1.1正弦定理.doc

第一章 解斜三角形學(xué)校：臨清二中 學(xué)科：數(shù)學(xué) 編寫人：劉會(huì)志 一審：李其智 二審：馬英濟(jì)111正弦定理（一）教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能:通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形中的一類簡(jiǎn)單問題2. 過程與方法:讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。3情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。（二）教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)即理解（三）學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：，接著就一般斜三角形進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對(duì)正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識(shí)的簡(jiǎn)捷，新穎。教學(xué)用具：直尺、投影儀、計(jì)算器（四）教學(xué)過程1創(chuàng)設(shè)情景如圖11-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。 A思考：C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角C的大小的增大而增大。能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ C B2探索研究 (圖11-1)在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖11-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又, A則 b c從而在直角三角形ABC中， C a B(圖11-2)思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖11-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則， C同理可得， b a從而 A c B (圖11-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。（證法二）：過點(diǎn)A作， C由向量的加法可得 則 A B ，即同理，過點(diǎn)C作，可得 從而 類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即理解定理（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，；（2）等價(jià)于，從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。3例題分析例1在中，已知，cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例2如圖，在ABC中，A的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，求證： ABCD證明：如圖在ABD和CAD中，由正弦定理，得，ABCD1800 兩式相除得五鞏固深化反饋研究1已知ABC 已知A=600，B=300，a=3；求邊b=（）: D （2）已知ABC 已知A=450，B=750，b=8；求邊（）A 8 B 4 C 4-3 D 8-8（3）正弦定理的內(nèi)容是（4）已知a+b=12 B=450 A=600則則則a=-，b=-（5）已知在ABC中,三內(nèi)角的正弦比為4:5:6，有三角形的周長(zhǎng)為7.5，則其三邊長(zhǎng)分別為-（6）在ABC中，利用正弦定理證明六，課堂小結(jié)（有學(xué)生自己總結(jié)）七 板書設(shè)計(jì)略五 課堂小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)）學(xué)校：臨清二中 學(xué)科：數(shù)學(xué) 編寫人：劉會(huì)志 一審：李其智 二審：馬英濟(jì)1.1.1 正弦定理 學(xué)案【預(yù)習(xí)達(dá)標(biāo)】在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊為a、b、c，1.在RtABC中，C=900, csinA= ,csinB= ，即 = 。2. 在銳角ABC中，過C做CDAB于D，則|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 。3. 在鈍角ABC中，B為鈍角，過C做CDAB交AB的延長(zhǎng)線D，則|CD|= = ，即 ，故有 ?！镜淅馕觥恳?新課導(dǎo)入，推導(dǎo)公式（1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是例1在中，已知，cm，解三角形。例2如圖，在ABC中，A的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，求證： ABCD【達(dá)標(biāo)練習(xí)】1. 已知ABC 已知A=600，B=300，a=3；求邊b=（）: D （2）已知ABC 已知A=450，B=750，b=8；求邊（）A 8 B 4 C 4-3 D 8-8-（3）正弦定理的內(nèi)容是（4）已知a+b=12 B=450 A=600則則則則a=-，b=-（5）已知在ABC中,三內(nèi)角的正弦比為4:5:6，有三角形的周長(zhǎng)為7.5，則其三邊長(zhǎng)分別為-（6）在ABC中，利用正弦定理證明參考答案【預(yù)習(xí)達(dá)標(biāo)】1a,b,. 2.bsinA asinB , ,=.3. .bsinA asinB , =.【典例解析】如圖11-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則， C同理可得， b a從而 A c B (圖11-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。（證法二）：過點(diǎn)A作， C由向量的加法可得 則 A B ，即同理，過點(diǎn)C作，可得 從而 類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即例1解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。ABCD1800 例2證明：如圖在ABD和CAD中，由正弦定理，得，兩式相除得【雙基達(dá)標(biāo)】1（1）C（2）D（3）=.（4）36-1212-24（5）2, 2.5, 3，2證明：設(shè)，則學(xué)校：臨清二中 學(xué)科：數(shù)學(xué) 編寫人：劉會(huì)志 一審：李其智 二審：馬英濟(jì) 1.1.2 正弦定理【三維目標(biāo)】：一、知識(shí)與技能1會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題2通過三角函數(shù)、正弦定理、等多處知識(shí)間聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.3.在問題解決中,培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和自主探索能力二、過程與方法讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀1.培養(yǎng)學(xué)生處理解三角形問題的運(yùn)算能力；【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：重點(diǎn)：正弦定理的探索及其基本應(yīng)用。難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)?！臼谡n類型】：新授課四教學(xué)過程 一、知識(shí)回顧 1正弦定理的內(nèi)容是什么？二、例題講解 例 1試推導(dǎo)在三角形中 =2R其中R是外接圓半徑證明 如圖所示， 同理， =2R例2 在：，為銳角， 例3 解 ，五、鞏固深化，反饋矯正 1試判斷下列三角形解的情況：已知?jiǎng)t三角形ABC有（）解A 一 B 兩 C 無(wú)解2已知?jiǎng)t三角形ABC有（）解A 一 B 兩 C 無(wú)解3.在中，三個(gè)內(nèi)角之比，那么等于_4.在中，, B=135 C=15 a=5則此三角形的最大邊長(zhǎng)為_5在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有兩解，則x的取值范圍是_6.在中，已知，求的度數(shù) 六、小結(jié)（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)使；（2）=等價(jià)于=，=，=，即可得正弦定理的變形形式：1）；2）；3）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題： 1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如；2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角如。一般地，已知角A 邊a和邊b解斜三角形，有兩解或一解或無(wú)解（見圖示）外接圓法）如圖所示， a=bsinA有一解 absinA有兩解 ab 有一解 ab有一解 七板書設(shè)計(jì) 略1.1.2正弦定理學(xué)案 預(yù)習(xí)達(dá)標(biāo)1 正弦定理的內(nèi)容是2 在三角形ABC中已知c=10 A=450 C=300，則邊a=-，邊b=-，角B=-3在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40，則角B=-（可借助計(jì)算器）二 典例解析例 1試推導(dǎo)在三角形中 =2R其中R是外接圓半徑例2 在例3 三 達(dá)標(biāo)練習(xí)1試判斷下列三角形解的情況：已知?jiǎng)t三角形ABC有（）解A 一 B 兩 C 無(wú)解2已知?jiǎng)t