情推理，即歸納推理和類比推理。而歸納推理又多表現(xiàn)為“不完全歸納推理”。 一、知識(shí)結(jié)構(gòu)、邏輯推理及相互間的關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的一個(gè)重要途徑。烏辛斯基早就指出：“所謂智力發(fā)展不是別的，只是很好組織起來(lái)的知識(shí)體系?！倍R(shí)體系因?yàn)槠鋬?nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)而獲得邏輯意義。數(shù)學(xué)中基本的概念、性質(zhì)、法則、公式等都是遵循科學(xué)的邏輯性構(gòu)成的。 “數(shù)學(xué)作為一種演繹系統(tǒng)，它的重要特點(diǎn)是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通過(guò)定義引入的”。這種演繹系統(tǒng)一方面使得數(shù)學(xué)內(nèi)容以邏輯意義相關(guān)聯(lián)。另一方面從知識(shí)結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的邏輯思維形式中得到的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識(shí)。 例如：在教學(xué)正方形面積計(jì)算公式時(shí) , 我們通過(guò)演繹推理得到的： 長(zhǎng)方形面積長(zhǎng)寬 正方形長(zhǎng)寬 因此得出正方形面積邊長(zhǎng)邊長(zhǎng) 數(shù)學(xué)中的這種推理形式一旦被學(xué)生所熟識(shí)，他們又會(huì)運(yùn)用它在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上作出新的判斷和推理。 二、邏輯推理在教與學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用 根據(jù)奧蘇貝爾的認(rèn)知同化理論，學(xué)生知識(shí)的習(xí)得和構(gòu)建，主要依賴認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)觀念，去影響和促進(jìn)新的理解、掌握，溝通新舊知識(shí)的互相聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這是數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中的同化現(xiàn)象。它包含三方面的內(nèi)容：一是新舊知識(shí)建立下位聯(lián)系；二是新舊知識(shí)建立上位聯(lián)系；三是新舊知識(shí)建立聯(lián)合意義。這三方面與邏輯結(jié)構(gòu)中的三類推理恰好建立相應(yīng)的聯(lián)系。 1. 下位關(guān)系 演繹推理2. 上位關(guān)系 歸納推理3. 并列關(guān)系 類比推理 （一）下位關(guān)系演繹推理 如果原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)觀念極其抽象，概括性和包容性高于新知識(shí)，新舊知識(shí)建立下位聯(lián)系、新知識(shí)從屬于舊知識(shí)時(shí)，那么宜適當(dāng)運(yùn)用演繹推理的規(guī)則， 由一般性的前提推出特殊性的結(jié)論。 “演繹的實(shí)質(zhì)就是認(rèn)為每一特殊（具體）情況應(yīng)當(dāng)看作一般情況的特例”。為了得以關(guān)于某一對(duì)象的具體 知識(shí)，先要找出這一對(duì)象的類（最近的類概念），再將這一對(duì)象的類的屬性應(yīng)用于哪個(gè)對(duì)象。 例如：由四條線段圍成的圖形叫做四邊形。 長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形都是由四條線段圍成的圖形。那么這些圖形都是四邊形。 再如： 兩種量分別用 x 和 y 表示，若 y/ x k （一定），則 x 和 y 是成正比例的量。 同圓中周長(zhǎng)比半徑 2 （一定）。 同圓中周長(zhǎng)和半徑是成正比例的量。 當(dāng)學(xué)生理解這種推理的順序，且懂得要使演繹推理正確，首先要前提正確，并學(xué)會(huì)使用這樣的語(yǔ)言： 只有兩個(gè)因數(shù)（ 1 和它本身）的數(shù)是質(zhì)數(shù)； 101 只有兩個(gè)因數(shù)； 101 是質(zhì)數(shù)。 那么，符合形式邏輯的演繹法則就初步被學(xué)生所掌握。 在知識(shí)層面中，這種類屬過(guò)程的多次進(jìn)行，就導(dǎo)致知識(shí)不斷產(chǎn)生新的層次，其邏輯結(jié)構(gòu)就越加嚴(yán)密，新的知識(shí)也就會(huì)不斷分化和精確化，就可以逐漸演繹出新的類屬性的具體知識(shí)。教學(xué)中正確把握這種結(jié)構(gòu)，用演繹 推理的手段組織學(xué)習(xí)過(guò)程，不但能培養(yǎng)學(xué)生的思考方法，理解內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，還能提高學(xué)生的模式辨認(rèn)能力 ，縮短推理過(guò)程，快速找到解題途徑。 比如：運(yùn)用乘法分 配律簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)，學(xué)生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識(shí)為基礎(chǔ)，才能實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)算。 a c b c ( a b ) c 對(duì)比題： 99 99 99 1 99 (99 1)=9900 99 99 99 19 86 14 26 19 ( 86 14 ) （二）上位關(guān)系 歸納推理 如果原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)已形成幾個(gè)觀念，要在原有的觀念上學(xué)習(xí)一個(gè)抽象、概括和包容性高于舊知識(shí)的新知識(shí)，即新舊知識(shí)建立上位聯(lián)系時(shí)，那么適當(dāng)運(yùn)用歸納推理的規(guī)則，可由特殊的前提推出一般性的結(jié)論。當(dāng)需要研究某一對(duì)象集時(shí)，先要研究各個(gè)對(duì)象（情況），從中找出整個(gè)對(duì)象集所具有的性質(zhì)，這就是歸納推理。歸納推理的基礎(chǔ)是觀察和試驗(yàn)，是從具體的、特殊的情況過(guò)渡到一般情況（結(jié)論、推論）。 例如：在學(xué)習(xí)兩個(gè)奇數(shù)相加和是偶數(shù)時(shí)，先讓學(xué)生列舉出多個(gè)兩個(gè)奇數(shù)相加的例子，最后得出兩個(gè)奇數(shù)相加和是偶數(shù)的結(jié)論。 1 和 2 互質(zhì)， 1 和 3 互質(zhì)， 1 和 4 互質(zhì) 1 和任意一個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。 2 和 3 互質(zhì)， 3 和 4 互質(zhì)， 4 和 5 互質(zhì) 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。 3 和 5 互質(zhì)， 5 和 7 互質(zhì)， 7 和 9 互質(zhì) 相鄰的兩個(gè)奇數(shù)互質(zhì)。 教材中關(guān)于概念的形成，運(yùn)算法則和運(yùn)算定律、性質(zhì)得出，一般是通過(guò)歸納推理得到的。運(yùn)用歸納推理傳授知識(shí)時(shí)，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取典型的特例，并能夠通過(guò)典型特例的推理得出一般性的結(jié)論。又要用這個(gè)“一般結(jié)論”，去解決具體特例。在教與學(xué)的進(jìn)程中，歸納和演繹不是孤立地出現(xiàn)的，它們緊密交織在一起。 （三）并列關(guān)系類比推理 如果新舊知識(shí)間既不產(chǎn)生從屬關(guān)系，又不能產(chǎn)生上位關(guān)系，但是新知識(shí)同原有知識(shí)有某種吻合關(guān)系或類 比關(guān)系，則新舊知識(shí)間可產(chǎn)生并列關(guān)系。那么可以運(yùn)用類比推理。 教材中，商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，乘數(shù)是整數(shù)的乘法和乘數(shù)是分?jǐn)?shù)的乘法等，學(xué)習(xí)這類與舊知識(shí)處于并列結(jié)合關(guān)系的新知識(shí)時(shí)，既不能以上位演繹推理到下位，又不能以下位歸納推理到上位，只能采用類比推理 。如五年級(jí)學(xué)習(xí)“一輛卡車(chē)平均每小時(shí)行 40 千米 ， 0.3 小時(shí)行了多少千米？”時(shí)，學(xué)生還無(wú)法根據(jù)小數(shù)乘法的意義列出此題的解答等式。所以，教學(xué)中一般用整數(shù)乘法中的數(shù)量關(guān)系來(lái)類推。 新舊知識(shí)的三種聯(lián)系與三類推理相呼應(yīng)，不是一種巧合，是知識(shí)結(jié)構(gòu)本身科學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)使然。正確地運(yùn)用邏輯推理的原則可以將學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)分化的程度提高，教師會(huì)不斷注意新知識(shí)的穩(wěn)定性、清晰性，新知識(shí)的固定點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)更富有科學(xué)意義。 三、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略 （一）新知識(shí)轉(zhuǎn)化舊知識(shí)的學(xué)習(xí)中，溝通的策略。 （二）習(xí)得新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略。 （三）在學(xué)習(xí)新知時(shí)，關(guān)鍵處設(shè)問(wèn)引發(fā)思考點(diǎn)撥思路的策略。 （四）設(shè)計(jì)開(kāi)放練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略。 （五）構(gòu)建可操作的教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略。 （一）新知識(shí)轉(zhuǎn)化舊知識(shí)的學(xué)習(xí)中，溝通的策略 1 立體圖形的體積計(jì)算，分為兩個(gè)階段，長(zhǎng)、正方體體積；圓柱、圓錐的體積。學(xué)習(xí)了圓柱體積計(jì)算之后，可以把長(zhǎng)方體，正方體，圓柱都看成是柱體，他們的體積都可以用底面積乘高來(lái)計(jì)算。 如圖，它們的體積公式可以統(tǒng)一成（ V sh ）。 2 學(xué)習(xí)了小數(shù)除法，要溝通整數(shù)除法中有余數(shù)的除法，和小數(shù)除法的關(guān)系。 例如：教師設(shè)計(jì)的開(kāi)放練習(xí)； 甲數(shù)除以乙數(shù)的商是 12 ，余數(shù)是 8 ，如果商用小數(shù)表示是 12.5 ，那么甲數(shù)是（ ），乙數(shù)是（ ）。 （二）學(xué)了新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略 學(xué)習(xí)了分解質(zhì)因數(shù)之后，可以深化整除的概念。 A 2 3 5 ； B 2 3 5 因?yàn)槲覀冎?B 包含 A 的所有因數(shù)，那么 B 是 A 的倍數(shù)， A 是 B 的因數(shù)。 質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，是依據(jù)一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)多少來(lái)分類建立概念的。學(xué)習(xí)了分解質(zhì)因數(shù)的概念后，學(xué)生又認(rèn)識(shí)到，任何一個(gè)合數(shù)都可以表示成幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式。教師應(yīng)及時(shí)深化概念。從新的角度看舊知。 （三）在學(xué)習(xí)新知時(shí)，關(guān)鍵處設(shè)問(wèn)引發(fā)思考點(diǎn)撥思路的策略 1 關(guān)鍵處點(diǎn)撥： 案例：商不變的性質(zhì)教學(xué)片段。 首先是計(jì)算： 8 0 4= （ ）（ ）學(xué)生都能找到一個(gè)正確答案，方法無(wú)一例外都是先算出商 20 ，然后想哪兩個(gè)數(shù)相除商是 20 ，學(xué)生很難將兩個(gè)算式中的被除數(shù)和除數(shù)建立起聯(lián)系。 第二是觀察：我寫(xiě)出一組算式： 20 2=10 40 4=10 80 8=10 ， 讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)發(fā)現(xiàn)了什么？ 學(xué)生都發(fā)現(xiàn)了商沒(méi)變，被除數(shù)和除數(shù)變了， 具體說(shuō)說(shuō)怎樣變了？有的學(xué)生說(shuō)被除數(shù)增加了，除數(shù)也增加了，有的學(xué)生說(shuō)被除數(shù)擴(kuò)大了，除數(shù)也擴(kuò)大了，學(xué)生習(xí)慣上從上向下觀察，從直觀上感知被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生了變化，增加了或擴(kuò)大了，但對(duì)于被除數(shù)和除數(shù)變化之中的內(nèi)在聯(lián)系卻很難發(fā)現(xiàn)。 如何讓學(xué)生主動(dòng)探求被除數(shù)和除數(shù)的變化規(guī)律，并有所發(fā)現(xiàn)呢？我通過(guò)對(duì)情境的加工，提取出數(shù)學(xué)實(shí)例，學(xué)生在觀察、猜想、驗(yàn)證、反思等學(xué)習(xí)過(guò)程中，運(yùn)用不完全歸納法總結(jié)出商不變的性質(zhì)，從而豐富學(xué)生探索規(guī)律的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。 我充分利用教材中猴王分桃子的情境： 3 只小猴子，猴王給了 6 個(gè)桃子，小猴子說(shuō)不夠不夠，每人才 2 個(gè)桃子，太少了。猴王說(shuō)：“少？沒(méi)關(guān)系，我有神奇寶盒，那給你們變一變，” 猴王利用寶盒變成： 60 個(gè)桃子分給 30 個(gè)小猴子，600 個(gè)桃子分給 300 只小猴子。600 和 300 ， 你們猜結(jié)果怎樣？真讓你們猜對(duì)了小猴子還是覺(jué)得少，奇怪了，桃子明明是越變?cè)蕉嗔耍『镒訛槭裁催€說(shuō)不夠呢？學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)雖然桃子也就是被除數(shù)多了，分給猴子的只數(shù)也就是除數(shù)也多了，每個(gè)人分得的桃子也就是商沒(méi)變。 真是神奇，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)都變了，商竟然沒(méi)變，那是不是不管被除數(shù)和除數(shù)怎樣變，商都不變呢？ 提出猜想：你認(rèn)為被除數(shù)、除數(shù)發(fā)生怎樣的變化，商就能不變呢？ 2 在觀察中引發(fā)思考。 3 在確定思考方向處教師應(yīng)設(shè)問(wèn)點(diǎn)撥 蜘蛛有 8 條腿，蜻蜓有 6 條腿?，F(xiàn)在這兩種小蟲(chóng)共 18 只，共有 118 條腿。問(wèn)蜘蛛有幾只？ 列表解答雞兔問(wèn)題，可以從中間設(shè)數(shù)枚舉。但是下一個(gè)數(shù)需要思考。確定試算的方向。教師應(yīng)設(shè)問(wèn)點(diǎn)撥。 （四）設(shè)計(jì)開(kāi)放練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略。 1 追根尋源 : 如果下圖中圓的面積等于長(zhǎng)方形的面積，那么圓的周長(zhǎng)（ ）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。 A. 等于 B. 大于 C. 小于 圓的周長(zhǎng)是 16.4 厘米 ，陰影部分的周長(zhǎng)是多少厘米？ 陰影部分的周長(zhǎng)等于圓的周長(zhǎng)加 1/4 圓周 16.4 （ 1 1/4 ） = 20.5 厘米 。 2 估算要有方法。 三位同學(xué)晨練，張華 5 分鐘走了 351 米 ，李明 2 分鐘走了 131 米 ，陸宇 3 分鐘走了 220 米 ，（ ）走得最快。 A. 張華 B. 李明 C. 陸宇 李明陸宇張華。張華分鐘大約走了 70 米 ，李明 1 分鐘走路不足 70 米 。所以陸宇走路最快。 3 整體考慮： 用下面的三個(gè)圖形可以拼成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，把拼法畫(huà)在下面的網(wǎng)格中，并畫(huà)出所拼圖形的對(duì)稱軸。 三個(gè)圖形拼成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸可以有三個(gè)方向，沿著對(duì)稱軸等成分兩部分，每部分面積是 8橫向： 3 5 8 層次：易。縱向： 層次：易。三個(gè)圖形拼成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸可以有三個(gè)方向，沿著對(duì)稱軸等成分兩部分，每部分面積是 845 方向： 0.5 3.5 4 8 層次：難。45 方向： 2.5 3.5 6 每部分 2 8 層次：難。（五）構(gòu)建可操作的教學(xué)模式，有效發(fā)展推理能力 案例： 感知、猜想、驗(yàn)證、結(jié)論、推廣應(yīng)用五步教學(xué)法 三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法后，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣，使體驗(yàn)到數(shù)學(xué)計(jì)算中的趣味與魅力，在提高學(xué)生的計(jì)算能力的同時(shí)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，我們可以設(shè)計(jì)一些題組，清晰地呈現(xiàn)題組間邏輯關(guān)系，為學(xué)生提供充分觀察思考的思維空間，讓學(xué)生在經(jīng)歷觀察、感知、猜想、驗(yàn)證結(jié)論、推廣應(yīng)用的數(shù)學(xué)活動(dòng)中， 培養(yǎng)學(xué)生比較、分析、概括、探究等能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。 1. 利用題組，初步感知規(guī)律先計(jì)算下列乘法算式的乘積，然后再認(rèn)真觀察：你有什么發(fā)現(xiàn)？ 學(xué)生通過(guò)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)： 因數(shù)的特點(diǎn)： 1. 一個(gè)因數(shù)都是 67 2. 一個(gè)因數(shù)數(shù) 12,15,18 都是 3 的倍數(shù) 積的特點(diǎn)： 1 、積的前兩位數(shù)都是后兩位數(shù)的 2 倍。 2. 根據(jù)發(fā)現(xiàn)，提出猜想是不是只要是 3 的倍數(shù)與 67 相乘，它們的乘積就可能具有這個(gè) 2 倍的關(guān)系呢？ 3. 結(jié)合實(shí)例，驗(yàn)證猜想這時(shí)教師為學(xué)生提供如下的算式，讓學(xué)生親自對(duì)猜想加以驗(yàn)證： 練習(xí)： 通過(guò)計(jì)算以上題組加以驗(yàn)證，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的猜想得到了驗(yàn)證。那為什么這些乘法算式的結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)有趣的 2 倍的關(guān)系呢？會(huì)不會(huì)是 3 倍、 4 倍呢？ 4. 明晰道理，提升認(rèn)識(shí)3 67= 2 0 1看來(lái)這些算式的乘積：前兩位數(shù)是后兩位數(shù)的 2 倍，一定與 67 、以及 3 的倍數(shù)有關(guān)，于是在充分談?wù)摰幕A(chǔ)上明晰道理，提升認(rèn)識(shí)。 奧秘在于： 所以： 概括推理，得出結(jié)論： 一個(gè)兩位數(shù)與 67 相乘，如果這個(gè)數(shù)是 3 的倍數(shù)，那么乘積的前兩位數(shù)一定是后兩位數(shù)的 2 倍。 5. 拓展結(jié)論，再次推理你能根據(jù)一些特殊的數(shù)據(jù)自己設(shè)計(jì)一些有意思的題組，使它們的乘積也具有一些特殊性嗎？ 如：教師課提供一些材料：特殊的數(shù)是 37 ， 3 7 3=111.37 27=999 利用倍數(shù)關(guān)系輕松