7-7空間向量的坐標運算.doc

7-7空間向量的坐標運算一、選擇題1已知ABCD，且A(4,1,3)、B(2，5,1)、C(3,7，5)，則頂點D的坐標為()A(，4，1) B(2,3,1) C(3,1,5) D(5,13，3)解析：，設(x，y，z)，則(7,8，2)(x2，y5，z1)，x5，y13，z3，即(5,13，3)答案：D2已知ABC的三個頂點坐標分別為A(2,3,1)、B(4,1，2)、C(6,3,7)，則ABC的重心坐標為()A(6，3) B(4，2) C(8，4) D(2，1)解析：ABC的重心坐標為x4，y，z2.答案：B3若向量a(1，2)，b(2，1,2)，cosa，b，則等于()A2 B2 C2或 D2或解析：|a|，|b|3，ab6，根據(jù)已知條件，解得2，或.答案：C4 已知兩空間向量a(2，cos ，sin )，b(sin ，2，cos )，則ab與ab的夾角為()A30 B45 C60 D90解析：(ab)(ab)a2b20，ab，ab90.答案：D二、填空題5與A(1,2,3)、B(0,0,5)兩點距離相等的點滿足的等式為_解析：設到A、B兩點距離相等的點為P(x，y，z)，由|PA|PB|，即(x1)2(y2)2(z3)2x2y2(z5)2，整理得：2x4y4z110.答案：2x4y4z1106已知向量a(1,2,3)，b(1,1,1)，則向量a在向量b方向上的投影為_解析：ba(1,1,1)(1,2,3)，則a在向量b上的投影為.答案：7已知a(2，1,2)，b(2,2,1)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為_解析：|a|3，|b|3，ab22(1)2214，cosa，b，sina，b，S平行四邊形|a|b|sina，b.答案：三、解答題8如右圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E為PD的中點(1)求直線AC與PB所成角的余弦值；(2)在側面PAB內找一點N，使NE面PAC，并求出N點到AB和AP的距離解答：(1)如右圖，建立直角坐標系Axyz，則P(0,0,2)，B(，0,0)，C(，1,0)(，1,0)，(，0，2)，cos，則直線AC與PB所成角的余弦值為.(2)設N(x,0，z)又E(0，1)，(x，z1)由0，得2(z1)0，由0，得 x0，解得：x，z1，因此N點到AB和AP的距離分別為1，.9 如右圖，點P，E，F(xiàn)在矩形ABCD所在平面外，PC平面ABCD于C，EB平面ABCD于B，F(xiàn)D平面ABCD于D，AB4，BC2，PC6，BEDF且四邊形AEPF是平行四邊形 (1)建立適當坐標系，求點E、F的坐標；(2)求平面AEPF與平面PEBC所成的二面角(銳角)的大小解答：如右圖，建立空間直角坐標系 (1)P(0,0,6)，A(4,2,0)，設BEDFm，則E(0,2，m)，F(xiàn)(4，0，m)，(0,0,6)(0,2，m)(0，2,6m)，(4,0，m)(4,2,0)(0，2，m)，四邊形AEPF是平行四邊形，6mm，即m3，E(0,2,3)，F(xiàn)(4,0,3)(2)(0，2,3)，(0,2,3)(4,2,0)(4,0,3)，設平面AEPF的法向量n1(x，y，z)，n1，(x，y，z)(0，2,3)0即2y3z0，n1，(x，y，z)(4,0,3)0即4x3z0.令z4得y6，x3，n1(3,6,4)，顯然平面PEBC的法向量n2(1,0,0)n1n2(3,6,4)(1,0,0)3，|n1|，|n2|1，cosn1，n2，平面AEPF與平面PEBC所成的二面角(銳角)的大小是arccos .10如右圖，已知長方體ABCDA1B1C1D1，AB2，AA11，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30，AE垂直BD于E，F(xiàn)為A1B1的中點(1)求異面直線AE與BF所成的角；(2)求平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)的大??；(3)求點A到平面BDF的距離解答：在長方體ABCDA1B1C1D1中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標系如右圖由已知AB2，AA11，可得A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1)又AD平面AA1B1B，從而BD與平面AA1B1B所成的角即為DBA30，又AB2，AEBD，AE1，AD，從而易得E(，0)，D(0，0)(1)(，0)，(1,0,1).即異面直線AE、BF所成的角為arccos.(2)易知平面AA1B的一個法向量m(0,1,0)，設n(x，y，z)是平面BDF的一個法向量(2，0)由取n(1，1)，cosm，n.即平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)大小為arccos.(3)點A到平面BDF的距離，即AB在平面BDF的法向量n上的投影的絕對值所以距離d|cos，n|.所以點A到平面BDF的距離為.1 已知空間三點A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分別與AB，AC垂直，則向量a為()A(1,1,1) B(1，1，1)C(1,1,1)或(1，1，1) D(1，1,1)或(1,1，1)解析：由已條件(2，1,3)，(1，3,2)，可觀察出a(1,1,1)答案：C2已知，在右圖所示的幾何體ABCED中，EC面ABC，DB面ABC，CECACB2DB，ACB90，M為AD的中點(1)證明：EMAB；(2)求直線BM和平面ADE所成角的大小解答：解法一：(1)如右圖，以C為原點，CA、CB、CE所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系 不妨設BD1，則E(0,0,2)，A(2,0,0)，D(0,2,1)，B(0,2,0)，由M是AD的中點，得M(1,1，)，(1,1，)，(2,2,0)0，得.(2) (2,2,1)，(2,0,2)，設面ADE的法向量n(x，y，z)，由ADn0，n0，易求平面ADE的一個法向量為n(1，1)，又BM(1，1，)cosn，直線BM和平面ADE所成角為arccos.解法二：(1)如上圖，過M作MNAB，由DB面ABC，面ABD面ABC，得MN面ABC，MNBDCE，M是AD中點，N是AB中點，CACB，CNAB，由三