2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(新課標ⅲ).docVIP

2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（5分）已知集合A=（x，y）|x2+y2=1，B=（x，y）|y=x，則AB中元素的個數(shù)為（）A3B2C1D02（5分）設(shè)復數(shù)z滿足（1+i）z=2i，則|z|=（）ABCD23（5分）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)4（5分）（x+y）（2xy）5的展開式中的x3y3系數(shù)為 （）A80B40C40D805（5分）已知雙曲線C：=1 （a0，b0）的一條漸近線方程為y=x，且與橢圓+=1有公共焦點，則C的方程為（）A=1B=1C=1D=16（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（x+），則下列結(jié)論錯誤的是（）Af（x）的一個周期為2By=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱Cf（x+）的一個零點為x=Df（x）在（，）單調(diào)遞減7（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為（）A5B4C3D28（5分）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）ABCD9（5分）等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項的和為（）A24B3C3D810（5分）已知橢圓C：=1（ab0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay+2ab=0相切，則C的離心率為（）ABCD11（5分）已知函數(shù)f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零點，則a=（）ABCD112（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上若=+，則+的最大值為（）A3B2CD2二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）若x，y滿足約束條件，則z=3x4y的最小值為 14（5分）設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=1，a1a3=3，則a4= 15（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，則滿足f（x）+f（x）1的x的取值范圍是 16（5分）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當直線AB與a成60角時，AB與b成30角；當直線AB與a成60角時，AB與b成60角；直線AB與a所成角的最小值為45；直線AB與a所成角的最小值為60；其中正確的是 （填寫所有正確結(jié)論的編號）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17（12分）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且ADAC，求ABD的面積18（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？19（12分）如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）證明：平面ACD平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值20（12分）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C與A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點P（4，2），求直線l與圓M的方程21（12分）已知函數(shù)f（x）=x1alnx（1）若 f（x）0，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，（1+）（1+）（1+）m，求m的最小值（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22（10分）在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為，（m為參數(shù)）設(shè)l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)l3：（cos+sin）=0，M為l3與C的交點，求M的極徑選修4-5：不等式選講23已知函數(shù)f（x）=|x+1|x2|（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式f（x）x2x+m的解集非空，求m的取值范圍2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（5分）（2017新課標）已知集合A=（x，y）|x2+y2=1，B=（x，y）|y=x，則AB中元素的個數(shù)為（）A3B2C1D0【考點】1E：交集及其運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】解不等式組求出元素的個數(shù)即可【解答】解：由，解得：或，AB的元素的個數(shù)是2個，故選：B2（5分）（2017新課標）設(shè)復數(shù)z滿足（1+i）z=2i，則|z|=（）ABCD2【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出【解答】解：（1+i）z=2i，（1i）（1+i）z=2i（1i），z=i+1則|z|=故選：C3（5分）（2017新課標）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【考點】2K：命題的真假判斷與應用；B9：頻率分布折線圖、密度曲線菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)已知中2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，逐一分析給定四個結(jié)論的正誤，可得答案【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)可得：月接待游客量逐月有增有減，故A錯誤；年接待游客量逐年增加，故B正確；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正確；各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確；故選：A4（5分）（2017新課標）（x+y）（2xy）5的展開式中的x3y3系數(shù)為 （）A80B40C40D80【考點】DB：二項式系數(shù)的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（2xy）5的展開式的通項公式：Tr+1=（2x）5r（y）r=25r（1）rx5ryr令5r=2，r=3，解得r=3令5r=3，r=2，解得r=2即可得出【解答】解：（2xy）5的展開式的通項公式：Tr+1=（2x）5r（y）r=25r（1）rx5ryr令5r=2，r=3，解得r=3令5r=3，r=2，解得r=2（x+y）（2xy）5的展開式中的x3y3系數(shù)=+23=40故選：C5（5分）（2017新課標）已知雙曲線C：=1 （a0，b0）的一條漸近線方程為y=x，且與橢圓+=1有公共焦點，則C的方程為（）A=1B=1C=1D=1【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】求出橢圓的焦點坐標，得到雙曲線的焦點坐標，利用雙曲線的漸近線方程，求出雙曲線實半軸與虛半軸的長，即可得到雙曲線方程【解答】解：橢圓+=1的焦點坐標（3，0），則雙曲線的焦點坐標為（3，0），可得c=3，雙曲線C：=1 （a0，b0）的一條漸近線方程為y=x，可得，即，可得=，解得a=2，b=，所求的雙曲線方程為：=1故選：B6（5分）（2017新課標）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（x+），則下列結(jié)論錯誤的是（）Af（x）的一個周期為2By=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱Cf（x+）的一個零點為x=Df（x）在（，）單調(diào)遞減【考點】H7：余弦函數(shù)的圖象菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進行判斷即可【解答】解：A函數(shù)的周期為2k，當k=1時，周期T=2，故A正確，B當x=時，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3=1為最小值，此時y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，故B錯誤，C當x=時，f（+）=cos（+）=cos=0，則f（x+）的一個零點為x=，故C正確，D當x時，x+，此時函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，故D錯誤，故選：D7（5分）（2017新課標）執(zhí)行如圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為（）A5B4C3D2【考點】EF：程序框圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】通過模擬程序，可得到S的取值情況，進而可得結(jié)論【解答】解：由題可知初始值t=1，M=100，S=0，要使輸出S的值小于91，應滿足“tN”，則進入循環(huán)體，從而S=100，M=10，t=2，要使輸出S的值小于91，應接著滿足“tN”，則進入循環(huán)體，從而S=90，M=1，t=3，要使輸出S的值小于91，應接著滿足“tN”，則進入循環(huán)體，從而S=91，M=0.1，t=4，要使輸出S的值小于91，應不滿足“tN”，跳出循環(huán)體，此時N的最小值為3，故選：C8（5分）（2017新課標）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）ABCD【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LR：球內(nèi)接多面體菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】推導出該圓柱底面圓周半徑r=，由此能求出該圓柱的體積【解答】解：圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，該圓柱底面圓周半徑r=，該圓柱的體積：V=Sh=故選：B9（5分）（2017新課標）等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項的和為（）A24B3C3D8【考點】85：等差數(shù)列的前n項和菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】利用等差數(shù)列通項公式、等比數(shù)列性質(zhì)列出方程，求出公差，由此能求出an前6項的和【解答】解：等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0a2，a3，a6成等比數(shù)列，（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d0，解得d=2，an前6項的和為=24故選：A10（5分）（2017新課標）已知橢圓C：=1（ab0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay+2ab=0相切，則C的離心率為（）ABCD【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay+2ab=0相切，可得原點到直線的距離=a，化簡即可得出【解答】解：以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay+2ab=0相切，原點到直線的距離=a，化為：a2=3b2橢圓C的離心率e=故選：A11（5分）（2017新課標）已知函數(shù)f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）有唯一零點，則a=（）ABCD1【考點】52：函數(shù)零點的判定定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】通過轉(zhuǎn)化可知問題等價于函數(shù)y=1（x1）2的圖象與y=a（ex1+）的圖象只有一個交點求a的值分a=0、a0、a0三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得結(jié)論【解答】解：因為f（x）=x22x+a（ex1+ex+1）=1+（x1）2+a（ex1+）=0，所以函數(shù)f（x）有唯一零點等價于方程1（x1）2=a（ex1+）有唯一解，等價于函數(shù)y=1（x1）2的圖象與y=a（ex1+）的圖象只有一個交點當a=0時，f（x）=x22x1，此時有兩個零點，矛盾；當a0時，由于y=1（x1）2在（，1）上遞增、在（1，+）上遞減，且y=a（ex1+）在（，1）上遞增、在（1，+）上遞減，所以函數(shù)y=1（x1）2的圖象的最高點為A（1，1），y=a（ex1+）的圖象的最高點為B（1，2a），由于2a01，此時函數(shù)y=1（x1）2的圖象與y=a（ex1+）的圖象有兩個交點，矛盾；當a0時，由于y=1（x1）2在（，1）上遞增、在（1，+）上遞減，且y=a（ex1+）在（，1）上遞減、在（1，+）上遞增，所以函數(shù)y=1（x1）2的圖象的最高點為A（1，1），y=a（ex1+）的圖象的最低點為B（1，2a），由題可知點A與點B重合時滿足條件，即2a=1，即a=，符合條件；綜上所述，a=，故選：C12（5分）（2017新課標）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上若=+，則+的最大值為（）A3B2CD2【考點】9V：向量在幾何中的應用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，先求出圓的標準方程，再設(shè)點P的坐標為（cos+1，sin+2），根據(jù)=+，求出，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值【解答】解：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，設(shè)圓的半徑為r，BC=2，CD=1，BD=BCCD=BDr，r=，圓的方程為（x1）2+（y2）2=，設(shè)點P的坐標為（cos+1，sin+2），=+，（cos+1，sin2）=（1，0）+（0，2）=（，2），cos+1=，sin+2=2，+=cos+sin+2=sin（+）+2，其中tan=2，1sin（+）1，1+3，故+的最大值為3，故選：A二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）（2017新課標）若x，y滿足約束條件，則z=3x4y的最小值為1【考點】7C：簡單線性規(guī)劃菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求目標函數(shù)z=3x4y的最小值【解答】解：由z=3x4y，得y=x，作出不等式對應的可行域（陰影部分），平移直線y=x，由平移可知當直線y=x，經(jīng)過點B（1，1）時，直線y=x的截距最大，此時z取得最小值，將B的坐標代入z=3x4y=34=1，即目標函數(shù)z=3x4y的最小值為1故答案為：114（5分）（2017新課標）設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=1，a1a3=3，則a4=8【考點】88：等比數(shù)列的通項公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a1+a2=1，a1a3=3，可得：a1（1+q）=1，a1（1q2）=3，解出即可得出【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a1+a2=1，a1a3=3，a1（1+q）=1，a1（1q2）=3，解得a1=1，q=2則a4=（2）3=8故答案為：815（5分）（2017新課標）設(shè)函數(shù)f（x）=，則滿足f（x）+f（x）1的x的取值范圍是x【考點】3T：函數(shù)的值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式，分別討論x的取值范圍，進行求解即可【解答】解：若x0，則x，則f（x）+f（x）1等價為x+1+x+11，即2x，則x，此時x0，當x0時，f（x）=2x1，x，當x0即x時，滿足f（x）+f（x）1恒成立，當0x，即x0時，f（x）=x+1=x+，此時f（x）+f（x）1恒成立，綜上x，故答案為：x16（5分）（2017新課標）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當直線AB與a成60角時，AB與b成30角；當直線AB與a成60角時，AB與b成60角；直線AB與a所成角的最小值為45；直線AB與a所成角的最小值為60；其中正確的是（填寫所有正確結(jié)論的編號）【考點】MI：直線與平面所成的角菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長為1的正方體，|AC|=1，|AB|=，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結(jié)果【解答】解：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故|AC|=1，|AB|=，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量=（0，1，0），|=1，直線b的方向單位向量=（1，0，0），|=1，設(shè)B點在運動過程中的坐標中的坐標B（cos，sin，0），其中為BC與CD的夾角，0，2），AB在運動過程中的向量，=（cos，sin，1），|=，設(shè)與所成夾角為0，則cos=|sin|0，正確，錯誤設(shè)與所成夾角為0，cos=|cos|，當與夾角為60時，即=，|sin|=，cos2+sin2=1，cos=|cos|=，0，=，此時與的夾角為60，正確，錯誤故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17（12分）（2017新課標）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且ADAC，求ABD的面積【考點】HT：三角形中的幾何計算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出A，再根據(jù)余弦定理即可求出，（2）先根據(jù)夾角求出cosC，求出AD的長，再求出ABC和ADC的面積，即可求出ABD的面積【解答】解：（1）sinA+cosA=0，tanA=，0A，A=，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，即28=4+c222c（），即c2+2c24=0，解得c=6（舍去）或c=4，（2）c2=b2+a22abcosC，16=28+4222cosC，cosC=，sinC=，tanC=在RtACD中，tanC=，AD=，SACD=ACAD=2=，SABC=ABACsinBAD=42=2，SABD=SABCSADC=2=18（12分）（2017新課標）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；CG：離散型隨機變量及其分布列菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列（2）當n200時，Y=n（64）=2n400，EY400；當200n300時，EY1.2300+160=520；當300n500時，n=300時，（EY）max=6400.4300=520；當n500時，EY14402500=440從而得到當n=300時，EY最大值為520元【解答】解：（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，P（X=200）=0.2，P（X=300）=，P（X=500）=0.4，X的分布列為： X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4（2）當n200時，Y=n（64）=2n400，EY400，當200n300時，若x=200，則Y=200（64）+（n200）24）=8002n，若x300，則Y=n（64）=2n，EY=p（x=200）（8002n）+p（x300）2n=0.2（8002n）+0.8=1.2n+160，EY1.2300+160=520，當300n500時，若x=200，則Y=8002n，若x=300，則Y=300（64）+（n300）（24）=12002n，當n=300時，（EY）max=6400.4300=520，若x=500，則Y=2n，EY=0.2（8002n）+0.4（12002n）+0.42n=6400.4n，當n500時，Y=，EY=0.2（8002n）+0.4（12002n）+0.4（20002n）=14402n，EY14402500=440綜上，當n=300時，EY最大值為520元19（12分）（2017新課標）如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）證明：平面ACD平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值【考點】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）如圖所示，取AC的中點O，連接BO，ODABC是等邊三角形，可得OBAC由已知可得：ABDCBD，AD=CDACD是直角三角形，可得AC是斜邊，ADC=90可得DO=AC利用DO2+BO2=AB2=BD2可得OBOD利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明（2）設(shè)點D，B到平面ACE的距離分別為hD，hE則=根據(jù)平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，可得=1，即點E是BD的中點建立如圖所示的空間直角坐標系不妨取AB=2利用法向量的夾角公式即可得出【解答】（1）證明：如圖所示，取AC的中點O，連接BO，ODABC是等邊三角形，OBACABD與CBD中，AB=BD=BC，ABD=CBD，ABDCBD，AD=CDACD是直角三角形，AC是斜邊，ADC=90DO=ACDO2+BO2=AB2=BD2BOD=90OBOD又DOAC=O，OB平面ACD又OB平面ABC，平面ACD平面ABC（2）解：設(shè)點D，B到平面ACE的距離分別為hD，hE則=平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，=1點E是BD的中點建立如圖所示的空間直角坐標系不妨取AB=2則O（0，0，0），A（1，0，0），C（1，0，0），D（0，0，1），B（0，0），E=（1，0，1），=，=（2，0，0）設(shè)平面ADE的法向量為=（x，y，z），則，即，取=同理可得：平面ACE的法向量為=（0，1，）cos=二面角DAEC的余弦值為20（12分）（2017新課標）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C與A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點P（4，2），求直線l與圓M的方程【考點】KN：直線與拋物線的位置關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）方法一：分類討論，當直線斜率不存在時，求得A和B的坐標，由=0，則坐標原點O在圓M上；當直線l斜率存在，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數(shù)量積的可得=0，則坐標原點O在圓M上；方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得=0，則坐標原點O在圓M上；（2）由題意可知：=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得k的值，求得M點坐標，則半徑r=丨MP丨，即可求得圓的方程【解答】解：方法一：證明：（1）當直線l的斜率不存在時，則A（2，2），B（2，2），則=（2，2），=（2，2），則=0，則坐標原點O在圓M上；當直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程y=k（x2），A（x1，y1），B（x2，y2），整理得：k2x2（4k2+1）x+4k2=0，則x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y20，則y1y2=4，由=x1x2+y1y2=0，則，則坐標原點O在圓M上，綜上可知：坐標原點O在圓M上；方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2，整理得：y23my4=0，A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2=4，則（y1y2）2=4x1x2，則x1x2=4，則=x1x2+y1y2=0，則，則坐標原點O在圓M上，坐標原點O在圓M上；（2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=，y1+y2=，y1y2=4，圓M過點P（4，2），則=（4x1，2y1），=（4x2，2y2），由=0，則（4x1）（4x2）+（2y1）（2y2）=0，整理得：k2+k2=0，解得：k=2，k=1，當k=2時，直線l的方程為y=2x+4，則x1+x2=，y1+y2=1，則M（，），半徑為r=丨MP丨=，圓M的方程（x）2+（y+）2=當直線斜率k=1時，直線l的方程為y=x2，同理求得M（3，1），則半徑為r=丨MP丨=，圓M的方程為（x3）2+（y1）2=10，綜上可知：直線l的方程為y=2x+4，圓M的方程（x）2+（y+）2=或直線l的方程為y=x2，圓M的方程為（x3）2+（y1）2=1021（12分）（2017新課標）已知函數(shù)f（x）=x1alnx（1）若 f（x）0，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，（1+）（1+）（1+）m，求m的最小值【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）通過對函數(shù)f（x）=x1alnx（x0）求導，分a0、a0兩種情況考慮導函數(shù)f（x）與0的大小關(guān)系可得結(jié)論；（2）通過（1）可知lnxx1，進而取特殊值可知ln（1+），kN*一方面利用等比數(shù)列的求和公式放縮可知（1+）（1+）（1+）e；另一方面可知（1+）（1+）（1+）2，且當n3時，（1+）（1+）（1+）（2，e）【解答】解：（1）因為函數(shù)f（x）=x1alnx，x0，所以f（x）=1=，且f（1）=0所以當a0時f（x）0恒成立，此時y=f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，這與f（x）0矛盾；當a0時令f（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+）上單調(diào)遞增，即f（x）min=f（a），又因為f（x）min=f（a）0，所以a=1；（2）由（1）可知當a=1時f（x）=x1lnx0，即lnxx1，所以ln（x+1）x當且僅當x=0時取等號，所以ln（1+），kN*一方面，（1+）（1+）（1+）+=