數學建模提高班專題5——時間序列建模.ppt

2015數學建模提高班差分方程與時間序列模型專題 夢想點燃激情 激情成就未來 柴中林2015 5 9 課件提綱 1差分方程的引例與概念2特殊差分方程的解3平衡點及其穩(wěn)定性4差分方程組5時間序列與其中的趨勢分析6自回歸模型7自回歸模型識別及參數確定8自回歸模型預測及相關說明9建模練習題 1差分方程的引例與概念 例1 某人貸款80萬元買了一套房子 期限20年 已知貸款月利率為5 請問他每月要還貸多少 在高數中 我們研究的函數中的變量的取值大都是連續(xù)的 在連續(xù)區(qū)間上取值 如 1 12 但在經濟管理和很多實際問題中 變量只能取1 2 3 這樣的值 這些變量稱為離散型變量 描述離散型變量間關系的模型稱為離散型模型 差分方程就是常見的一種離散型模型 微分方程 連續(xù)變量間存在函數關系 知道了這個關系 就能夠研究變量間的聯系與變化規(guī)律 然而 這個關系是未知的 但我們可以建立起含自變量 因變量及其導數或微分的等式 這就是微分方程 通過對方程的研究以求得這個函數關系 或通過方程直接揭示變量間的聯系就構成了微分方程的主要研究內容 差分方程與微分方程是類似的 只是這里的變量是離散的 差分方程 含自變量 未知函數 因變量 未知函數差分的等式 建立差分方程 求解它的目的就是研究離散變量間的關系 一般的 對有函數關系的兩個變量 常用x當自變量 y當因變量 但在差分方程中 因自變量只取整數值 如0 1 2 我們更喜歡用n 或t 表示自變量 這時因變量可用x或y表示 其函數關系是x x n 但我們更常用xn表示 當然 這個關系是不知道的 但我們常能得到的是如下的式子F n xn xn 1 xn k 0 1 或G n xn xn 1 xn k 0 2 或H n xn xn kxn 0 3 這種式子就是差分方程 有時 1 也寫成如下的形式xn f n xn 1 xn k 4 因此 差分方程也稱為遞推關系 考慮例1 用n表示月份 n 0表示貸款月份 xn表示第n月還貸后還欠的錢 r a分別表示銀行月利率和月還錢數 xn表示了賬戶中欠錢數與月份間的函數關系 未知 但我們容易得到一個式子xn rxn a xn 1即xn 1 1 r xn a 5 此外 還有初始條件x0 80 萬元 及x240 0 這就是貸款問題的差分方程模型 變化建模比較微元法 對離散關系xn 其函數值構成序 數 列 xn x1 x2 x3 記 xn xn 1 xn 序列后項減前項構成的序列 稱為xn的一階差分 2xn xn xn 1 xn xn 2 2xn 1 xn稱為xn的二階差分 依次類推 對式 5 xn 1 1 r xn a 也可將它寫為 xn 1 r xn 1 a或 xn rxn a 差分方程因此而得名 即同一個關系用不同視角不同符號式子會不同 但可以互化 它們是同一個東西 差分方程中的最高階差分的階或因變量的最大下標與最小下標之差稱為差分方程的階 差分方程的解是函數 通常有無窮多個 通解是全部解的集合 體現在獨立任意常數上 其個數與方程階數相同 另外 在實際問題中常會給出一些附加條件 如x0的值 稱為初始條件 滿足初始條件的具體的解就是特解 差分方程問題的研究內容 1差分方程的建立 離散變量關系的建立 也可將連續(xù)問題離散化 2差分方程的求解和分析 差分方程在實際問題中有廣泛的應用 差分方程的求解并不比微分方程容易 大部分差分方程是無法求解的 這里介紹最簡單同時用處很大的一類特殊差分方程的求解 常系數線性齊次差分方程 其一般形式為xn a1xn 1 akxn k 0 6 其中a1 ak是常數 方程 6 有解 其求解步驟為 步驟1 求解對應的特征方程 k a1 k 1 ak 0 7 步驟2 根據步驟1的解的情況寫出 6 的通解 2特殊差分方程的解 情況1 若 是 7 的一個單實根 則 n是 6 的一個特解 若 1 2 k是 7 的k個全部不同的單實根 則 6 的通解為xn C1 1n C2 2n Ck kn C1 C2 Ck是任意常數 情況2 若 是 7 的k重實根 則 n n n nk 1 n都是 6 的特解 情況3 若 i是 7 的單重復根 則 ncosn 與 nsinn 都是 6 的特解 其中 是 的模與幅角主值 情況4 若 i是 7 的k重復根 則 ncosn n ncosn nk 1 ncosn 與 nsinn n nsinn nk 1 nsinn 都是 6 的特解 其中 是 的模與幅角 最后 將各個特解如情況1那樣與任意常數相組合就得 6 的通解 常系數線性非齊次差分方程 其一般形式為xn a1xn 1 akxn k b n 0 8 8 的求解方法是先求相應齊次方程的通解 記為xn 再求 8 的一個特解 記為xn 0 方法 根據b n 的特點將xn 0 的形式設出 再用待定系數法確定其中的系數 于是 8 的通解為xn xn xn 0 此外 不同于微分方程 對差分方程 當初始條件給定后 可迭代求得任意xn的 精確 值 從而可以對xn的變化規(guī)律進行作圖分析 如對方程xn f n xn 1 xn k 若x1 x2 xk給定 就可以根據方程依次算出xk 1 xk 2 xk 3 來 下面求解例1 xn 1 1 r xn a 它是一階常系數非齊次線性差分方程 先解相應的齊次方程xn 1 1 r xn 特征方程為 1 r 其通解為xn C 1 r n C為任意常數 再求其一個特解 從方程看設xn為常數 記為x 代入得xn 0 a r 于是得方程通解 xn C 1 r n a r 代入初始條件得方程組 解之得 大約是5731元 3平衡點及其穩(wěn)定性 差分方程雖可用迭代法進行數值計算 但計算總歸只能進行有限步 其深層次的性質必須用其它工具進行分析 平衡點就是其中一個 平衡點相當于穩(wěn)定點或不動點 對方程xn f n xn 1 xn k 來說就是若xn 1 xn k都取某一常數 比如a 那么xn也一定是a 從而xn 1 xn 2 xn 3 也都將取a 平衡點就是所有xn都取相同的值 且能使方程成立的點 于是將xn f n xn 1 xn k 中所有xn都換成x 得方程x f n x x 將其求解 每一個解就是一個平衡點 設a是方程的一個平衡點 xn是方程的任一解 若總有則稱a是差分方程的一個穩(wěn)定的平衡點 為什么 穩(wěn)定的平衡點在實際問題中有重要的價值 現考慮差分方程xn a1xn 1 akxn k 0 并且其解是如下形式xn C1 1n C2 2n Ck kn 顯然0是方程的一個平衡點 不難發(fā)現對任意s若有 s 1 則必有這說明0是穩(wěn)定的平衡點 這也是一般差分方程平衡點穩(wěn)定性的判別方法 若齊次方程的特征方程的根的絕對值都小于1 平衡點穩(wěn)定 而若某個 的絕對值大于1 平衡點不穩(wěn) 當 等于1時 有多種情況且實際意義不大 不做討論 若特征根是復根 就用其模來判斷 例2考慮數學模型書中供需關系的蛛網模型 xk 第k時段商品數量 yk 第k時段商品價格 需求函數yk f xk 供需平衡點為P0 x0 y0 當商品生產者的生產只盯著前一期價格 供應函數為xk 1 g yk 時 在平衡點附近各時段商品數量的差分方程模型為xK 1 xk 1 x0 其齊次方程的特征方程的特征根為 所以 1就穩(wěn)定 否則就不穩(wěn) 而當商品生產者的生產同時盯著前面兩期的價格 供應函數為xk 1 g yk yk 1 2 時 在平衡點附近各時段商品數量的差分方程模型為2xK 2 xk 1 xk 2 1 x0 其齊次方程的特征方程為2 2 0 特征根為 當 8時 根為實根 必有一根絕對值大于1 當0 8時根為復根 用復數的模來判斷 可以得到當0 2時穩(wěn)定 否則不穩(wěn) 差分方程組 自變量一個 因變量多個 僅討論線性 線性差分方程組的一般形式為其中aij和bi i j 1 2 n 都是常數 4差分方程組 令記x t x1 t x2 t xn t T b b1 b2 bn T 則上述方程可記為x t 1 Ax t b 該式類似于前面的一階常系數線性差分方程 可編程數值計算分析 也可利用線性代數理論 主要是特征值和特征向量 進行分析討論 若x 向量 是該方程的一個平衡點 即x Ax b 則它穩(wěn)定的條件是A的所有特征值的絕對值都小于1 若某一個的絕對值大于1 就不穩(wěn) 5時間序列與其中的趨勢分析 時間序列 按時間 有時是長度或溫度 順序排列的隨機變量序列 但在應用中又指將某個統(tǒng)計指標在不同時間上的各個數值 按時間先后順序排列而形成的序列 一般等間隔 時間序列分析 根據觀測得到的時間序列數據 其機理未知 通過曲線擬合和參數估計來建立數學模型和理論 希望從中尋找出變量的變化規(guī)律 對未來的某些階段進行預測 時間序列有廣泛的應用 設 yt 是時間序列 雖然它暗含了時間變量t 但它僅指采樣的時間點 因此 一般的不能認為y是純t的函數 從而按回歸等其他理論去做 因為許多變量都隨著時間的變化而變化 所以時間序列中也常常包含因時間變量而產生的趨勢變化 另外 在時間序列中 相近的各項間往往有很強的依賴關系 當前的數值對下面的數值有很強的影響 如股市 期貨 此外 每個數據還受到無法刻畫捕捉的隨機因素的影響 通常yt可表為yt f t xt 其中f t 表示隨時間變化的確定性趨勢 xt則主要由隨機因素或其積累而形成 是一個平穩(wěn)序列 在yt f t xt中 趨勢成分f t 起著主導的作用 當它存在時 xt可以認為是隨機誤差 并予以忽略 故可以用回歸方法確定f t 中的參數 得到f t 影響f t 的因素有長期趨勢 季節(jié)變動 季節(jié)性規(guī)律作用產生的周期變化 循環(huán)變動 周期長短不固定的一種變化 以及不規(guī)則的變動等 通常 趨勢成分主要討論長期趨勢和季節(jié)變動趨勢 這里也是 當f t 是由長期趨勢決定的 其表達式可能是線性趨勢f t a bt 二次曲線趨勢f t b0 b1t b2t2或更高階多項式趨勢冪函數曲線趨勢f t atb對數曲線趨勢f t a blnt雙曲線趨勢f t a b t 或1 f t a b t指數曲線趨勢f t aebt修正指數曲線趨勢f t L aebt 或f t L abt a 0 0 b 1 龔泊茲曲線趨勢 0 a 0 0 b 1 皮爾曲線趨勢f t L 1 ae bt 季節(jié)規(guī)律應是f t s f t 其中s是季節(jié)長度還有季節(jié)規(guī)律與上述趨勢的結合模型 f t 應該是什么樣的結構 可作圖 根據圖形的特點進行選擇 也可結合事物本身的特點去考慮 有時 最初可選擇多個看起來合理的模型 根據模型特點將其轉化為線性模型 利用回歸等擬合確定其中的參數 再根據得到的模型根據已有的的數據對模型進行評價 從總體誤差和未來趨勢的角度 最終確定一個最合適的模型 例3下表是1952 1983年我國的社會商品零售總額 對表中數據 做圖如下 由圖可知 零售額有明顯的非線性增加趨勢 故趨勢曲線可用二次函數 三次函數或指數函數擬合 不能用插值 因為零售額受隨機因素的影響 讓曲線一定過給定點不適合 例4下表是1961 1981年我國搪瓷臉盆銷售數據 對表中數據 做圖如下 由圖和實際問題可知 銷量在中間有顯著的增長 之后增長變的緩慢并停頓下來 故趨勢曲線可用龔伯茲曲線或皮爾曲線函數 有上限 S型曲線 確定模型中參數對例3 要確定模型中的參數 若用多項式函數 可直接回歸擬合 時間變量應從1開始 以免時間值過大 對模型產生不利影響 用指數函數時先取對數將其轉化為線性函數再擬合 對搪瓷盆問題 若用皮爾曲線 可先估計出L 再轉化為一個線性函數去估計參數 若L不易估計 可用三和值法 查找文獻 去估計參數 當選擇了多個模型 如何確定誰最適合 一看各個模型的擬合情況 即相關指標 如參數的顯著性 擬合優(yōu)度等 二是將擬合曲線與數據相比較 看它們的吻合程度 可作圖直觀觀察 也可用平均相對誤差 即式 要小于10才可接受 因為建模的目的主要是預測 近期數據的吻合情況更要關注 此外 也可預留部分數據擬合時不用 再用擬合所得模型比較這些數據與模型的預測值 此外 還要考慮序列的發(fā)展趨勢以及模型的未來趨勢 吻合者為好 有時 前期數據太多太久反而對擬合參數產生不利影響 也可考慮舍棄早期一些數據進行擬合 綜合這些去選擇模型 對例3 利用回歸得到模型中的參數 從而將實際數據 曲折的線 與三個模型曲線畫在同一個圖中 上圖 由圖可以看出 三次曲線 虛線 與實際數據最接近 因而它最好 若計算MAPE 平均相對誤差 比較后會得同一結論 但是 如果用極限等分析未來函數變化趨勢 則三次曲線未必最佳 例5下表是我國1995 2000年各季度的商品零售總額 季節(jié)模型 Q 季度 對表中數據 做圖如下 由圖可知 銷量既有線性增長趨勢 又有明顯的季節(jié)特征 故可以用模型yt a bt di i 1 2 3 4 其中di是季節(jié)增量 可由式di Di Di T Di m 1 T m得到 其中T是周期 m是年份數 Dt yt a bt 利用回歸方法可得a bt 4901 46 164 88t 此時Dt yt a bt 的圖像如下 由圖知 Dt中已基本沒有了增長趨勢 再計算Dt的對應各季度的平均值 得 d1 d2 d3 d4 11 67 421 40 379 73 818 30 從而得趨勢部分模型f t a bt di 對時間序列yt 當把趨勢部分提煉出來 則其余下部分是yt f t xt 若它僅僅是由獨立的隨機干擾引起的誤差 即xt N o 2 稱為白噪聲 則yt f t 就是我們要尋找的模型 可以用它進行預測 若xt 即模型誤差不是白噪聲 通常前后項間相關 則表明在其中仍有聯系可循 需要把它們提煉出來 以便得到更好的模型 這就是下面的自回歸模型 自回歸 AR p 模型 時刻t的數值xt可表為前p個時刻的數值xt 1 xt 2 xt p的線性組合 再加上t時刻的白噪聲 t 即xt a 1xt 1 2xt 2 pxt p t 9 其中a 通過序列減去其均值可化為0 因此可以沒有 1 2 p是常數 模型說明xt的值與前面p期歷史數據有關 注意與線性回歸的差別 線性回歸是不同變量間的關系 自回歸是同一變量不同時期間的關系 另外 它還受隨機擾動 t N 0 2 白噪聲 各 t相互獨立 并與前面的xt不相關 的影響 移動平均 MA q 模型 形式為xt t 1 t 1 2 t 2 q t q 10 6自回歸模型 其中 1 2 q是常數 t t 1 t 2 t q是本期和前面若干期的隨機擾動 模型含義 用一些時期的干擾的線性組合來表達當前值 自回歸移動平均 ARMA p q 模型 xt 1xt 1 2xt 2 pxt p t 1 t 1 2 t 2 q t q 11 其中p和q分別是自回歸和移動平均的階數 模型含義 用前一些時期的數值及其干擾的線性組合來表達當前值 AR p 和MA q 是其特殊情形 7自回歸模型識別及參數確定 用自回歸建模要求序列 Xt 是 寬 平穩(wěn)時間序列 即需滿足 1 E Xt 與t無關 2 Var Xt 2 3 Cov Xt Xt k rk 與k有關 與t無關 由1 2 知 一個平穩(wěn)時間序列 在圖形上應表現出圍繞均值的不斷波動過程 因為隨機 而非平穩(wěn)時間序列則不然 往往表現出在不同時段有不同的均值 如持續(xù)上升或下降或有周期性 即有趨勢或周期波動 7 1自相關和偏相關函數 自協(xié)方差函數rk E xt xt k 其中 是xt的均值 自相關函數 k rk r0 它反映的是xt與xt k的相關性 由概率知識知 k 1 該值的絕對值越大 說明兩者的相關性越強 等于或接近于0說明沒有相關性 實際計算中rk和 k的計算采用如下的表達式 n為樣本容量 偏相關函數 是指在給定了Xt 1 Xt 2 Xt k 1的情況下Xt與Xt k的相關性 它反映的是在其他滯后期1 2 k 1的X已知的情況下Xt與Xt k的條件相關性 一般用符號 kk表示 并也有 kk 1 該值的絕對值越大 相關性越強 計算公式為 該式是由右端的矩陣方程得到 其中 k j k 1 j kk k 1 k j k 1 2 m j 1 2 k 1 此式是一個遞推式子 雖然復雜 但在應用中k一般小于等于3 此外 有專門的命令語句可用 大家不必為計算而煩惱 7 2序列平穩(wěn)性的檢驗 方法1圖像觀察平穩(wěn)時間序列在圖形上表現為圍繞均值的不斷波動過程 而非平穩(wěn)時間序列則不然 方法2看自相關函數 k 或偏相關函數 kk 的圖像平穩(wěn)序列的 k是迅速衰減到0的 拖尾或截尾 非平穩(wěn)序列的 k則是不衰減 緩慢衰減或 T T是季節(jié)周期 非常大 方法3根據得到的自回歸模型中的式子xt 1xt 1 2xt 2 pxt p 視其為差分方程 若對應特征方程的根的絕對值都小于1 平穩(wěn) 否則 不平穩(wěn) 其他方法 略 注 k或 kk的拖尾和截尾 截尾 k在k q時全為0的性質稱為q步截尾性 若它不能在某步之后截尾 而是隨著k的增大而迅速衰減到0 受一負指數函數 如y e kx 控制 或如正弦函數似的震蕩 稱為拖尾性 此外 由于隨機性 k全為0是不可能的 因此 截尾是指 k突然變的很小 并很接近于0 注 AR p 模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個特征根都在單位圓內 MA q 模型總是平穩(wěn)的 ARMA p q 的平穩(wěn)性與其AR p 部分相同 當序列 Xt 非平穩(wěn)時 說明趨勢f t 存在 除了季節(jié)趨勢和明顯的指數增長或阻滯增長趨勢外 在短期內一般可用多項式函數近似 當為多項式函數時 如yt a bt t 通過不斷的差分就可得到一個平穩(wěn)序列 因此 對序列進行差分 季節(jié)規(guī)律用季節(jié)差分 是將非平穩(wěn)序列變?yōu)橐粋€平穩(wěn)序列的常用手段 一般不超過兩次 續(xù)例5 yt的圖像明顯上升 Dt具有明顯周期性 都非平穩(wěn) 它們的自相關系數圖像如下 由圖像可知 非平穩(wěn) 圖中有兩條對稱的藍線 是隨機變量的2 線 落在線內說明可以接受相關系數為0 95 的置信度 線外則不可 7 3白噪聲檢驗 對于時間序列 yt 需要把其中的規(guī)律或項間關聯全部提煉出來 使得殘差 t 余下的部分 僅為一個白噪聲 因此 檢驗殘差序列是否為白噪聲是判斷模型是否合理以及建模是否需要終止的一個條件 設模型的殘差序列為 t 記 計算 其中n為數據個數 m為最大時滯 m視數據多少取 n 4 n 10 或 n0 5 Qm近似服從 2 m 分布 對給定顯著性水平 若Qm大于 2 m 則拒絕假設 否則接受 認為是白噪聲 此外 t 是否為白噪聲也可通過其相關函數來判斷 若其 k和 kk都很小 可認為是 否則 不是 另 數模書中346頁的投資問題給出了一個殘差序列自相關性診斷方法 可畫出 t t 1 r 1 n 1 r 2 n 的圖像觀察 也可用DW檢驗 僅檢驗一階相關性 但一般夠了 續(xù)例3 f t 用三次多項式擬合 22 372 f t 142 2 102 7t 7 67t2 0 22t3 殘差序列為xt yt f t 其圖像如右上 可以看出 序列基本平穩(wěn) 但從 t t 1圖像 右下 看 殘差相鄰項間有很強的相關性 用DW檢驗 算得的DW 0 9757 應通不過檢驗 此時Q8 22 372 也不滿足白噪聲檢驗 這說明殘差序列間尚有信息留待提取 7 4自回歸模型識別和參數確定 自回歸有AR MA和ARMA三種模型 可從 k與 k的特性來判別 AR p 模型 k拖尾 kk滯后p階后截尾 MA q 模型 k 滯后q階后截尾 kk 拖尾 ARMA p q 模型 k 拖尾 kk 拖尾 續(xù)例5 將Dt進行季節(jié)差分 zt Dt 4 Dt 畫圖如下 由圖像看 雖然zt沒有明顯的上升或下降趨勢 以及季節(jié)特征 但并不很好的表現出圍繞均值的波動 將zt再差分 仍記為zt 其圖像如下 可以看出 序列平穩(wěn) 檢驗自己做 了 下圖是最后得到的zt的自相關函數和偏相關函數圖像 由圖知 自相關函數可以認為是拖尾的 偏相關函數則是截尾的 在2或4處 zt接近于白噪聲 大家去檢驗 故應選AR模型 下圖是例3的殘差xt的自相關函數和偏相關函數圖像 由圖知 自相關函數可以認為是拖尾的 偏相關函數則是截尾的 在2處 故應選AR模型 顯然不能認為是白噪聲 k與 kk的截尾處的 嚴格 判斷 k 若在某個q0 含 之前 k顯著不為0 當q q0 q0 1 q0 2 q0 M中滿足式的個數少于M的68 3 或上面不等式右端乘2 但比例變?yōu)?5 5 則可近似認為 k在q0處截尾 其中N為數據個數 M同上 對 kk 判斷方法類似 只是不等式是 kk 1 N0 5 或 kk 2 N0 5 截尾值q0可用來判別序列自回歸或移動的階數 若 k 要特別關注 與 kk既不拖尾也不截尾 說明序列非平穩(wěn) 或有季節(jié)特征 需進行相關處理 雖然ARMA p q 模型具有一般性 但它也最復雜 另外 用ARMA p q 模型時 各 t k通常是未知的 不可觀測量 因此 當用該模型時 必須求出前面的各 t 這不容易 對AR p 模型 其偏相關函數截尾的值 基本 就是回歸的階數 此外 也可用不同階模式進行回歸 殘差平方和最小的值就是回歸的階數 看后面 對MA q 方法是類似的 對ARMA p q 模型 不能直接從相關函數得到大致的階數 但殘差平方和規(guī)則仍適用 方法是從低階開始 向高階擬合 在擬合的模型中選殘差小者 或者遇到第一個殘差可認為是白噪聲的模式即停止 注意 當用高階自回歸移動平均模型去擬合序列時 擬合的效果總會提高的 不可能降低 即殘差平方和會下降 但到了一定階數后 階數的再提高產生的效果會是微小的 非實質性的 這時的擬合屬于過擬合 擬合過度 在建模中對模型還有一個 簡約性 要求 即在精度相近的模型中我們要選擇簡單模型 為此 又有一個一般的定階準則 AIC準則 記 a2 模型的剩余平方和 實際觀察數據個數 模型中參數個數 則AIC p q log a2 2 p q n p q的確定應使AIC p q 達到最小 該式子應該也適合AR和MA模型 但這個方法必須對多種模型求參數 擬合 算殘差 計算量大 故僅對ARMA用它 且盡量避免用它 7 3模型的定階 確定了模型的階數 就要確定其中的各個系數 一個常用的準則是殘差平方最小準則 模型中各個系數的確定應使得用模型計算各個時刻的x值時 殘差 實際值與計算值的差 的平方和達到最小 對AR p 模型 根據回歸原理 可將xt 1 xt 2 xt p作為自變量 xt作為函數 用命令regress去做 還可用如下式子計算回歸系數 對MA q 模型 一階的仍可用回歸 高階的就不行了 只好根據定義來 比如對MA 2 有xt t 1 t 1 2 t 2 即 t xt 1 t 1 2 t 2 設給定序列 x1 x2 x15 我們令x1 1 則 2 x2 1 1 x2 1x1 3 x3 1 2 2 1 x3 1 x2 1x1 2x1 如此可得到各個 t 1 2的確定應使得下式最小 7 4回歸系數的計算 此外 對MA q 模型 高階的可用下式確定其系數這是非線性方程 求解也不容易 此外 專門軟件如SAS中也許有命令計算 也許新版的matlab也有 大家查查看 對ARMA p q 模型 可用類似于MA q 的方法確定系數 當然 更復雜 也可用如下近似方法 先用回歸方法求出自回歸的系數 再用xt 1xt 1 2xt 2 pxt p t 1 t 1 2 t 2 q t q這個移動平均模型來做 當p q很大時模型會很復雜 計算也困難 但實際中這種模型是不多的 一般小于等于3 甚或2 除非能顯著的減少誤差 我們都盡量用簡單模型來做 8模型預測及相關說明 得到一個模型 當然要用模型 而其中一個重要的應用就是預測 對AR模型xt 1xt 1