北京大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法(下)課件_15 正交曲面坐標(biāo)系.pdf

15正交曲面坐標(biāo)系 在上一章氬 我們介紹了數(shù)學(xué)物理方程中的基本解法汼分離變量法氮 介質(zhì)的幾何形狀氬 或者是一維直線的線段氬 或者是二維平面的矩形區(qū)域氬 或者是三維空間的長方體氮 對于這些幾何形狀氬 我們采用直角坐標(biāo)來描述介質(zhì)中 的點氬 所討論的區(qū)域的邊界面與坐標(biāo)面重合 氨x 氽 c氬 y 氽 c氬 氮氮氮氬氬 這樣邊界條件才能分離變量氮 如果所討論的介質(zhì)氬 具有其它的幾何形狀氬 常見的有二維平面的圓形氬 三維空間的圓柱形和球形氮 這時就 應(yīng)該考慮其它的坐標(biāo)系汼柱坐標(biāo)系氬 球坐標(biāo)系等氬 它們都屬于正交曲面坐標(biāo)系氮 15 1正交曲面坐標(biāo)系 正交曲面坐標(biāo)系 設(shè)空間有一點 P氬 它在直角坐標(biāo)系中表為 P氨x y z氬 P氨x1 x2 x3氬 在 氨任意的氬 某個曲面坐標(biāo)系中表為 P氨 1 2 3氬氬 1氬 2氬 3為其坐標(biāo)氮 由于 氨 1 2 3氬 和 氨x1 x2 x3氬 代表著 空間同一個點 P氬 所以 1氽 1氨x1 x2 x3氬氨氱氬 2氽 3氨x1 x2 x3氬氨氳氬 3氽 3氨x1 x2 x3氬氨氳氬 而 i氽 i氨x1 x2 x3氬 氽 常數(shù) 為空間的一個曲面氬 稱為坐標(biāo)面氮 故坐標(biāo)系稱為曲面坐標(biāo)系氮 而 i氽 i氨x1 x2 x3氬 氽 常數(shù) j氽 j氨x1 x2 x3氬 氽 常數(shù) i 6氽 j氬 為坐標(biāo)曲面相交的曲線氬 稱為坐標(biāo)線氮 所以曲面坐標(biāo)系又稱為曲線坐標(biāo)系氮 采用矢量 r 表示 P 點氮 如果我們讓某個 i單獨變動氬 而保持其它坐標(biāo)不動氬 則 r 在 i坐標(biāo)線上變動氬 i氽 r i 為沿坐標(biāo)線方向的矢量氮 坐標(biāo)線方向的單位矢量為 ei氽 i i 若三條坐標(biāo)線的方向互相垂直 i ji 6氽 j 則為正交曲面坐標(biāo)系氮 度規(guī) 考慮無窮小位移 湯r 氽 3 X i 1 r i 湯 i氽 3 X i 1 i湯 i 無窮小距離的平方 湯s2氽 湯r 湯r 氽 3 X i 1 3 X j 1 i j湯 i湯 j 氱 定義度規(guī) gij氽 i j 顯然 gij氽 gji氬 則 湯s2氽 3 X i 1 3 X j 1 gij湯 i湯 j 對于正交曲面坐標(biāo)系 gij氽 gii ij 則 湯s2氽 g11氨湯 1氬2氫 g22氨湯 2氬2氫 g33氨湯 3氬2 引入標(biāo)度因子 hi氽 g ii氽 i i氽 i 則 ei氽 氱 hi r i 令 湯si氽 hi湯 i氬 則 湯r 氽 3 X i 1 eihi湯xi氽 3 X i 1 ei湯si 湯s2氽 3 X i 1 氨湯si氬2 與 湯r 氽 湯xi 氫 湯yj 氫 湯zk 比較氬 湯x 湯s1氽 h1湯 1等等氮 可得面元在正交曲面坐標(biāo)系表為 湯 氽 湯xi湯xj氽 湯si湯sj氽 hihj湯 i湯 j 體元則為 湯V 氽 湯x湯y湯z 氽 湯s1湯s2湯s3氽 h1h2h3湯 1湯 2湯 3 求度規(guī)gij或hi 設(shè) xi氽 xi氨 1 2 3氬 湯s2氽 3 X i 1 氨湯xi氬2 氽 3 X i 1 3 X j 1 xi j 湯 j 3 X k 1 xi k 湯 k 氽 3 X j 1 3 X k 1 3 X i 1 xi j xi k 湯 j湯 k 所以 gij氽 3 X k 1 xk i xk j 氨水氬 若為正交曲面坐標(biāo)系 gij氽 gii ij氬 可求出 hi氽 g ii 氳 Example 15 1柱坐標(biāo)系 氨r z氬 x 氽 r汣汯汳 y 氽 r汳汩汮 z 氽 z Solution可得 湯s2氽 湯x2氫 湯y2氫 湯z2 氽 氨汣汯汳 湯r r汳汩汮湯 氬2氫 氨汳汩汮 湯r 氫 r汣汯汳 湯 氬2 氫 湯z2 氽 湯r2氫 r2湯 2氫 湯z2 所以氬 g11氽 氱g22氽 r2g33氽 氱 h1氽 氱h2氽 rh3氽 氱 Example 15 2球坐標(biāo)系 氨r 氬 x 氽 r汳汩汮 汣汯汳 y 氽 r汳汩汮 汳汩汮 z 氽 r汣汯汳 Solution可得 湯s2氽 湯x2氫 湯y2氫 湯z2 氽 氽 湯r2氫 r2湯 2氫 r2汳汩汮2 湯 2 所以氬 g11氽 氱g22氽 r2g33氽 r2汳汩汮2 h1氽 氱h2氽 rh3氽 r汳汩汮 15 2正交曲面坐標(biāo)系中的 Laplace 算符 正交曲面坐標(biāo)系中的梯度 直角坐標(biāo)系中 氽 i x 氫 j y 氫 k z 氨氵氬 即 湯 氽 湯r氨氶氬 在正交曲面坐標(biāo)系中 湯r 氽 3 X i 1 ei湯si 氳 所以氬 si是 在 ei方向的分量 氽 e1 s1 氫 e2 s2 氫 e3 s3 氽 e1 h1 1 氫 e2 h2 2 氫 e3 h3 3 氨氷氬 正交曲面坐標(biāo)系中的散度 直角坐標(biāo)系中 V 氽 Vx x 氫 Vy y 氫 Vz z 在正交曲面坐標(biāo)系中 V 氽 e1V1氫 e2V2氫 e3V3氨永氬 由高斯定理 ZZZ V A湯V 氽 Z Z S A 湯S氨氹氬 可如下計算散度 A 氽 汬汩汭 V 0 氱 V Z Z S An湯S氨氱氰氬 其中 S 代表體積 V 的邊界面氬 An是 A 在 S 的外法線方向上的分量氮 a b c d e f g h ds1氽h1d 1 ds2氽h2d 2 ds3氽h3d 3 汆汩汧汵汲汥 氱氺 坐標(biāo)線和坐標(biāo)面構(gòu)成的無窮小六面體氮 應(yīng)用上式于圖中的六面體氬 有 V 氽 湯s1湯s2湯s3氽 h1h2h3湯 1湯 2湯 3 邊界面 adhe 和 bcgf 對面積分的貢獻(xiàn)是氨在 bcgf 面上的積分值用 0 表示氬 A1湯s2湯s3氫 氨A1湯s2湯s3氬0 氽 A1h2h3湯 2湯 3氫 氨A1h2h3氬0湯 2湯 3 氽 1 氨A1h2h3氬 湯 1湯 2湯 3 水 類似地氬 其它兩對表面對面積分的貢獻(xiàn)分別為 2 氨A2h3h1氬 湯 1湯 2湯 3 3 氨A3h1h2氬 湯 1湯 2湯 3 因此 A 氽 氱 h1h2h3 1 氨A1h2h3氬 氫 2 氨A2h3h1氬 氫 3 氨A3h1h2氬 氽 氱 h1h2h3 3 X i 1 i h 1h2h3 hi Ai 氨氱氱氬 正交曲面坐標(biāo)系中的旋度 直角坐標(biāo)系中 V 氽 ijk x y z VxVyVz 氨氱氳氬 由 汓汴汯汫汥汳 定理 ZZ S 氨 A氬 湯S 氽 I A 湯s氨氱氳氬 可以按下式計算矢量 A 的旋度 氨 A氬i氽 汬汩汭 Si 0 氱 Si I As湯s i 氽 氱 氳 氳氨氱水氬 其中 S1氽 湯s2湯s3氽 h2h3湯 2湯 3 等等氻 s 是 Si的周界氻 As是 A 沿周界線的分量氬 周界線的正方向與 Si的法線方向氨沿 湯si氬成右手螺旋氮 應(yīng)用上式于上面圖中的面元 adhe氬 線積分之值為氨沿 dh 和 he 的積分值用 0 表示氬 I As湯s 氽A2湯s2氫 氨A3湯s3氬0 氨A2湯s2氬0 A3湯s3 氽氨A3h3氬0湯 3 A3h3湯 3 氫 A2h2湯 2 氨A2h2氬0湯 2 氽 2 氨A3h3氬湯 2湯 3 3 氨A2h2氬湯 2湯 3 因此 氨 A氬1氽 氱 h2h3 氨h 3A3氬 2 氨H2A2氬 3 氨氱氵氬 其它分量可以類似地求得氬 或者從上式對 氱 氳 氳 作置換而求得氮 氵 正交曲面坐標(biāo)系中的 Laplace 算符 汌污汰汬污汣汥 算符由下式給出 2 氽 氽 氱 h1h2h3 1 h 2h3 h1 1 氫 2 h 1h3 h2 2 氫 1 h 1h2 h3 3 氨氱氶氬 Example 15 3柱坐標(biāo)系 Solutionh1氽 氱氬 h2氽 r氬 h3氽 氱 2氽 氱 r r r r 氫 氱 r 氱 r 氫 氱 r z r z 氽 氱 r r r r 氫 氱 r2 2 2 氫 2 z2 氨氱氷氬 Example 15 4球坐標(biāo)系 Solutionh1氽 氱氬 h2氽 r氬 h3氽 r汳汩汮 2氽 氽 氱 r2 r r2 r 氫 氱 r2汳汩汮 汳汩汮 氫 氱 r2汳汩汮2 2 2 氨氱永氬 Example 15 5橢球坐標(biāo)系 氨 氬 x2氽氨a 2 氫 氬氨a2氫 氬氨a2氫 氬 氨a2 b2氬氨a2 c2氬 y2氽氨b 2 氫 氬氨b2氫 氬氨b2氫 氬 氨b2 c2氬氨b2 a2氬 z2氽氨c 2 氫 氬氨c2氫 氬氨c2氫 氬 氨c2 a2氬氨c2 b2氬 寫出坐標(biāo)系中的 Laplace 算符 Solution這里氬 氨 氬 為關(guān)于 w 的方程 x2 a2氫 w 氫 y2 b2氫 w 氫 z2 c2氫 w 氽 氱 的三個根氮 規(guī)定橢球坐標(biāo)遵守以下限制氺 c2 b2 a2 這樣氬 氭坐標(biāo)曲面是橢球面氺 x2 a2氫 氫 y2 b2氫 氫 z2 c2氫 氽 氰 氶 氭坐標(biāo)曲面是單頁雙曲面氺 x2 a2氫 氫 y2 b2氫 氫 z2 c2氫 氽 氱 氭坐標(biāo)曲面是雙頁雙曲面氺 x2 a2氫 氫 y2 b2氫 氫 z2 c2氫 氽 氱 下面計算度規(guī)氮 設(shè)定函數(shù) 氨 氬 氨a2氫 氬氨b2氫 氬氨c2氫 氬 首先得到 湯x 氽x 氳 湯 a2氫 氫 湯 a2氫 氫 湯 a2氫 湯y 氽y 氳 湯 b2氫 氫 湯 b2氫 氫 湯 b2氫 湯z 氽z 氳 湯 c2氫 氫 湯 c2氫 氫 湯 c2氫 則 湯s2氽 湯x2氫 湯y2氫 湯z2氽 3 X i j 1 gij i j 其中 1氽 氬 2氽 氬 3氽 氮 gij計算如下氺 g11氽氱 水 x2 氨a2氫 氬2 氫 y2 氨b2氫 氬2 氫 z2 氨c2氫 氬2 氽氱 水 h 氨a2氫 氬氨a2氫 氬 氨a2 b2氬氨a2 c2氬氨a2氫 氬 氫 氨b2氫 氬氨b2氫 氬 氨b2 c2氬氨b2 a2氬氨b2氫 氬 氫 氨c2氫 氬氨c2氫 氬 氨c2 a2氬氨c2 b2氬氨c2氫 氬 i 氷 利用恒等式 a2氫 w 氨a2 b2氬氨a2 c2氬 氫 b2氫 w 氨b2 c2氬氨b2 a2氬 氫 c2氫 w 氨c2 a2氬氨c2 b2氬 氽 氰 可得 g11氽 氨 氬氨 氬 水 氨 氬 而 g12氽氱 水 h x2 氨a2氫 氬氨a2氫 氬 氫 y2 氨b2氫 氬氨b2氫 氬 氫 z2 氨c2氫 氬氨c2氫 氬 i 氽氱 水 h a2氫 氨a2 b2氬氨a2 c2氬 氫 b2氫 氨b2 c2氬氨b2 a2氬 氫 c2氫 氨c2 a2氬氨c2 b2氬 i 氽 氰 同樣得到 g22氽氨 氬氨 氬 水 氨 氬 g33氽氨 氬氨 氬 水 氨 氬 g13氽g23氽 氰 所以氬 橢球坐標(biāo)系為正交曲面坐標(biāo)系氮 其標(biāo)度因子為 h1氽氱 氳 s 氨 氬氨 氬 氨 氬 h2氽氱 氳 s 氨 氬氨 氬 氨 氬 h3氽氱 氳 s 氨 氬氨 氬 水 氨 氬 代入 汌污汰汬污汣汥 算符公式氬 可得 2氽 水 氨 氬氨 氬氨 氬 n 氨 氬 p 氨 氬 p 氨 氬 氫 氨 氬 p 氨 氬 p 氨 氬 氫 氨 氬 p 氨 氬 p 氨 氬 o 永 15 3圓形區(qū)域 考慮圓形區(qū)域中的穩(wěn)定問題汼 汌污汰汬污汣汥 方程的定解問題 2u 氽 2u x2 氫 2u y2 氽 氰x2氫 y2 氰 時 Z 2 0 氈m1氈m2湯 氽氿 當(dāng)簡并發(fā)生時氬 對應(yīng)于一個本征值的兩個 氨或更多氬 的線性無關(guān)的本征函數(shù)氬 它們之間一般不具有正交性氡 但 注意到本征函數(shù)的線性疊加還是本征函數(shù)氮 即本征函數(shù)基底的選擇有無窮多種可能性氬 總可以將本征函數(shù)作 適當(dāng)?shù)木€性組合氬 使得構(gòu)成的本征函數(shù)基底之間具有正交性氮 即使得 Z 2 0 氈m1氈m2湯 氽 氰 實際上氬 我們的選擇就是正交的 Z 2 0 汣汯汳m 汳汩汮m 湯 氽 氰 這時氬 正交性可表為 Z 2 0 氈mi氈nj湯 氽 k氈mik2 mn ij 本征函數(shù)的模方為 k氱k2氽 Z 2 0 湯 氽 氳 k汳汩汮m k2氽 Z 2 0 汳汩汮2m 湯 氽 k汣汯汳m k2氽 Z 2 0 汣汯汳2m 湯 氽 當(dāng)然氬 如果經(jīng)過驗證氬 若簡并的本征函數(shù)之間不滿足正交關(guān)系氬 就應(yīng)取它們適當(dāng)?shù)木€性組合氬 使重新構(gòu)造的 本征函數(shù)之間滿足正交關(guān)系氮 正交本征函數(shù)的選取并不唯一氮 如果允許本征函數(shù)為復(fù)變函數(shù)氬 另一種常見的 本征函數(shù)基為 氈m氽 汥im m 氽 氰 氱 氳 氳 正交關(guān)系為 Z 2 0 氈m氈 n湯 氽 k氈mk 2 mn 復(fù)共軛是要保證模方為正的實數(shù) k氈mk2氽 Z 2 0 汥im 汥 im 湯 氽 氳 氱氳 由正交關(guān)系可求得 amCmi氽 氱 k氈mik2 Z 2 0 f氨 氬氈mi湯 即 C0氽 氱 氳 Z 2 0 f氨 氬湯 Cm1氽 氱 am Z 2 0 f氨 氬汳汩汮m 湯 Cm2氽 氱 am Z 2 0 f氨 氬汣汯汳m 湯 Poisson 公式 將上面求得的系數(shù)代入到解式中氬 還可以得到 u氨r 氬 氽 氱 氳 Z 2 0 f氨 0氬湯 0 氫 氱 X m 1 r a m 汳汩汮m Z 2 0 f氨 0氬汳汩汮m 0湯 0 氫 氱 X m 1 r a m 汣汯汳m Z 2 0 f氨 0氬汣汯汳m 0湯 氽 氱 氳 Z 2 0 f氨 0氬 氱 氫 氳 X m 1 r a m 汣汯汳m氨 0氬 湯 0 顯然氬 當(dāng) r a 時級數(shù)收斂氮 將余弦函數(shù)用復(fù)指數(shù)表示氬 利用等比級數(shù)的求和公式就可以求出級數(shù)的和氬 得 到 u氨r 氬 氽 a2 r2 氳 Z 0 f氨 0氬 r2氫 a2 氳ar汣汯汳氨 0氬湯 0 此即 汐汯汩汳汳汯汮 積分公式氮 在教科書復(fù)變函數(shù)部分氬 由解析函數(shù)的 汃污汵汣汨洶 積分公式氬 也推出了這個結(jié)果氬 而 u氨r 氬 正好是解析函數(shù)的實部氨或虛部氬氮 Example 15 6在圓域 氰 x2氫 y2 a2上求解 2u 氽 水y u x2 y2 a2氽 氰 Solution從上面的討論氬 對圓內(nèi) 汌污汰汬污汣汥 問題氬 如果方程齊次氬 邊條件非齊次氬 可用分離變量法求解2氮 所以 對圓內(nèi) 汌污汰汬污汣汥 問題氬 方程非齊次氬 雖然邊界條件齊次氬 也要先將方程齊次化氡 令 u 氽 w 氫 v 2v 氽 水y 2因為采用極坐標(biāo)系后 數(shù)學(xué)上的周期性條件是齊次的 氱氳 很容易解出 v 氽 氳 氳y 3 則 w 2w 氽 氰 w x2 y2 a2氽 v x2 y2 a2氽 2 3y 3 采用極坐標(biāo)系 1 r r r w r 氫 1 r2 2w 2 氽 氰 w 0氽 w 2 w 0 氽 w 2 w r 0有界 w r a氽 2 3氨a汳汩汮 氬 3 氽 1 2a 3汳汩汮 1 6a 3汳汩汮氳 氮氮氮 w r 氬 氽 C0氫 X m 1 rm氨Cm1汳汩汮m 氫 Cm2汣汯汳m 氬 代入 r 氽 a 邊界條件 w r a氽 C0氫 X m 1 am氨Cm1汳汩汮m 氫 Cm2汣汯汳m 氬 氽 氱 氳a 3汳汩汮 氱 氶a 3汳汩汮氳 比較得 C11氽 氱 氳a 2氻 C31氽 氱 氶氻 C其它氽 氰 所以 w 氽 氱 氳a 2r汳汩汮 氱 氶r 3汳汩汮氳 u 氽 w 氫 v 氽 氱 氳a 2r汳汩汮 氱 氶r 3汳汩汮氳 氱 氳r 3汳汩汮 氫氱 氶r 3汳汩汮氳 氽 氱 氳r氨a 2 r2氬汳汩汮 氽 氱 氳氨a 2 x2 y2氬x Example 15 7在橢球坐標(biāo)系中將 Laplace 方程分離變量 Solution在橢球坐標(biāo)系中 汌污汰汬污汣汥 方程為 水 氨 氬氨 氬氨 氬 n 氨 氬 p 氨 氬 p 氨 氬 氫 氨 氬 p 氨 氬 p 氨 氬 氫 氨 氬 p 氨 氬 p 氨 氬 o u氨 氬 氽 氰 氱水 設(shè) u氨 氬 氽 氃氨 氬M氨 氬N氨 氬 代入方程并除以 氃氨 氬M氨 氬N氨 氬 后氬 得 氨 氬 p 氨 氬 氱 氃氨 氬 湯 湯 p 氨 氬湯氃氨 氬 湯 氫 氨 氬 p 氨 氬 氱 M氨 氬 湯 湯 p 氨 氬湯M氨 氬 湯 氫 氨 氬 p 氨 氬 氱 N氨 氬 湯 湯 p 氨 氬湯N氨 氬 湯 氽 氰 可以簡單地寫成 氨 氬F氨 氬 氫 氨 氬G氨 氬 氫 氨 氬H氨 氬 氽 氰 進(jìn)一步氬 令 氽 氬 得 G氨 氬 氽 F氨 氬 再令 氽 氬 又得 H氨 氬 氽 F氨 氬 所以 氨 氬F氨 氬 氫 氨 氬F氨 氬 氫 氨 氬F氨 氬 氽 氰 將 F氨 氬 作 汔污汩汬汯汲 展開后氬