高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1和角公式3.1.3兩角和與差的正切課堂導(dǎo)學(xué)案.docx

3.1.3兩角和與差的正切課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、兩角和與差的正切公式的運(yùn)用 兩角和與差的正切公式可由同角三角函數(shù)關(guān)系式和正,余弦的和差公式導(dǎo)出.此外在公式中還要注意公式成立的條件k+,k+,+k+,-+k(kZ),這是與兩角和與差的正弦,余弦公式的不同之處.在運(yùn)用公式時(shí)一定要注意這一點(diǎn).【例1】 求值(1)tan105;(2).思路分析:(1)中105=60+45,故可用公式直接計(jì)算,(2)中的1=tan45,故可逆用公式.解：(1)原式=tan(60+45)=.(2)原式=tan(45-75)=tan(-30)=-tan30=.溫馨提示 解題時(shí),首先要認(rèn)真觀察和分析題目的已知條件和結(jié)論中各角度之間的相互關(guān)系,并根據(jù)這種關(guān)系來選擇公式.各個(gè)擊破類題演練 1求值:.思路分析:公式逆用時(shí)要注意公式中,在分子和分母的位置;應(yīng)先由誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再用公式.解:原式=tan(55-25)=tan30=.變式提升 1求值:.思路分析:運(yùn)用公式時(shí),要注意觀察240=180+60和390=360+30這兩個(gè)角的拆分技巧.解:原式=tan(60+)-(30+)=tan30=.二、給值求值問題 解決此類問題首先要根據(jù)已給角的范圍確定所求角的范圍,然后正確運(yùn)用和與差的正切公式.有時(shí)當(dāng)所給角的范圍較大時(shí),可借助于該角的正切值的符號(hào),進(jìn)一步縮小所求角的范圍,使問題能得以圓滿解決.【例2】 已知tan=,tan=且,均為銳角,求+2的值.思路分析:因?yàn)?2=(+)+,也可以把+2看成角和2角的和.只需先求tan2即可.解：tan=,tan=,tan(+)=.又,均為銳角,+(0,).而tan(+)=0,+(0,).+2=(+)+(0,).tan(+2)=tan(+)+=1.+2=.類題演練 2若tan,tan是方程2x2+x-6=0的兩根,求tan(+)的值.解:tan,tan是方程2x2+x-6=0的兩根,tan+tan=-,tantan=-3.tan(+)=.變式提升 2已知,-0,且tan=-,tan=,求2+的值.思路分析:將2+化為+(+)后,利用已知條件先求tan(+)的值.解tan(+)=-0,且+(0,),+(,).又(,),2+(,2).又tan(2+)=tan+(+)=-1,2+=.三、公式的變式應(yīng)用 兩角和與差的正切公式tan()=可以改寫為tantan=tan()(1tantan)的形式,在三角函數(shù)的化簡和證明中經(jīng)常用到.【例3】 化簡:tan(18-x)tan(12+x)+tan(18-x)+tan(12+x).思路分析:因?yàn)?18-x)+(12+x)=30,所以可以用tan+tan=tan(+)(1-tantan)化簡.解：原式=tan(18-x)tan(12+x)+tan（18-x）+(12+x)1-tan(18-x)tan(12+x)=tan(18-x)tan(12+x)+1-tan(18-x)tan(12+x)=tan(18-x)tan(12+x)+1-tan(18-x)tan(12+x)=1.類題演練 3求tan2+tan43+tan2tan43的值.思路分析:將tan(2+43)=變形后代入即可得到結(jié)果.解:原式=tan(2+43)(1-tan2tan43)+tan2tan43=tan45(1-tan2tan43)+tan2tan43=1.變式提升 3求值:(1+tan1)(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45).思路分析:注意到問題中的角的特點(diǎn):1+44=2+43=45,然后變式應(yīng)用.解:(1+tan1)(1+tan44)=1+(tan1+ta