北師大版必修3 第1章 統(tǒng)計(jì) 8 最小二乘估計(jì) 學(xué)案.doc

學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解最小二乘法.2.理解線性回歸方程的求法.3.掌握線性回歸方程的意義知識(shí)點(diǎn)一最小二乘法1定義 如果有n個(gè)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，可以用下面的表達(dá)式 刻畫這些點(diǎn)與直線yabx的接近程度 y1(abx1) 2 y2(abx2) 2 yn(abxn) 2.使得上式達(dá)到最小值的直線yabx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法2應(yīng)用 利用最小二乘法估計(jì)時(shí)，要先作出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出線性關(guān)系，可以用最小二乘法估計(jì)出線性回歸方程；如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出其他的曲線關(guān)系，我們就要利用其他的工具進(jìn)行擬合知識(shí)點(diǎn)二回歸直線的求法1回歸直線如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線2回歸方程與最小二乘法我們用yii 刻畫實(shí)際觀察值yi(i1,2，n)與i的偏離程度，yii越小，偏離越小，直線就越貼近已知點(diǎn)我們希望yii的n個(gè)差構(gòu)成的總的差量越小越好，這才說明所找的直線是最貼近已知點(diǎn)的由于把yii這個(gè)差量作和會(huì)使差量中的正負(fù)值相互抵消，因此我們用這些差量的平方和即q(yiabxi)2作為總差量，回歸直線就是所有直線中q取最小值的那一條因?yàn)槠椒接纸卸朔剑赃@種使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法用最小二乘法求回歸方程中的，有下面的公式 其中i，i.這樣，回歸方程的斜率為，截距為，即回歸方程為x.思考任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出回歸方程嗎？答用最小二乘法求回歸方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系(可利用散點(diǎn)圖 判斷)，否則求出的回歸方程是無意義的題型一變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位 百萬元)與銷售額y(單位 百萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù) x24568y3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求回歸方程解(1)散點(diǎn)圖如圖所示(2)列出下表，并用 學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560x4162536645，50，145，iyi1380于是可得，6.5，506.5517.5.于是所求的回歸方程是6.5x17.5.反思與感悟1.求回歸方程的步驟(1)列表xi，yi，xiyi.(2)計(jì)算，iyi.(3)代入公式計(jì)算，的值(4)寫出回歸方程x.2求回歸方程的適用條件兩個(gè)變量具有線性相關(guān)性，若題目沒有說明相關(guān)性，則必須對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)性判斷跟蹤訓(xùn)練1某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù) x681012y2356已知記憶力x和判斷力y是線性相關(guān)的，求線性回歸方程解9，4，x6282102122344，xiyi6283105126158，b0.7，ab40.792.3.則所求的線性回歸方程為y0.7x2.3.題型二利用線性回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)例2有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表 攝氏溫度/504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；(3)求回歸方程；(4)如果某天的氣溫是2，預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù)解(1)散點(diǎn)圖如圖所示 (2)從上圖看到，各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少(3)從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出回歸方程的系數(shù)利用計(jì)算器容易求得回歸方程y2.352x147.772.(4)當(dāng)x2時(shí)，y143.068.因此，某天的氣溫為2時(shí)，這天大約可以賣出143杯熱飲反思與感悟用線性回歸方程進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的一般步驟是 (1)把數(shù)據(jù)列成表格；(2)作散點(diǎn)圖；(3)判斷是否線性相關(guān)；(4)若線性相關(guān)，求出系數(shù)b，a的值(一般也列成表格的形式，用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)計(jì)算)；(5)寫出回歸直線方程yabx.跟蹤訓(xùn)練22014年元旦前夕，某市統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了該市2013年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表 年收入x(萬元)24466677810年飲食支出y(萬元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3(1)如果已知y與x是線性相關(guān)的，求線性回歸方程；(2)若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測(cè)其年飲食支出(參考數(shù)據(jù) iyi117.7，406)解(1)依題意可計(jì)算得 6，1.83，236，10.98，又iyi117.7，406，b0.17，ab0.81，y0.17x0.81.所求的線性回歸方程為y0.17x0.81.(2)當(dāng)x9時(shí)，y0.1790.812.34.可估計(jì)大多數(shù)年收入為9萬元的家庭每年飲食支出約為2.34萬元1煉鋼時(shí)鋼水的含碳量與冶煉時(shí)間有()a確定性關(guān)系b相關(guān)關(guān)系c函數(shù)關(guān)系d無任何關(guān)系答案b解析煉鋼時(shí)鋼水的含碳量除了與冶煉時(shí)間有關(guān)外，還受冶煉溫度等的影響，故為相關(guān)關(guān)系2設(shè)有一個(gè)回歸方程為1.5x2，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)()ay平均增加1.5個(gè)單位by平均增加2個(gè)單位cy平均減少1.5個(gè)單位dy平均減少2個(gè)單位答案c解析兩個(gè)變量線性負(fù)相關(guān)，變量x增加一個(gè)單位，y平均減少1.5個(gè)單位3某商品的銷售量y(單位 件)與銷售價(jià)格x(單位 元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是()a.10x200b.10x200c.10x200d.10x200答案a解析結(jié)合圖象(圖略)，知選項(xiàng)b，d為正相關(guān)，選項(xiàng)c不符合實(shí)際意義，只有選項(xiàng)a正確4設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位 g)與身高x(單位 cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為0.85x85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()ay與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系b回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(，)c若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85 gd若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79 g答案d解析當(dāng)x170時(shí)，0.8517085.7158.79，體重的估計(jì)值為58.79 g.5正常情況下，年齡在18歲到38歲的人，體重y( g)對(duì)身高x(cm)的回歸方程為0.72x58.2，張明同學(xué)(20歲)身高178cm，他的體重應(yīng)該在_ g左右答案69.96解析用回歸方程對(duì)身高為178cm的人的體重進(jìn)行預(yù)測(cè)，當(dāng)x178時(shí)，0.7217858.269.96( g)1.判斷變量之間有無相關(guān)關(guān)系，簡(jiǎn)便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖根據(jù)散點(diǎn)圖，可看出兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，是否線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)2求回歸直線的方程時(shí)應(yīng)注意的問題(1)知道x與y呈線性相關(guān)關(guān)系，無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢