輪胎生產(chǎn)安排計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型.doc

輪胎生產(chǎn)安排計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型何榮堅(jiān)(1) 陳曄(2) 鄭可逵(3) （1韶關(guān)學(xué)院2002級(jí)計(jì)算機(jī)系科學(xué)與技術(shù)本（3）班，廣東韶關(guān)512005； 2韶關(guān)學(xué)院2001級(jí)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(1)班，廣東韶關(guān)512005； 3韶關(guān)學(xué)院2002級(jí)數(shù)學(xué)系信息技術(shù)教育（2）班，廣東韶關(guān)512005）摘要:本文是一個(gè)生產(chǎn)安排優(yōu)化問題,在問題中全面分析了輪胎生產(chǎn)問題的約束條件,構(gòu)建了基于整數(shù)規(guī)劃的每一季度的生產(chǎn)時(shí)間與生產(chǎn)個(gè)數(shù)的的數(shù)學(xué)模型.利用Matlab軟件中的線性規(guī)劃函數(shù)Linprog對(duì)每一季度的生產(chǎn)進(jìn)行優(yōu)化求解，對(duì)模型實(shí)行簡(jiǎn)化，加快對(duì)模型的求解.在求解過程中，利用連續(xù)松弛法把該問題更加簡(jiǎn)化，轉(zhuǎn)換成線性規(guī)劃問題.在滿足約束條件的情況下，通過對(duì)變量的取整與調(diào)整，使得解更加逼近最優(yōu)解.關(guān)鍵詞:整數(shù)規(guī)劃;優(yōu)化安排;連續(xù)松馳1 問題的提出某汽車輪胎公司能夠生產(chǎn)尼龍和玻璃纖維兩種輪胎，在前三個(gè)季度中將要交付的輪胎數(shù)量如表一：表一:日期尼龍輪胎玻璃纖維輪胎第一季度40001000第二季度80005000第三季度30005000總計(jì)1500011000該公司有兩臺(tái)硫化機(jī)，其中一臺(tái)惠林硫化機(jī)，一臺(tái)雷格爾硫化機(jī)，還有可用來(lái)生產(chǎn)這兩種輪胎的合適的模子。在未來(lái)的三個(gè)季度內(nèi)，這兩臺(tái)機(jī)器可供使用的生產(chǎn)小時(shí)數(shù)如表二：表二:日期惠林硫化機(jī)雷格爾硫化機(jī)第一季度7001500第二季度300400第三季度1000300每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)每種輪胎的效率以每只輪胎需要多少小時(shí)表示如下表三：表三:類型惠林硫化機(jī)雷格爾硫化機(jī)尼龍輪胎0.150.16玻璃纖維輪胎0.120.14不論用哪種機(jī)器，也不論生產(chǎn)哪種輪胎，輪胎生產(chǎn)的生產(chǎn)費(fèi)用是每操作一小時(shí)5美元，每只輪胎每個(gè)月的存儲(chǔ)費(fèi)用0.1美元，每只尼龍輪胎和玻璃纖維輪胎的材料費(fèi)用分別為3.10美元和3.90美元，每只輪胎的裝配、包裝和運(yùn)輸費(fèi)用是0.23美元，每只尼龍輪胎的價(jià)格是7.00美元，每只玻璃纖維輪胎的價(jià)格是9.00美元。該公司管理人員提出以下問題：1.為了以最小的成本來(lái)滿足交貨需要，應(yīng)該怎樣安排生產(chǎn)？2.從這一最優(yōu)的生產(chǎn)安排中所得到的總收益是多少？3.一臺(tái)新的惠林硫化機(jī)預(yù)定在第四季度初到達(dá)，如果支付200美元的小費(fèi)，就可以提前在第三季度到達(dá)，這樣第三季度就可增加172小時(shí)的機(jī)器工作時(shí)間。這臺(tái)硫化機(jī)到底要不要提前到達(dá)？2 模型的假設(shè)1) 假設(shè)交貨都是在每一季度的最后一天完成的,當(dāng)前季度生產(chǎn)的輪胎不用存儲(chǔ)費(fèi).2) 假設(shè)生產(chǎn)貨物過程中以小時(shí)為單位,不足一個(gè)小時(shí)的按一個(gè)小時(shí)來(lái)算機(jī)器操作費(fèi).3) 假設(shè)第一季度生產(chǎn)的時(shí)候沒有存貨.3 符號(hào)說(shuō)明 :第個(gè)季度第種機(jī)器加工型輪胎的小時(shí)數(shù). :第個(gè)季度第種機(jī)器加工型輪胎的小時(shí)數(shù). :第型輪胎的材料費(fèi)的單價(jià). :輪胎的裝配,包裝,運(yùn)輸輪胎的單位費(fèi)用. : 第型輪胎的單價(jià). :第種機(jī)器生產(chǎn)第種輪胎的單位時(shí)間. :第個(gè)季度型輪胎的生產(chǎn)的實(shí)際數(shù)目. :第個(gè)季度的機(jī)器操作費(fèi). :第個(gè)季度的存儲(chǔ)費(fèi). :第個(gè)季度完成交貨任務(wù)后的剩余輪胎的總數(shù). :生產(chǎn)的總成本. :生產(chǎn)的總收益.4 模型的分析與建立在以后的論文討論中,為了方便,我們將惠林硫化機(jī)稱為第一種機(jī)器.把雷格爾硫化機(jī)稱為第二種機(jī)器.把尼龍輪胎稱為第一種輪胎,同樣把玻璃纖維輪胎稱為第二種輪胎.目標(biāo)函數(shù)與各個(gè)季度各種機(jī)器生產(chǎn)的各種輪胎的數(shù)量限制,與各個(gè)季度各種機(jī)器的生產(chǎn)時(shí)間都為一次線性函數(shù),故可以用線性規(guī)劃求解.由已知條件可以得出線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù),約束方程.4.1問題一的模型1)根據(jù)題意分析可知,機(jī)器操作費(fèi)只與時(shí)間有關(guān)系,并且得出表達(dá)式為: 2)由假設(shè)3可知,第一季度的存儲(chǔ)費(fèi)為0;又第二季度兩種輪胎的存貨即為第一季度生產(chǎn)的總數(shù)減去第一季度的要求交貨量后的數(shù)目,所以第二季度的存儲(chǔ)費(fèi)為:同理可知,第三季度的總存儲(chǔ)費(fèi)為第二季度的存貨加上第三季度的生產(chǎn)總數(shù)再減去第三季度的交貨量后的存儲(chǔ)費(fèi):3）材料費(fèi)用為：由于材料費(fèi)只與輪胎的數(shù)量有關(guān)系,又根據(jù)題意可知,在滿足最小成本的條件下,生產(chǎn)輪胎的數(shù)量就必須等于交貨的總量.故,材料費(fèi)是一定值,即為: 4）裝配、包裝、運(yùn)輸費(fèi)用為：同理由材料費(fèi)的分析可知, 裝配、包裝、運(yùn)輸費(fèi)用也只與輪胎的數(shù)量有關(guān),即為: 故目標(biāo)函數(shù)即為：總成本=機(jī)器操作總費(fèi)用+材料費(fèi)用+總存儲(chǔ)費(fèi)+裝配、包裝、運(yùn)輸費(fèi)用；5)最小總成本的模型為:min s.t. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25)(1)-(6)式表示每一季度的每一種機(jī)器生產(chǎn)每一種輪胎的小時(shí)數(shù)都必須小于或等于每一季度的每一種機(jī)器的最大生產(chǎn)時(shí)間.(7),(10)式分別表示第一季度兩種輪胎生產(chǎn)的總數(shù)都要求大于或者等于第一季度的交貨量.(8),(11)式分別表示第二季度兩種輪胎的生產(chǎn)量加上第一季度的存儲(chǔ)量要求大于或者等于第二季度的交貨量.(9),(12)式分別表示第三季度兩種輪胎的生產(chǎn)量加上第二季度的存儲(chǔ)量要求等于第三季度的交貨量.4.2問題二的模型根據(jù)總收益=總收入-總成本,而由問題一的模型分析可知,總成本是一個(gè)函數(shù)表達(dá)式,而總收入為一定值.又總收入為:總收益而又為問題一的模型的目標(biāo)函數(shù),而在要求從問題一的最優(yōu)生產(chǎn)安排中所得到的總收益即為的最大值.4.3問題三的模型在問題三中,由于一臺(tái)新的惠林硫化機(jī)預(yù)定在第四季度初到達(dá)，如果支付200美元的小費(fèi)，就可以提前在第三季度到達(dá)，這樣第三季度就可增加172小時(shí)的機(jī)器工作時(shí)間.故建立的模型為:目標(biāo)函數(shù)為:min+200約束條件為: (1),(2),(3),(4),(6),(7)(20),(23),(24)同問題一的數(shù)學(xué)模型的約束條件. (5) (21) (22)5 模型的求解對(duì)于問題一的模型的求解的算法描述,顯然這個(gè)問題為整數(shù)規(guī)劃問題,解此類問題的一般步驟為:用連續(xù)松馳把此整數(shù)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,使得問題難度降低.再用MATLAB軟件求得該問題的最優(yōu)解,再通過變量取整調(diào)整改進(jìn),使得解逐漸逼近最優(yōu)解.用MATLAB中的內(nèi)置函數(shù)Linprog來(lái)求得(程序1在附錄略):最優(yōu)解 美元表一:2801221.3040040053.3420030006000再經(jīng)過取整調(diào)整,在調(diào)整的過程中必須注意到各個(gè)約束條件是否符合滿足,得出整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解為:表二: 時(shí)間2801222040040053420030006000個(gè)數(shù)18667637025002666331350002500050000則在取得最優(yōu)解時(shí)候最小總成本費(fèi)用為:美元此時(shí)的生產(chǎn)計(jì)劃安排如表二所示得:第一季度第一種機(jī)器生產(chǎn)第一種輪胎的時(shí)間和個(gè)數(shù)分別為:280小時(shí)和1866個(gè)第一季度第一種機(jī)器生產(chǎn)第二種輪胎的時(shí)間和個(gè)數(shù)分別為:420小時(shí)和3500個(gè)第一季度第二種機(jī)器生產(chǎn)第一種輪胎的時(shí)間和個(gè)數(shù)分別為:1222小時(shí)和7637個(gè)第一季度第二種機(jī)器生產(chǎn)第二種輪胎的時(shí)間和個(gè)數(shù)分別為:0小時(shí)和0個(gè)第二季度第一種機(jī)器生產(chǎn)第一種輪胎的時(shí)間和個(gè)數(shù)分別為:0小時(shí)和0個(gè)第二季度第一種機(jī)器生產(chǎn)第二種輪胎的時(shí)間和個(gè)數(shù)分別為:300小時(shí)和2500個(gè)第二季度第二種機(jī)器生產(chǎn)第一種輪胎的時(shí)間和個(gè)數(shù)分別為:400小時(shí)和2500第二季度第二種機(jī)器生產(chǎn)第二種輪胎的時(shí)間和個(gè)數(shù)分別為:0小時(shí)和0個(gè)第三季度第一種機(jī)器生產(chǎn)第一種輪胎的時(shí)間和個(gè)數(shù)分別為:400小時(shí)和2666個(gè)第三季度第一種機(jī)器生產(chǎn)第二種輪胎的時(shí)間和個(gè)數(shù)分別為:600小時(shí)和5000個(gè)第三季度第二種機(jī)器生產(chǎn)第一種輪胎的時(shí)間和個(gè)數(shù)分別為:53小時(shí)和331個(gè)第三季度第二種機(jī)器生產(chǎn)第二種輪胎的時(shí)間和個(gè)數(shù)分別為:0小時(shí)和0個(gè)對(duì)于問題二的模型的最優(yōu)解是與問題一的模型的最優(yōu)解相關(guān)聯(lián)的,當(dāng)問題一的模型取得最優(yōu)解時(shí),此時(shí)對(duì)應(yīng)的總收益即為所求的解.故又由于總收入為所以對(duì)于問題一的解答中給出的最優(yōu)生產(chǎn)安排計(jì)劃中可以得最小的成本為: 美元所以總收益=總收入-總成本 即為:美元所以在問題一中的最優(yōu)化生產(chǎn)安排計(jì)劃中,得到的總收益為132344美元.對(duì)于問題三的求解:在問題三中的所建立的數(shù)學(xué)模型中,運(yùn)用和解決問題一所采用的方法解此模型.利用MATLAB中的內(nèi)置函數(shù)Linprog來(lái)求得(程序2在附錄略):最優(yōu)解時(shí)對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)小時(shí)數(shù)為:2801221.304004500420030006000經(jīng)過人工取整調(diào)整后得到: 時(shí)間280122204004500420030006000個(gè)數(shù)186376370250030000350002500050000所以最少成本為:5*(280+1222+400+450+420+300+600)+3.10*15000+3.90*11000+0.23*(15000+11000)+(1863+7637-4000+3500-1000)*0.1+200=114740 美元而在第三季度沒有那臺(tái)提前到達(dá)的惠林硫化機(jī)的時(shí)候,可以達(dá)到的最優(yōu)化時(shí)的成本為114556美元比114740小,則說(shuō)明了當(dāng)支付200美元的小費(fèi)，就可以使那臺(tái)惠林硫化機(jī)提前在第三季度到達(dá)，是不必要的.6 模型的評(píng)價(jià)由于Matlab軟件中是沒有現(xiàn)行的函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)整數(shù)規(guī)劃的，故在求解整數(shù)規(guī)劃過程中得出的只是近似解，要通過人工調(diào)整來(lái)實(shí)現(xiàn)整數(shù)規(guī)劃.模型具有較好的通用性，能夠適應(yīng)同類問題的各種變化.模型的算法比較優(yōu)化.參考文獻(xiàn):1.姚恩瑜,何勇,陳仕平 .數(shù)學(xué)規(guī)劃與組合優(yōu)化M.杭州.浙江大學(xué)出版社.20012.王沫然.MATLAB6.0與科學(xué)計(jì)算M. 北京.電子工業(yè)出版社.2001 3.陳理榮. 數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論M. 北京.北京郵電大學(xué)出版社.1999附錄:程序1:clearclcf=5+1.3333;5+1.250;5+0.6667;5+0.625;5;5;5+1.6667;5+1.4286;5+0.8333;5+0.7143;5;5;a=zeros(6,12);for i=1:6 a(i,i)=1;a(i,6+i)=1;endb=zeros(3,12);for i=1:3 for j=1:2*i if rem(j,2)=0 b(i,j)=-1/0.16; else b(i,j)=-1/0.15; end endendc=zeros(3,12);for i=1:3 for j=1:2*i if rem(j,2)=0 c(i,j+6)=-1/0.14; else c(i,j+6)=-1/0.12; end endendA=a(1,:);a(2,:);a(3,:);a(4,:);a(5,:);a(6,:);b(1,:);b(2,:);c(1,:);c(2,:);bb=700;1500;300;400;1000;300;-4000;-12000;-1000;-6000;Aeq=b(3,:);c(3,:);beq=-15000;-11000;lb=zeros(12,1);x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(f,A,bb,Aeq,beq,lb);程序2:clearclcf=5+1.3333;5+1.250;5+0.6667;5+0.625;5;5;5+1.6667;5+1.4286;5+0.8333;5+0.7143;5;5;a=zeros(6,12);for i=1:6 a(i,i)=1;a(i,6+i)=1;endb=zeros(3,12);for i=1:3 for j=1:2*i if rem(j,2)=0 b(i,j)=-1/0.16; else b(i,j)=-1/0.15; end endendc=zeros(3,12);for i=1:3 for j=1:2*i if rem(j,2)=0 c(i,j+6)=-1/0.14; else c(i,j+