第1章概率論基礎知識.pptVIP

2020 3 4 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 主講人 楊榮奎yangrk2004 四川大學數(shù)學學院 Probability Statistics 2020 3 4 2 概率論的誕生 分賭注問題 甲 乙兩個賭徒按某種方式下注賭博 說定先勝t局將贏得全部賭注 但進行到甲勝r局 乙勝s局 r s t 因故不得不中止 試問如何分配這些賭注才公平合理 巴斯卡和費馬在1654年給出了正確的解法 2020 3 4 3 第一章概率論基礎知識 概率論是研究什么的 概率論 研究隨機現(xiàn)象并揭示其統(tǒng)計規(guī)律性的科學 某車間有200臺車床 它們獨立地工作著 開工率為0 6 開工時耗電各為1千瓦 問供電所至少要供給這個車間多少電力才能以99 9 的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn) 2020 3 4 4 分析 若提供200KW 當然機床能正常工作 但浪費若提供120kW 電力又較少了一些利用后面講的二項分布及中心極限定理可算出 提供141kW就夠了 1 1樣本空間與隨機事件 2020 3 4 5 1 1 1隨機試驗 1 可以在相同條件下重復進行 2 試驗結果不止一個 且可以預知一切可能的結果的取值范圍 3 試驗前不能確定會出現(xiàn)哪一個結果 隨機試驗的三個特點 2020 3 4 6 例 考慮試驗E1 將一枚硬幣拋擲兩次 H T T H T T H H 可能結果為 H H H T T H T T 可見 該隨機試驗的所有可能的結果 構成一個集合 我們稱該集合為這個隨機試驗的樣本空間 2020 3 4 7 1 1 2樣本空間samplespace 表示一個試驗的所有可能的集合 稱 為樣本空間 而這個隨機試驗的每個基本結果稱為樣本點 記作 樣本點 2020 3 4 8 隨機事件 樣本空間的子集 例 擲一顆骰子 觀察出現(xiàn)的點數(shù) 1 2 3 4 5 6 樣本空間 B 1 3 5 B發(fā)生當且僅當B中的樣本點1 3 5中的某一個出現(xiàn) 事件B就是的一個子集 2020 3 4 9 從集合的角度看 2020 3 4 10 隨機事件 基本事件 只含有一個樣本點 的事件 記為 兩個特殊事件 必然事件 不可能事件 2020 3 4 11 1 1 3事件的關系及運算 1 事件的包含與相等 A發(fā)生必然導致B發(fā)生 例如 A 1 B 1 3 5 A1 An中至少一個發(fā)生 2020 3 4 12 A B同時發(fā)生 3 1 1 3事件的關系及運算 例如 A 1 3 5 B 2 4 6 則AB 說明AB同時發(fā)生是不可能事件 2020 3 4 13 4 A發(fā)生而B不發(fā)生 A B 5 A與B互不相容 或互斥 1 1 3事件的關系及運算 B 2020 3 4 14 6 A的對立事件 1 1 3 續(xù) 須滿足 注意對立事件與互斥的區(qū)別 綜上得一般結論 2020 3 4 15 1 1 3事件的關系及運算 7 A1 A2 An構成完備事件組 完備事件組將樣本空間分為有限個互不相容的事件的和 2020 3 4 16 運算律 Page4 交換律 結合律 分配律 對偶律 2020 3 4 17 例1 1 檢查產(chǎn)品質量時 從一批產(chǎn)品中任意抽取5件進行檢查 設事件 請用集合表示下列事件 1 完備事件組 2 發(fā)現(xiàn)兩件或三件次品 3 最多兩件次品 4 至少一件次品 2020 3 4 18 例1 2 事件A B C分別表示一同學高數(shù) 線代 概率三門課程成績優(yōu)秀 請用事件的關系運算表示 1 僅有線代優(yōu)秀 2 高數(shù) 概率至少一門優(yōu)秀而線代不優(yōu)秀 3 至少兩門優(yōu)秀 4 恰有兩門優(yōu)秀 解 1 2 2020 3 4 19 例1 2 3 至少兩門優(yōu)秀 4 恰有兩門優(yōu)秀 2020 3 4 20 例1 3 解 1 n個零件全為正品 2 至少有一個零件不是正品 3 有且僅有一個零件不是正品 例 一工人生產(chǎn)了n個零件 設Ai表示 第i個零件是正品 i 1 2 n 試用文字敘述下列事件 1 2 3 2020 3 4 21 我們關心某個隨機事件A發(fā)生的可能性大小 想法 用P A 來度量 P 的取值跟A有關 即 用一個與A有關函數(shù)來定義 因此 P 是個集函數(shù) 下面考慮該集函數(shù)的應具有的性質 1 2事件發(fā)生的概率 2020 3 4 22 1 2 1頻率及性質 定義1 1在次重復試驗中 若事件A發(fā)生了次 則稱為事件A發(fā)生的頻數(shù) 稱為事件A發(fā)生的頻率 記為 頻率的性質 1 0 fn A 1 fn 1 fn 0 2020 3 4 23 頻率及性質 大量實踐表明 頻率有波動性 但隨著試驗次數(shù)增加 頻率總穩(wěn)定在某個值附近 2020 3 4 24 設E是隨機試驗 是它的樣本空間 對于每一個事件A賦予一個實數(shù)P A 稱為事件A的概率 如果它滿足以下三條 1 2 2概率的公理化定義 2020 3 4 25 概率的性質 一般地 若 2020 3 4 26 小結論 概率的性質 2020 3 4 27 6 一般加法公式 推廣 概率的性質 2020 3 4 28 例1 6 A B為兩事件 已知 解 2020 3 4 29 例1 6 續(xù) A B為兩事件 已知 接 2020 3 4 30 例1 7 2020 3 4 31 求解例1 7 2020 3 4 32 求解例1 7 續(xù) 2020 3 4 33 1 3 1古典概型 1 試驗只有有限個可能結果 2 每次試驗中 每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同 在古典概型中 若中有n個樣本點 事件A中有k個樣本點 則 2020 3 4 34 兩個基本的摸球模型 口袋中有N只球 其中m個紅球 余下是白球 他們除顏色以外沒有差別 現(xiàn)隨機從中摸球n次并觀察摸出球的顏色 計算恰好摸到k個紅球的概率 考慮如下兩種情況 1 有放回摸球 2 不放回摸球 2020 3 4 35 1 有放回抽樣樣本空間中的樣本點總數(shù)一共有Nn 取出的n個球究竟哪k個是紅球Cnk m個白球中取k個mk N m 中取出n k個 N m n k 概率論中稱為是二項分布的概率公式 2020 3 4 36 2 無放回抽樣 我們感興趣的是 n個中有k個紅球 概率論中稱為是超幾何分布的概率公式 2020 3 4 37 例1 10 30只元件中有27只一等品 3只二等品 隨機將30只元件均分裝入三盒 求 1 每盒有一只二等品的概率 2 有一盒有3只二等品的概率 解 1 3只二等品均分到三個盒子有 1 2 3 3x2x1種可能性 余下的27只應該平均分到3個盒子中 2020 3 4 38 第2個問題 首先從3個盒子中任選一個出來放3只二等品 這個盒子的另7只從余下的27個一等品中選 例1 10 2020 3 4 39 1 3 2幾何概型 例1 11隨機在單位圓內擲一點M 求M點到原點距離小于1 4的概率 1 1 4 解 2020 3 4 40 幾何概率的計算 作為一般的歐氏區(qū)域 m A 作為A的測度 一維是長度 2維是面積等 就得到幾何概率計算方法 如果把 2020 3 4 41 例1 12 某貨運碼頭僅能容一船卸貨 而甲 乙兩船在碼頭卸貨時間分別為1小時和2小時 設甲 乙兩船在24小時內隨時可能到達 求它們中任何一船都不需要等待碼頭空出的概率 解 2020 3 4 42 Y x 1 Y x 2 解 2020 3 4 43 例1 13蒲豐問題 1777年 法國數(shù)學家蒲豐取一根針 量出它的長度 然后在紙上畫上一組間距相等的平行線 這根針的長度是這些平行線的距離的一半 把這根針隨機地往畫滿了平行線的紙面上投去 小針有的與直線相交 有的落在兩條平行直線之間 不與直線相交 這次實驗共投針2212次 與直線相交的有704次 2212 704 3 142 得數(shù)竟然是 的近似值 這就是著名的蒲豐投針問題 2020 3 4 44 平行線的距離a 針的長度l 求針與平行線相交的概率 怎樣描述針與直線相交的情況 X表示針的中點與最近的一條平行線的距離 2020 3 4 45 例1 13蒲豐問題 2020 3 4 46 取a 2L 投針N次 如果有k次與直線相交 則 的近似值為N k 例1 13蒲豐問題 2020 3 4 47 零概率事件不一定不發(fā)生 在 0 1 區(qū)間上任意取一個隨機數(shù) 則這個隨機數(shù)恰好等于0 5的概率是多少 0 1 0 5 P 點 0 5 的長度 0 1 區(qū)間的長度 0 2020 3 4 48 1 4 1條件概率 例1 14一個家庭中有兩個小孩 已知其中一個是女孩 問另一個也是女孩的概率是多少 假定生男生女是等可能的 解 由題意 樣本空間為 設B 其中一個是女孩 A 兩個女孩 則B M F F M F F A F F 因此 要求的是 P A B 1 3 2020 3 4 49 定義1 3 P 16 設A B是兩個事件 且 則稱 為事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率 易知 條件概率具有如下性質 2020 3 4 50 條件概率的性質 2020 3 4 51 1 4 2乘法公式 2020 3 4 52 例1 16 2020 3 4 53 例1 16 2020 3 4 54 例1 17 2020 3 4 55 1 4 3全概率與貝葉斯公式 例1 18一在線計算機系統(tǒng) 有3條輸入線 其性質如下表 通訊線 通訊量份額 無誤差的訊息份額 1 2 3 0 4 0 35 0 25 0 9998 0 9999 0 9997 1 求一隨機選擇的進入訊號無誤差地被接受的概率 2020 3 4 56 例1 18 續(xù) 解 設事件B 一訊號無誤差地被接受 Ai 訊號來自于第i條通訊線 i 1 2 3 由題意 問題轉化為 已知 2020 3 4 57 例1 18 續(xù) 我們的做法是把樣本空間分割成了3個不相交的部分 這樣 事件B也被分割成3部分 利用乘法公式可得 2020 3 4 58 例1 18 續(xù) 原問題簡化為 已知 2020 3 4 59 例1 18 續(xù) 2 已知一訊號是有誤差地被接受 則這一訊號最有可能來自哪條通訊線路 解 由 1 已知P B 0 99981 想 本質是一個條件概率 2020 3 4 60 例1 18 續(xù) 最有可能來自第一條通訊線路 2020 3 4 61 定理1 1全概率與Bayes公式 設Ai是樣本空間的完備事件組 P Ai 0 即 2020 3 4 62 例1 19 一盒中裝有12個球 其中8個是新球 第一次比賽從盒中任取兩球 使用后放入盒中 第二次比賽時再從盒中任取兩球 求 1 第2次取出兩個新球的概率 2 已知第2次取出兩個新球 而第一次僅取出1個新球的概率 解 把第1次取球的所有可能情況 作為樣本空間的劃分 Ai 第1次取出i個新球 i 0 1 2 2020 3 4 63 例1 19 續(xù) 第1步 P A0 P A1 P A2 第2步 P B A0 P B A1 P B A2 第3步 寫公式 第4步 利用Bayes公式計算第2問 2020 3 4 64 例1 19 續(xù) 一盒中裝有12個球 其中8個是新球 第一次比賽從盒中任取兩球 使用后放入盒中 第二次比賽時再從盒中任取兩球 1 令Ai 第一次取出i個新球 i 0 1 2 同理 2 令B 第二次取出2個新球 計算P B Ai 2020 3 4 65 例1 19 續(xù) 0 2893 2 已知第2次取出兩個新球 而第一次僅取出1個新球的概率 0 5333 2020 3 4 66 商店論箱出售玻璃杯 每箱20只 其中每箱含0 1 2只次品的概率分別為0 8 0 1 0 1 某顧客選中一箱 從中任選4只檢查 結果都是好的 便買下了這一箱 問這一箱含有一個次品的概率是多少 課堂練習 解 設B 從一箱中任取4只檢查 結果都是好的 A0 A1 A2分別表示事件每箱含0 1 2只次品 2020 3 4 67 已知 P A0 0 8 P A1 0 1 P A2 0 1 由Bayes公式 2020 3 4 68 醫(yī)學統(tǒng)計分析 人群中患某種疾病的人數(shù)占總人數(shù)的0 5 一種血液化驗以95 的概率將患有此病的人檢查出陽性 但也以1 的概率將不患此病的人檢查出陽性 現(xiàn)設某人檢查出陽性 問他確實患有此病的概率 例1 20樣本空間的另一種劃分方式 將人群劃分為 有病的 A和 沒有病 AB 檢查為陽性 2020 3 4 69 續(xù) 2020 3 4 70 1 5事件的獨立性 定義1 4 設A B是隨機試驗E的兩個事件 若 則稱事件A B相互獨立 性質 2020 3 4 71 證明事件的獨立性 B A 2020 3 4 72 1 5 1事件的獨立性 兩兩獨立與相互獨立 定義1 5 設A1 A2 An n 2 是n個事件 如果Ai Aj是其中任意兩個事件 i j 有P AiAj P Ai P Aj 則稱這n個事件兩兩獨立 2020 3 4 73 注意相互獨立與兩兩獨立的區(qū)別 定義1 6設A1 A2 An n 2 是n個事件 如果 則稱n個事件A1 A2 An相互獨立 2020 3 4 74 例如 三個事件的獨立 若三個事件A B C滿足 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 則稱事件A B C兩兩相互獨立 若在此基礎上還滿足 P ABC P A P B P C 則稱事件A B C相互獨立 2020 3 4 75 利用