全等三角形中做輔助線總結.doc

全等三角形中做輔助線技巧要點大匯總口訣：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。1、 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。與角有關的輔助線（一）、截取構全等如圖1-1，如取，并連接、，則有，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，平分，平分，點E在上，求證：。例2 已知：如圖1-3，2，求證例3 已知：如圖1-4，在中，2平分，求證：分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習1 已知在中，平分，2C，求證：2 已知：在中，2B，平分交于E，2，求證：23 已知：在中，為的平分線，M為上任一點。求證：4 已知：D是的的外角的平分線上的任一點，連接、。求證：。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題。例1 如圖2-1，已知, 。求證：180分析：可由C向的兩邊作垂線。近而證與B之和為平角。例2 如圖2-2，在中，90，。求證：分析：過D作于E，則，則構造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。例3 已知如圖2-3，的角平分線、相交于點P。求證：的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接，證平分即可，也就是證P到、的距離相等。練習：1如圖2-415， 如果4，則（ ） A 4 B 3 C 2 D 12已知在中，90，平分，1.52.5.求。3已知：如圖2-5, ，（）.求證：180。4.已知：如圖2-6,在正方形中，E為 的中點，F(xiàn)為 上的點，。求證：。5 已知：如圖2-7，在中，90，垂足為D，平分交于F，過F作交于H。求證。（三）：作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，于D，H是中點。求證：（）分析：延長交于點E，則可得全等三角形。問題可證。例2 已知：如圖3-2，90，為的平分線，.求證：2。例3已知：如圖3-3在中，、分別的內(nèi)、外角平分線，過頂點B作，交的延長線于F，連結并延長交于M。求證：。分析：由、是內(nèi)外角平分線，可得，從而有，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在中，平分，交延長線于M。求證：（）分析：題設中給出了角平分線，自然想到以為軸作對稱變換，作關于的對稱，然后只需證，另外由求證的結果（），即2，也可嘗試作關于的對稱，然后只需證即可。練習：1 已知：在中，5，3，D是中點，是的平分線，且于E，連接，求。2 已知、分別是的的內(nèi)角與外角的平分線，于F，于E，連接分別交、于M、N，求證（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。12ACDB例4 如圖，, 1=2，求證：。例5 如圖，平分，且，求證：180。BDCAABECD例6 如圖，、分別平分各，求證：。練習：1. 已知，如圖，2A，2。求證：是直角三角形。CAB2已知：如圖，2，1=2，求證：ABDC12 3已知、是的角平分線，60，求證：AEBDC4已知：如圖在中，90，是的平分線，求證：ABCD二、 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明，如：例1、 已知如圖1-1：D、E為內(nèi)兩點,求證.證明：（法一）將兩邊延長分別交、于M、N，在中，;（1）在中，；（2）在中，；（3）由（1）+（2）+（3）得：（法二：圖1-2）延長交于F，廷長交于G，在和和中有：（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）（同上）（2）（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為內(nèi)的任一點，求證：。分析：因為與不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構造新的三角形，使處于在外角的位置，處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長交于點E，這時是的外角，同理，證法二：連接，并廷長交于F，這時是的外角，同理，即：。注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質證明。三、 有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知為的中線，且1=2,3=4,求證：。分析：要證，可利用三角形三邊關系定理證明，須把，移到同一個三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把，移到同個三角形中。證明：在上截取，連接，則，在和中：（輔助線作法）1=2（已知）（公共邊）（）（全等三角形對應邊相等）同理可得：在中（三角形兩邊之和大于第三邊）。注意：當證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然后用全等三角形的對應性質得到相等元素。三、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在中，1=2，P為上任一點求證：。分析：要證：，想到利用三角形三邊關系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊，故可在上截取等于，得，再連接，則，又在中，。證明：（截長法）在上截取連接,在和中（輔助線作法）1=2（已知）（公共邊）（）,（全等三角形對應邊相等）在中，有（三角形兩邊之差小于第三邊）(三角形兩邊之差小于第三邊)。DAECB例1如圖，平分，且180，求證：。例2如圖，在四邊形中，平分，于E，2，求證：180例3已知：如圖，等腰三角形中，108，平分。DCBA求證：。MBDCA例4如圖，已知中，90，是的平分線，于M，且。求證：?！竞粚嵒A】例：中，是的平分線，且，求證方法1：作于E，作于F，證明二次全等方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長中線【方法精講】常用輔助線添加方法倍長中線 中 方式1： 延長到E， 是邊中線 使， 連接 方式2：間接倍長 作于F， 延長到N， 作的延長線于E 使，連接 連接【經(jīng)典例題】例1：中，5，3，求中線的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線，利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在中，D在上，E在的延長線上，交于F，且，求證：方法1：過D作交于G，證明方法2：過E作交的延長線于G，證明方法3：過D作于G，過E作的延長線于H 證明例3：已知在中，是邊上的中線，E是上一點，且，延長交于F，求證：提示：倍長至G，連接，證明 三角形是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，D、E在上，且，過D作交于點F，.求證：平分提示：方法1：倍長至G，連結方法2：倍長至H，連結例5：已知，是的中線，求證：提示：倍長至F，連結 證明（）進而證明（）【融會貫通】1、在四邊形中，E為邊的中點，與的延長線相交于點F。試探究線段與、之間的數(shù)量關系，并證明你的結論提示：延長、交于G 證明、 所以2、如圖，為的中線，平分交于E，平分交于F. 求證：提示：方法1：在上截取，連結、 證明 所以、 利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長至H，連結、 證明、 利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖，D中，90，于M，平分交于D，交于T，過D作交于E，求證：.提示：過T作于N 證明1如圖，、分別平分各，求證：。EDCBA2.如圖，中，90，是過A的一條直線，且B，C在的異側，于D，于E。求證：四、 由中點想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質（直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形底邊中線性質），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1，是的中線，則S（因為與是等底同高的）。例1如圖2，中，是中線，延長到E，使，是的中線。已知的面積為2，求：的面積。解：因為是的中線，所以S2=1，又因是的中線，故S1，因是的中線，所以S1=。的面積為。（二）、由中點應想到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形中，E、F分別是、的中點，、的延長線分別交的延長線G、H。求證：。證明：連結，并取的中點為M，連結、，是的中位線，是的中位線，從而。（三）、由中線應想到延長中線例3圖4，已知中，5，3，連上的中線2，求的長。解：延長到E，使，則222=4。在和中，從而3。在中，因22=42+32=252，故90，故22。例4如圖5，已知中，是的平分線，又是邊上的中線。求證：是等腰三角形。證明：延長到E，使。仿例3可證：，故，2，又1=2，1=E，從而，即是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質例5如圖6，已知梯形中，求證：。證明：取的中點E，連結、，則、分別為，斜邊上的中線，故，因此。，1，2，1=2，在和中，1=2，從而梯形是等腰梯形，因此。（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線例6如圖7，是等腰直角三角形，90，平分交于點D，垂直于，交的延長線于點E。求證：2。證明：延長，交于點F，在和中，1=2，90，從而2。又1+3+90，故1=3。在和中，1=3，90，2。注：此例中是等腰的底邊的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：為的中線，且1=2，3=4，求證：。證明：廷長至M，使，連接，。在和中，（中點定義）1=5（對頂角相等）（輔助線作法）（）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定義）3+2=90即：9090在和中（輔助線作法）（已證）（公共邊）（）（全等三角形對應邊相等）在中，（三角形兩邊之和大于第三邊）上題也可加倍，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：為的中線，求證：2。分析：要證2，由圖想到：，所以有2，左邊比要證結論多，故不能直接證出此題，而由2想到要構造2，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去證明：延長至E，使，連接，為的中線（已知）（中線定義）在和中（已證）1=2（對頂角相等）（輔助線作法）（）（全等三角形對應邊相等）在中有：（三角形兩邊之和大于第三邊）2。練習：1 如圖，6，8，D為 的中點，求的取值范圍。BADC862 如圖，E為的中點，求證：2。BECDA 3 如圖，M為中點，90。求證：。DM4，已知，是邊上的中線，分別以邊、邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證2。 ABDCEF5已知：如圖為的中線，求證： 常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答（一）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖中，5，3，則中線的取值范圍是.2：如圖，中，E、F分別在、上，D是中點，試比較與的大小. 3：如圖，中，E是的中點，求證：平分.中考應用（09崇文二模）以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，連接，M、N分別是、的中點探究：與的位置關系及數(shù)量關系（1）如圖 當為直角三角形時，與的位置關系是 ，線段與的數(shù)量關系是 ；（2）將圖中的等腰繞點A沿逆時針方向旋轉(090)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變？并說明理由（二）、截長補短1.如圖，中，2，平分，且，求證：2：如圖，分別平分,，過點E，求證3：如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在，上，并且，分別是，的角平分線。求證：4：如圖，在四邊形中，平分，求證：5:如圖在中，12，P為上任意一點，求證中考應用（08海淀一模）例題講解：一、利用轉化倍角，構造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)一個角是另一個角的2倍時，我們就可以通過轉化倍角尋找到等腰三角形.如圖中，若2C，如果作平分，則是等腰三角形；如圖中，若2C，如果延長線到D，使，連結，則是等腰三角形；BCDABCDABCDA如圖中，若B2，如果以C為角的頂點，為角的一邊，在形外作，交的延長線于點D，則是等腰三角形.DCBA1、如圖，中，交于D.求證：.ABC2、如圖，中，2B，2.求證：A90.二、利用角平分線+平行線，構造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖中，若平分，則是等腰三角形；如圖中，平分，則是等腰三角形；如圖中，平分，則是等腰三角形；ADCBEECBDABACDEABFCDEG如圖中，平分，則是等腰三角形.3、如圖，中，在上取點P，過點P作，交的延長線于點E，垂足為點F.求證：.FBACPEFCDEBA4、如圖，中，平分，E、F分別在、上，且，.求證：.E圖1ABCD三、利用角平分線+垂線，構造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖1中，若平分，則是等腰三角形.5、如圖2，已知等腰中，90，平分，交的延長線于D。求證： 2.圖2BFDCA四：其他方法總結1截長補短法ABCDE6、如圖，已知：正方形中，的平分線交于E，求證：2倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi)。EABCDF 7、如圖（7）是的中線，交于E，交于F，且求證：AE8、已知，是邊上的中線，分別以邊、邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖,求證2。 FB CD 3平行線法（或平移法） 若題設中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對,有時可作出斜邊的中線ABCPQO9、中，60，40平分交于P，平分交于Q， 求證： OABCPQD圖（1）ABCPQDE圖（2）O說明：本題也可以在截取，連，構造全等三角形，即“截長補短法” 本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下： 如圖（1），過O作交于D，則來解決ABCPQ圖（3）DO 如圖（2），過O作交于D，交于E，則，來解決 如圖（3），過P