抗雪救災(zāi)人力資源分配的優(yōu)化方案.doc

抗雪救災(zāi)人力資源分配的優(yōu)化方案武小鵬（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院. 甘肅蘭州. 730070）摘 要當(dāng)遇到雪災(zāi)冰凍等自然災(zāi)害時首要的搶險救援任務(wù)是向救災(zāi)人群輸送救援物資、疏通受阻道路及搶修電力設(shè)施。因此，合理分配人力資源，可使救災(zāi)損失降到最小，從而節(jié)約成本，使救災(zāi)過程高效可行。通過對輸送救援物資，疏通受阻道路及搶修電力設(shè)施的實際情況分析，在人力資源有限的假設(shè)下，利用微積分的工具，建立了完成抗雪救災(zāi)這項任務(wù)的總損失與人力資源分配的關(guān)系模型，從而將人力資源分配的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)模型的求解問題，并給出了模型的求解公式，且對實際問題給出了最優(yōu)解的存在性條件。在實際應(yīng)用上，通過受災(zāi)人數(shù)等報告數(shù)據(jù)的匯總，啟用本模型，則可給出模型的精確解，從而給出合理高效的人力資源分配方案。具體模型如下：總損失函數(shù): SS1+ S2+ S3 S2=t0(m-x2vt) tdt+ mt0+c3x3 (0t2/M R2/3M或(3MR2-2)/ (MR3-2)其中R=X-Nk ，M=3v2(c12t22+2 c2t22)/ m3由于使S的一階導(dǎo)數(shù)等于0時，此時對應(yīng)的二階導(dǎo)存在且恒為正，故最小值存在，最后解出的S就是最優(yōu)解。關(guān)鍵字抗雪救災(zāi) 輸送救援物資 疏通受阻道路 搶修電力設(shè)施 微積分一、問題的提出2008年初，我國南方遭遇了罕見的雪災(zāi)，冰雪天氣給南方各省造成了巨大的損失，大批乘客滯留在車站和機(jī)場，城市大面積停電，道路在冰雪覆蓋下無法通行此次災(zāi)害中共出動了解放軍31萬人次，武警33.3萬人次，電力搶修人員18萬人次，民兵預(yù)備役186.7萬人次1。于是，在救援人員數(shù)目一定的情況下，面對不同的受災(zāi)部分，怎樣分配人力資源去搶救才能使總損失降到最低？關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠韺崿F(xiàn)人力資源的合理分配，從而達(dá)到在災(zāi)難發(fā)生時調(diào)用此方案能最有效地實施營救，使總損失降到最小的目的。二、 模型的假設(shè)1.人力，財力，物力都能滿足抗雪救災(zāi)的需要。2. 營救人員到達(dá)救災(zāi)地點的過程是順利的，不遇到突發(fā)情況。3.受災(zāi)人數(shù)與派出的救援人數(shù)是成比例的。4. 對dL/dt假設(shè)為：1o 損失費與電纜損壞長度L（t）成正比，比例系數(shù)為c1；2o 從災(zāi)害開始到開始救災(zāi)（t1tt2）,電纜損壞程度dL/dt與時間t成正比，比例系數(shù)為； 3o 搶修開始后（t2tt3）損壞速度降為- x3，為搶修人員的平均搶修速度，且應(yīng)有 x3；4o 每個搶修人員單位時間的費用為c2，于是每個搶修人員的搶修費用為c3(t3-t2)。三、符號及變量說明c1： 單位長度電纜損失費c2： 單位時間每個人搶修電纜的費用c3： 每個救援人員的一次性支出k： 救與被救人員之間的比例關(guān)系L（t）： t時刻電纜損壞的長度m： 阻塞路面的面積N： 受災(zāi)人數(shù)S1： 輸送救災(zāi)物資及救人過程中損失的總費用S2： 電線電纜及搶修過程損失的總費用S3： 受災(zāi)路面及疏通道路損失總費用S： 總的損失費用： 在t。內(nèi)由路面阻塞造成的損失： 救援人員到達(dá)后直到道路清理完成之前造成的損失： 救災(zāi)人員一次性支出的總費用t0: 開路人員到達(dá)受災(zāi)地所用的時間t1： 對電纜構(gòu)成災(zāi)害的時刻t2： 開始搶修電纜的時刻t3： 對電纜搶修完成的時刻t： 清理路面所用時間v： 每個搶修人員平均搶修速度x1： 運送物資的人數(shù)x2： 搶修道路的人數(shù)x3: 搶修電纜的人數(shù)X： 可供調(diào)配的人數(shù)： 單位時間單位面積道路阻塞造成的損失： 電纜損壞速度（dL/dt與t的比例系數(shù)）： 搶修人員的平均搶修速度dL/dt: 電纜損壞程度（L（t）與t2成正比）四、問題的分析雪災(zāi)發(fā)生后，社會的諸多方面都會遭受到不同程度的損失。由于現(xiàn)實情況的復(fù)雜性，同時又要保證方案的可行性，本模型將需要搶救的方面分為三大部分：1.分配人員向受災(zāi)人群輸送物資開展救援；2.分配人員疏通阻塞的道路；3.分配人員搶修電線電纜在第1部分中，損失費為S1，在知道受災(zāi)總?cè)藬?shù)N的情況下，根據(jù)N與x1比例關(guān)系k，可確定出具體的x1（x1=Nk），從而建立出S1與救援人數(shù)x1的比例關(guān)系：S1= c3x1；在第2部分中，損失費用為S2，派出疏通道路人員的數(shù)量為x2。已知v、m、to、c3 (以上數(shù)值均為常量)，可分別求出、，依次為：= mt0=t0(m-x2vt) tdt= c3x3顯然 因此，S2=t0(m-x2vt) tdt+ mt0+c3x3 (0tm/x2v)在第3部分中，損失費用為S3，派出搶修人員數(shù)量為x3，已知常量c1 、v、t1、t2、t3，設(shè)出變量dL/dt、L（t）通過對這些數(shù)據(jù)的綜合分析，得出主要關(guān)系式：t3- t2=b/（x1-） （1）L（t3）=（t32/2）+ t322/2(x3-) （2）再由以上兩式得出：S3= c1t22/2+c1t22/2(x3-)+c2t2x3/(x3-)+c3x3最后，利用損失SS1+ S2+ S3，分別將要S1，S2，S3的表達(dá)式代入，通過變量與變量，變量與常量的代換得出x3關(guān)于S的三次表達(dá)式：S=m3/6v2(X-Nk- x32)2+mLt0+c3x+2t2x3(c1t2+2c2)/2(x3-)此時問題就轉(zhuǎn)化為一元三次方程求最優(yōu)解的問題。五、模型的建立1. 向受災(zāi)人群輸送物資此情況下，假設(shè)道路已經(jīng)暢通，或至少有道路通向災(zāi)區(qū)，我們要做的是為保證受災(zāi)人員的生命安全和溫飽問題。根據(jù)假設(shè)，向災(zāi)區(qū)運送物資消耗的費用為顯然，在受災(zāi)人數(shù)確定的條件下，此處的x1為一定量。2. 道路疏通問題：由假設(shè)可知，參加道路疏通人員的集體搶修速度為xv在內(nèi)有路面阻塞早產(chǎn)的損失為：清理道路所用時間為在道路疏通人員到達(dá)后，邊清理邊損失的情況下，所形成的損失為用于道路疏通人員的一次性支出為故總的損失為 = (其中0t) 3.搶修電纜問題在搶修人員到達(dá)之前，即 時，損失越來越大，即隨t 的增加而增加；開始搶修之后，即時，隨著搶修工作的開展損失程度會減小，且當(dāng) 時=0.由假設(shè)條件，電纜損壞程度在 線性的增加，在時線性的減小，如圖所示。 記時，損壞程度恰是圖中三角形的面積，顯然， 而滿足 由假設(shè)條件，電纜損失為， 救援費為 將 代如入，得到損失費 4.問題整合由假設(shè)，可供調(diào)配的人員為X ，則 因而，雪災(zāi)造成的總損失表示成的函數(shù)為 六、模型的求解與分析以上已經(jīng)建立了完成抗雪救災(zāi)的總損失與人力資源分配的函數(shù)關(guān)系，即對 關(guān)于求導(dǎo)，有令 =0 ，化簡整理得 令, ，于是方程化簡為 即 討論方程取實根的情況對一般一元三次方程而言 ，取實根的情況有兩種： 有一個實根兩個虛根令方程的根分別為，由三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有在方程（*）中，不妨設(shè)為實根，為兩共軛虛根，顯然，因此當(dāng) 時，方程（*）有一個正實根 有三個實根 由三次方程根與系數(shù)關(guān)系 , 在方程（*）中，當(dāng) 或時， 方程（*）至少有一個實根。再對 關(guān)于求二階導(dǎo)，得恒成立。 因此，所求出的駐點為極小值點，對實際情況而言，此極小值就是最小值，最優(yōu)解存在。方程的求解方程（*）可以表示為如下形式： 而對方程，設(shè)于是有 由求根公式，有方程（*）的根為 （其中，）七、模型的靈敏度分析由不斷變化的外部環(huán)境可能引起原決策系數(shù)的改變，因此討論這些變化對最優(yōu)解的影響，即模型的靈敏度分析是非常有必要的。1）在應(yīng)用模型時，c1、c2、c3、k都是已知的常數(shù)，而、v、則是由救災(zāi)人員的素質(zhì)、具體災(zāi)情的嚴(yán)重程度等不可控因素決定的，這就對模型的穩(wěn)定性有一定的影響。2）從自變量發(fā)生微小變化的角度來看，取x3，使得| x3- x3|，由于S由初等函數(shù)構(gòu)成，所以S為初等函數(shù)。又由閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)，即在條件